羅貴火，楊喜關(guān)，2，王 飛

（1.江蘇省航空動力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京航空航天大學(xué)能源與動力學(xué)院，江蘇 南京210016；2.中國人民解放軍94655部隊(duì)，安徽 蕪湖241000）

引 言

含中介支承的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)被航空發(fā)動機(jī)廣泛采用，高性能的追求使發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)靜子間的間隙越來越小，轉(zhuǎn)、靜子碰摩是航空發(fā)動機(jī)的典型故障之一。研究高維雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中轉(zhuǎn)、靜子碰摩故障對系統(tǒng)響應(yīng)特性的影響，對航空發(fā)動機(jī)碰摩故障的診斷和識別有著重要的意義。

含碰摩故障的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性的研究一直被相關(guān)學(xué)者所關(guān)注。晏礪堂從理論和試驗(yàn)兩方面研究了航空雙轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)、靜件碰摩的振動特征［1］。孟越和李其漢應(yīng)用整體傳遞系數(shù)法分別模擬了單轉(zhuǎn)子、雙轉(zhuǎn)子的碰摩故障，研究了單轉(zhuǎn)子和雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩故障特征［2］。單穎春利用接觸理論和ANSYS軟件得到了碰摩力模型，并與整體傳遞系數(shù)法相結(jié)合建立了含碰摩故障的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程，得到了相關(guān)的故障特征［3］。周海侖以航空發(fā)動機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的為研究對象，建立了含碰摩故障的雙轉(zhuǎn)子－滾動軸承－機(jī)匣耦合動力學(xué)模型［4］。韓清凱基于剛?cè)岫囿w模型，在MSC.Adams中建立了含碰摩故障的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型，對其非線性特性進(jìn)行了研究［5］。袁惠群利用連續(xù)體理論，建立了雙轉(zhuǎn)子－機(jī)匣耦合系統(tǒng)碰摩模型［6］。陳松霆等采用拉格朗日法建立了含轉(zhuǎn)、靜件碰摩故障的反向旋轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型［7］。

高維轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的建模方法和模型縮減方法，也一直是熱門的研究方向。在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究中，為了減小計(jì)算規(guī)模，引入了模態(tài)綜合法。1980年，美國學(xué)者Glasgow D A［8］，將固定界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法應(yīng)用多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力特性分析中。隨后，Li D F和Wang W開展了自由界面模態(tài)綜合法在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性分析中的應(yīng)用研究［9～11］。近年來，國內(nèi)外的許多學(xué)者開展了復(fù)雜雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)建模研究。2010年，鄧四二利用有限元方法建立同向旋轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子－滾動軸承耦合系統(tǒng)的非線性動力學(xué)數(shù)學(xué)模型［12］；陳果針對航空發(fā)動機(jī)整機(jī)振動，利用有限元方法對轉(zhuǎn)子和機(jī)匣系統(tǒng)進(jìn)行建模，建立了一種通用的復(fù)雜轉(zhuǎn)子－支承－機(jī)匣耦合動力 學(xué) 模 型［13］。 英 國 學(xué) 者 Hai，Pham Minh 和Bonello，Philip考慮擠壓油膜阻尼器非線性特性的影響，在模態(tài)綜合法的基礎(chǔ)上，分別從時域和頻域兩個方面開展了整機(jī)建模方法的研究［14，15］。

本文以某雙轉(zhuǎn)子試驗(yàn)器為研究對象，利用有限元方法和自由界面模態(tài)綜合法建立含局部碰摩故障的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型。為提高計(jì)算效率，利用單位脈沖響應(yīng)和Duhamel積分的方法，進(jìn)行數(shù)值求解。在此基礎(chǔ)上，分析了含碰摩故障的反向旋轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)特性。

1 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

1.1 研究對象

為研究雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力特性，根據(jù)現(xiàn)有航空發(fā)動機(jī)中的五支點(diǎn)的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了雙轉(zhuǎn)子試驗(yàn)器，圖1為試驗(yàn)器的結(jié)構(gòu)簡圖。軸承Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、處均采用“軸承＋鼠籠式彈性支承＋擠壓油膜阻尼器”的結(jié)構(gòu)，中介軸承Ⅴ的內(nèi)環(huán)和外環(huán)直接與內(nèi)轉(zhuǎn)子和外轉(zhuǎn)子連接。

考慮支承Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ處的擠壓油膜阻尼器非線性油膜力和中介軸承Ⅴ的非線性軸承力，并假定軸承Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ處的鼠籠式彈性支承為線性支承，假定軸承Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ為剛性。同樣考慮內(nèi)、外轉(zhuǎn)子各輪盤處的不平衡力和陀螺效應(yīng)，忽略重力和材料阻尼的影響。假設(shè)轉(zhuǎn)子碰摩故障發(fā)生在輪盤處，用ω1和ω2分別表示內(nèi)、外轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，內(nèi)、外轉(zhuǎn)子以一定的轉(zhuǎn)速比λ＝ω2／ω1運(yùn)轉(zhuǎn)。

圖1 五支點(diǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Structure diagram of dual－rotor system with five supports

1.2 動力學(xué)方程

采用有限元方法，根據(jù)系統(tǒng)特點(diǎn)建立雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程。并將各非線性支承處的鼠籠力、非線性油膜力、非線性軸承和陀螺力矩作為外力移到方程的右邊，考慮碰摩力和不平衡力的影響，并假設(shè)有限元模型的節(jié)點(diǎn)個數(shù)為n，則運(yùn)動方程可寫為

式中M∈R4n×4n，K∈R4n×4n分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；Fe∈R4n×1，TG∈R4n×1分別為不平衡力向量和陀螺力矩向量；FF∈R4n×1，F(xiàn)R∈R4n×1分別為非線性支承處的作用力向量和非線性碰摩力向量；u＝［x1，z1，θx1，θz1，…，xn，zn，θxn，θzn］T∈R4n×1為系統(tǒng)位移向量。

用F表示不平衡力向量、非線性支承處的作用力向量和非線性碰摩力向量的和，則

用集合θ表示陀螺力矩作用處自由度集合（TG中非零元素對應(yīng)的自由度集合），用集合f表示除陀螺力矩外的系統(tǒng)外部作用力處的自由度集合（F中非零元素對應(yīng)的自由度集合），用集合N表示系統(tǒng)非線性力作用處的自由度集合（非線性支承處的作用力和碰摩力作用處的自由度集合），用集合L表示f與N的差集，用集合E表示系統(tǒng)全體自由度與f和θ的差集。則

陀螺力矩向量TGθ有如下的表達(dá)式

［16］利用赫茲接觸理論建立中介軸承的非線性力模型；參考文獻(xiàn)［17］采用短軸承理論，建立各支承處的擠壓油膜阻尼器非線性力模型；參考文獻(xiàn)［4］建立輪盤碰摩力的非線性力模型。由于中介軸承的非線性軸承力、擠壓油膜阻尼器非線性油膜力和非線性碰摩力的表達(dá)式中無加速度項(xiàng)，則

1.3 模態(tài)縮減

采用自由界面模態(tài)綜合法對系統(tǒng)進(jìn)行維數(shù)的縮減。引入模態(tài)坐標(biāo)變換，忽略剩余模態(tài)的影響，可得位移向量與模態(tài)坐標(biāo)向量的轉(zhuǎn)換關(guān)系

式中q為模態(tài)坐標(biāo)，Φ為支承界面為自由狀態(tài)時系統(tǒng)質(zhì)量歸一化后的模態(tài)振型，利用ANSYS軟件進(jìn)行模態(tài)振型Φ的獲取。

將坐標(biāo)變換關(guān)系式（6）代入物理空間中的運(yùn)動方程（1），并利用模態(tài)振型的正交化特性，可以獲得模態(tài)空間中的運(yùn)動方程

式中Ωr（r＝1…k）為第r階模態(tài)頻率，k為保留模態(tài)的階數(shù)，Φf和Φθ分別為自由度集合f和θ對應(yīng)的模態(tài)振型矩陣。

方程（7）的各階模態(tài)運(yùn)動方程與單自由度系統(tǒng)在外部激勵下的運(yùn)動方程有著類似的形式。假定零時刻的位移和速度初始條件為q0和，則利用Du hamel積分，可得方程（7）的模態(tài)位移響應(yīng)

至此，在模態(tài)空間中得到了非線性動力系統(tǒng)的瞬態(tài)連續(xù)解。求解式（8）可得整個系統(tǒng)在模態(tài)空間中的響應(yīng)，由變換關(guān)系（6）可得轉(zhuǎn)子各節(jié)點(diǎn)在物理空間中的響應(yīng)。由于非線性作用力的存在，直接對方程（8）進(jìn)行積分顯然是不現(xiàn)實(shí)的。本文借鑒文獻(xiàn)［1 4］中提出的I RM方法對式（8）進(jìn)行求解。

2 非線性動力學(xué)模型的數(shù)值求解算法

取時間區(qū)間［tn－1，tn］，其中，tn＝tn－1＋h，用和表示tn－1時刻的響應(yīng)，用和表示tn時刻的響應(yīng)。如h的值取的足夠小，當(dāng)0≤τ≤h時，利用線性差分格式，F(xiàn)f（τ）和可近似表示為

式中

在時間區(qū)間 ［tn－1，tn］上，假定tn－1時刻的模態(tài)響應(yīng)qn－1和為初始條件，則利用式（8）可得模態(tài)位移響應(yīng)

將式（9a）對h進(jìn)行求導(dǎo)，可得到模態(tài)速度響應(yīng)

假設(shè)自由界面系統(tǒng)有P個剛體模態(tài)，則模態(tài)參數(shù)和坐標(biāo)有如下表達(dá)式：式中Ω包含一個長度為P，數(shù)值為零的子向量；和由剛體模態(tài)向量組成和由彈性變形模態(tài)向量組成和分別為剛體模態(tài)坐標(biāo)和變形模態(tài)坐標(biāo)。

將式（9）代入式（10），并進(jìn)行積分，可得qn和n的表達(dá)式。求解Ωr→0時qn和積分后表達(dá)式的極限值，可得到剛體模態(tài)對響應(yīng)qn和的貢獻(xiàn)，經(jīng)整理可得包含剛體模態(tài)影響的qn和的表達(dá)式：

式中

由式（6）所示的物理坐標(biāo)向量與模態(tài)坐標(biāo)向量的轉(zhuǎn)換關(guān)系，有：

將式（12）和式（4）代入式（13a），并經(jīng)整理有

式中

將式（12a）代入式（13b），式（12b）代入式（13c），并代入式（14）的關(guān)系，經(jīng)整理有如下的表達(dá)式：

式（12），（14）和（15）組成式（8）的時間迭代公式。故式（1 5）為關(guān)于未知數(shù)和的非線性代數(shù)方程組，采用N e w t o n－R a p h s o n法來求解，可得和，進(jìn)而由式（1 4）可得。隨后，利用式（1 2）可得tn時刻的模態(tài)響應(yīng)qn和。通過物理坐標(biāo)與模態(tài)坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式（6），可得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)tn時刻任意節(jié)點(diǎn)處的位移響應(yīng)和速度響應(yīng)。至此，完成［tn－1，tn］時間區(qū)間內(nèi)的計(jì)算，將所得到的tn時刻的響應(yīng)值作為下一時間區(qū)間的初始條件，開始新的計(jì)算。

非線性方程組（15）的維數(shù)等于向量unN個數(shù)的兩倍，即等于非線性力處的自由度個數(shù)的兩倍，而數(shù)值計(jì)算的效率主要取決于Newton－Raphson法來求解非線性方程組的效率。所以，在每個時刻非線性方程組的計(jì)算規(guī)模僅與非線性力處的自由度個數(shù)的兩倍有關(guān)，可大大提高計(jì)算效率。選取足夠多的保留模態(tài)個數(shù)，可保證計(jì)算的精度。

3 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩故障的響應(yīng)分析

3.1 模型參數(shù)

以雙轉(zhuǎn)子試驗(yàn)器為參考，給定轉(zhuǎn)子及其支承系統(tǒng)的參數(shù)。在ANSYS中建立雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型，利用ANSYS模態(tài)分析模塊進(jìn)行自由狀態(tài)下的模態(tài)分析，獲取轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，具體見表1所示。各鼠籠的彈性剛度見表2所示，各輪盤的不平衡量分布見表3所示，各擠壓油膜阻尼器參數(shù)見表4所示，中介軸承具體參數(shù)見表5所示。

表1 轉(zhuǎn)子模型相關(guān)參數(shù)Tab.1 Parameters of dual－rotor system

表2 鼠籠式彈性支承剛度Tab.2 Support stiffiness

表3 各輪盤的不平衡量Tab.3 Unbalance value of every disk

表4 擠壓油膜阻尼器參數(shù)Tab.4 Parameters of squeeze film damper

表5 中介軸承的具體參數(shù)Tab.5 Parameters of intermediate bearing

3.2 方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法的正確性，通過兩種方法來計(jì)算雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)。方法一：本文方法；方法二：固定界面模態(tài)綜合法。方法二［18］為作者的一項(xiàng)前期研究工作，并經(jīng)過試驗(yàn)驗(yàn)證，計(jì)算中保留前40階約束主模態(tài)，其余系統(tǒng)參數(shù)與方法一相同。計(jì)算時內(nèi)、外轉(zhuǎn)子以轉(zhuǎn)速比1.6反向旋轉(zhuǎn)，系統(tǒng)無碰摩。

圖2和3分別為由兩種方法所得到的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速230 rad／s（外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速368 rad／s）時的盤3和盤4處的軸心軌跡圖，兩圖對比可以看出，兩種方法所得到的軸心軌跡有著較好的吻合性，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

圖2 方法一得到的軸心軌跡圖Fig.2 Orbit obtained by method one

圖3 方法二得到的軸心軌跡圖Fig.3 Orbit obtained by method two

3.3 含碰摩故障反向旋轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)特性分析

對于內(nèi)外轉(zhuǎn)子存在一定轉(zhuǎn)速比的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來說，存在分別以內(nèi)轉(zhuǎn)子和外轉(zhuǎn)子為主激勵的兩個一階臨界轉(zhuǎn)速。假設(shè)內(nèi)外轉(zhuǎn)子反向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速比取1.6，則在3.1節(jié)的模型參數(shù)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分別以內(nèi)、外轉(zhuǎn)子為主激勵的臨界轉(zhuǎn)速值為：197.5 rad／s和200 rad／s。為分析碰摩故障對反向旋轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)頻率特性的影響，以盤4（內(nèi)轉(zhuǎn)子）的響應(yīng)為例，分析三個典型轉(zhuǎn)速下的碰摩故障響應(yīng)特性：外轉(zhuǎn)子為主激勵的一階臨界轉(zhuǎn)速前（內(nèi)轉(zhuǎn)子110 rad／s，外轉(zhuǎn)子176 rad／s）、兩個一階臨界轉(zhuǎn)速之間（內(nèi)轉(zhuǎn)子150 rad／s，外轉(zhuǎn)子240 rad／s）和內(nèi)轉(zhuǎn)子為主激勵的一階臨界轉(zhuǎn)速后（內(nèi)轉(zhuǎn)子250 rad／s，外轉(zhuǎn)子400 rad／s）。圖4，5和6分別為以上三種轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)子的頻譜圖和軸心軌跡。由圖4～6可以看出：

1）無碰摩力時，三種轉(zhuǎn)速下響應(yīng)中，均存在內(nèi)、外轉(zhuǎn)子的同步不平衡響應(yīng)頻率ω1和ω2，且二者占絕對優(yōu)勢，基本看不到其他頻率成份，軸心軌跡呈規(guī)則的“花瓣?duì)睢保?/p>

2）各轉(zhuǎn)速下，碰摩時的軸心軌跡與無碰摩時的軸心軌跡及形狀發(fā)生了明顯的變化：外轉(zhuǎn)子為主激勵的一階臨界轉(zhuǎn)速前后有明顯削峰和不規(guī)則碰摩特點(diǎn)；內(nèi)轉(zhuǎn)子為主激勵的一階臨界轉(zhuǎn)速后軸心軌跡變得雜亂；

3）碰摩故障使系統(tǒng)響應(yīng)的頻譜圖中出現(xiàn)了較豐富的頻率成分，但同步不平衡響應(yīng)頻率ω1和ω2仍占主導(dǎo)地位；在低轉(zhuǎn)速時系統(tǒng)響應(yīng)中出現(xiàn)了2ω1＋ω2，2ω2＋ω1的頻率成分，但二者的響應(yīng)幅值較??；在兩個一階臨界轉(zhuǎn)速之間的轉(zhuǎn)速時，除2ω1＋ω2，2ω2＋ω1的頻率成分外，又出現(xiàn)了3ω1＋ω2，3ω2＋ω1頻率成分；隨轉(zhuǎn)速的增加，在大于系統(tǒng)一階臨界轉(zhuǎn)速后，系統(tǒng)的響應(yīng)中出現(xiàn)了2ω1＋ω2，2ω2＋ω1，（ω1＋ω2）／2，（ω1＋ω2）／2，（3ω1－ω2）／2，（3ω2－ω1）／2，2ω1－ω2，2ω1＋ω2；在前兩個較低轉(zhuǎn)速情況下，系統(tǒng)的組合響應(yīng)頻率均為兩同步不平衡響應(yīng)頻率的倍頻和，在高轉(zhuǎn)速情況下，系統(tǒng)響應(yīng)中出現(xiàn)了兩同步不平衡響應(yīng)頻率的倍頻差及倍頻差的分頻。

為分析碰摩故障對轉(zhuǎn)子響應(yīng)中的同步不平衡激勵頻率幅值的影響，以內(nèi)轉(zhuǎn)子5 rad／s和外轉(zhuǎn)子8 rad／s的轉(zhuǎn)速增量，計(jì)算78個轉(zhuǎn)速點(diǎn)時系統(tǒng)無碰摩故障和含碰摩故障時的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。圖7為盤3和盤4的響應(yīng)中兩同步不平衡激勵頻率幅值在無碰摩和碰摩時隨轉(zhuǎn)速的變化圖。

圖4 外轉(zhuǎn)子為主激勵的一階臨界轉(zhuǎn)速前系統(tǒng)無碰摩和碰摩時的頻譜圖和軸心軌跡圖Fig.4 Spectrum and orbit with and without rubbing before the first critical speed excited by outer rotor

圖5 兩個一階臨界轉(zhuǎn)速之間系統(tǒng)無碰摩和碰摩時的頻譜圖和軸心軌跡圖Fig.5 Spectrum and orbit with and without rubbing between two first critical speeds of the system

圖6 內(nèi)轉(zhuǎn)子為主激勵的一階臨界轉(zhuǎn)速后系統(tǒng)無碰摩和碰摩時的頻譜圖和軸心軌跡圖Fig.6 Spectrum and orbit with and without rubbing after first critical speed excited by inner rotor

圖7 系統(tǒng)在無碰摩故障和有碰摩故障時的同步不平衡激勵頻率的幅值隨轉(zhuǎn)速變化圖Fig.7 Frequency amplitude of the synchronous unbalance response varies with speed for rubbing and no rubbing situation

由圖7可以看出：

1）無碰摩故障時，圖7（a）和圖7（b）中兩同步不平衡激勵頻率幅值在整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)先后出了一個峰值，分別對應(yīng)以外轉(zhuǎn)子為主激勵的一階臨界轉(zhuǎn)速和以內(nèi)轉(zhuǎn)子為主激勵的一階臨界轉(zhuǎn)速。較低的轉(zhuǎn)速時，外轉(zhuǎn)子同步不平衡激勵幅值大于內(nèi)轉(zhuǎn)子同步不平衡激勵幅值，高速時則相反，二者的比例關(guān)系決定了轉(zhuǎn)子軸心軌跡的形狀。

2）由圖7中各圖對比可以看出，碰摩故障出現(xiàn)在系統(tǒng)響應(yīng)幅值較大的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，與無碰摩時相比，該范圍內(nèi)兩同步不平衡激勵幅值發(fā)生明顯變化。無論是外轉(zhuǎn)子（盤3）碰摩，還是內(nèi)轉(zhuǎn)子（盤4）碰摩，ω1幅值變化程度遠(yuǎn)較ω2幅值變化劇烈。分析原因：中介軸承的存在，使內(nèi)外轉(zhuǎn)子之間的響應(yīng)相互耦合；但由于內(nèi)轉(zhuǎn)子剛度遠(yuǎn)小于外轉(zhuǎn)子剛度，碰摩力對內(nèi)轉(zhuǎn)子響應(yīng)影響更大。

4 結(jié) 論

本文利用有限元方法，建立了含局部非線性的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動方程，采用自由界面模態(tài)綜合法對系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)截?cái)?，得到模態(tài)空間中的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動方程，實(shí)現(xiàn)高維轉(zhuǎn)子系統(tǒng)維數(shù)的縮減。利用利用單自由度脈沖響應(yīng)特性和Duhamel積分原理，完成了模態(tài)空間中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動方程的數(shù)值求解。在此基礎(chǔ)上，開展了反向旋轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩故障響應(yīng)特性研究。研究結(jié)論如下：

1）該方法將每一時間步長中，求解非線性方程組的維數(shù)限定為2倍的非線性力作用處的自由度個數(shù)，大大提高了計(jì)算效率。該方法僅利用自由狀態(tài)下的模態(tài)振型和模態(tài)頻率，考慮陀螺力矩和局部非線性作用力即可建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，為含局部非線性的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力特性分析提供了一種高效、便捷的方法；同時也為在系統(tǒng)材料參數(shù)未知的情況下，借助模態(tài)試驗(yàn)建立系統(tǒng)動力學(xué)模型提供了一種有效的途徑。

2）外轉(zhuǎn)子為主激勵的一階臨界轉(zhuǎn)速前后，轉(zhuǎn)子碰摩時的軸心軌跡有明顯削峰和不規(guī)則碰摩特點(diǎn)；在一階臨界轉(zhuǎn)速后，碰摩故障使轉(zhuǎn)子軸心軌跡變得雜亂。

3）碰摩故障使系統(tǒng)響應(yīng)的頻譜圖中出現(xiàn)了較豐富的頻率成分，除兩同步不平衡激勵頻率外，出現(xiàn)了二者的倍頻的組合頻率和組合頻率的分頻；在前兩種較低轉(zhuǎn)速情況下，系統(tǒng)的組合響應(yīng)頻率均為兩同步不平衡響應(yīng)頻率的倍頻和，在一階臨界轉(zhuǎn)速后，系統(tǒng)響應(yīng)中出現(xiàn)了兩同步不平衡響應(yīng)頻率的倍頻差及倍頻組合頻率的分頻。

4）碰摩故障對系統(tǒng)同步不平衡響應(yīng)頻率幅值有著明顯的影響，由于內(nèi)轉(zhuǎn)子剛度小，其同步響應(yīng)頻率幅值變化更劇烈。

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