徐 澎，馮正平

(上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240)

0 引 言

多UUV (Unmanned Underwater Vehicle)系統(tǒng)是由多個同構(gòu)或異構(gòu)的UUV 組成的具有相互協(xié)作能力的系統(tǒng)。與單個UUV 相比，多UUV 系統(tǒng)具備有搭載多樣性探測設(shè)備、空間分布廣和指令與采集數(shù)據(jù)的雙向傳輸高效等優(yōu)點(diǎn)。隨著水下通信、導(dǎo)航、以及控制等技術(shù)的發(fā)展，多UUV 系統(tǒng)在水下觀測或干預(yù)性作業(yè)中將發(fā)揮越來越重要的作用［1］。

隊(duì)形控制是多UUV 協(xié)調(diào)控制領(lǐng)域的一個長久以來的熱點(diǎn)［2-5］。群體的協(xié)調(diào)控制往往需要根據(jù)任務(wù)的性質(zhì)要求，設(shè)計(jì)相應(yīng)每個個體的控制算法，使得個體按照一定的規(guī)則運(yùn)動或行為，最終使某個物理量趨于一致，比如趨于一致的速度和跟蹤同一個目標(biāo)等。這種通過局部控制，個體間信息交流，使整體實(shí)現(xiàn)共同目標(biāo)的問題稱為“一致性”問題。UUV的隊(duì)形控制和跟蹤等都可以看作是一致性問題建模與應(yīng)用的范疇［6］。有關(guān)多UUV 的一致性，最核心的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個合理有效的算法或協(xié)議，使得網(wǎng)絡(luò)中每個UUV 都能隨著時間的變化而逐漸達(dá)到同一狀態(tài)，或取得一致性［4，7-10］。

由于電磁波在水中衰減遠(yuǎn)比聲波嚴(yán)重，多UUV系統(tǒng)只能依靠水聲通信進(jìn)行協(xié)作以實(shí)現(xiàn)隊(duì)形控制。而聲波的傳播速度尤其在水中要大大低于電磁波，這樣水聲信號的通信延遲給多UUV 隊(duì)形控制帶來了較大挑戰(zhàn)。楊波等引入通信延時，證明了在通信拓?fù)溥B通的情況下，只要UUV 之間的通信時延小于某個確定的上界，分布式控制算法將使各UUV 的速度和相對位置漸近地收斂至期望的速度和隊(duì)形［11-12］。

本文采用具有位置反饋的分布式隊(duì)形控制體系結(jié)構(gòu)，基于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和代數(shù)圖論給出了隊(duì)形控制器參數(shù)及其容許的統(tǒng)一時延上限，并具有良好的位置和隊(duì)形鎮(zhèn)定效果。

1 受通信約束的隊(duì)形控制算法

為簡化起見，僅考慮固定拓?fù)浜徒y(tǒng)一通信時延的情況。

假設(shè)UUV 動力學(xué)簡化為質(zhì)點(diǎn)，實(shí)際應(yīng)用時可以通過對其六自由度方程進(jìn)行反饋線性化而得。在m維歐幾里得空間中考慮n 個質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)，質(zhì)點(diǎn)i的動力學(xué)方程［2］:

式中:xi∈Rm為質(zhì)點(diǎn)i 的位置;vi∈Rm為質(zhì)點(diǎn)i 的速度;ui∈Rm為質(zhì)點(diǎn)i 的控制輸入。

考慮通信時延，這里系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)之間存在統(tǒng)一的時間延遲。多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)隊(duì)形控制期望多個質(zhì)點(diǎn)按指定的速度并組成穩(wěn)定的隊(duì)形運(yùn)動，分別規(guī)定期望隊(duì)形幾何中心的位置和速度為x*∈Rm和vi∈Rm，且對于每個質(zhì)點(diǎn)來說都已知?；谝恢滦詤f(xié)議［8］，設(shè)計(jì)一個包含通信時延的分布式隊(duì)形控制算法:

式中:α ＞0 和γ ＞0 為增益系數(shù);ci∈Rm為質(zhì)點(diǎn)i 的期望位置。

隊(duì)形控制器(2)同時引入了通信時延τ 和位置反饋，位置反饋對系統(tǒng)的輸出有進(jìn)一步鎮(zhèn)定作用，不僅可以加快質(zhì)點(diǎn)跟蹤期望路徑的速度，也使得跟蹤更加準(zhǔn)確。ci表示組成的質(zhì)點(diǎn)隊(duì)形固定。當(dāng)t→∞，xi→ci→x*，vi→v*，即質(zhì)點(diǎn)以期望的軌跡和速度運(yùn)動。aij用來指示質(zhì)點(diǎn)i 和j 之間的通信鏈路狀態(tài):aij=1 則表示二者間鏈接通路有數(shù)據(jù)交換，aij=0 則表示沒有通信。Ni為質(zhì)點(diǎn)i 的鄰居集，即對所有質(zhì)點(diǎn)i 可感知的鄰居質(zhì)點(diǎn)j 滿足j ∈Ni。τ 反映通信時延對系統(tǒng)控制的影響。

2 與時延有關(guān)的隊(duì)形穩(wěn)定性

由無向通信拓?fù)鋵?yīng)的圖拉普拉斯矩陣整理n個子系統(tǒng)，系統(tǒng)的誤差動力學(xué)方程可以表述為

根據(jù)代數(shù)圖拉普拉斯矩陣L 的對稱性，其可以轉(zhuǎn)換為一個對角矩陣。令T 為變換矩陣，那么H =TTLT 為對角矩陣并且U = diag(μ1，μ2，…，μn)。依據(jù)L 的非負(fù)定性，L 的特征值可以表示為一個升序排列0 = μ1≤μ2≤…≤μn－1≤μn。

經(jīng)過以上轉(zhuǎn)換，閉環(huán)系統(tǒng)(3)～(4)的動力學(xué)方程被解耦為n 個相互獨(dú)立的子系統(tǒng)，也即

其中

且Im是m × m 單位矩陣。

方程(11)的特征方程為

也即

可以得到

這就是子系統(tǒng)i 的閉環(huán)特征方程。

簡化為

只要α ＞0 和γ ＞0，其穩(wěn)定性自然滿足。

對于其余子系統(tǒng)(i =2，…，n)，方程(12)等效為

顯然第i 個隊(duì)形控制子系統(tǒng)等效為單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)等效為線性系統(tǒng)Gi(s) =與通信延遲環(huán)節(jié)串聯(lián)，其穩(wěn)定性可由奈奎斯特判據(jù)來分析。

由幅值穿越條件

或

其中ωc為幅值穿越頻率。

其中為表示方便，用ηi表示第i 個隊(duì)形控制子系統(tǒng)的穿越頻率，即ηi= ωc。需要指出的是α 必須滿足0 ＜α ≤μi，i ＞1。

那么穩(wěn)定性條件可以被轉(zhuǎn)化為求穿越頻率ηi下的相位裕度條件，也即

那么由以下不等式可以確定系統(tǒng)能夠承受的延遲條件

其中

是自然滿足的。

最小的滿足延遲條件的τ ＞0 為

那么可由上述結(jié)論歸納得出如下定理:考慮n個具有同一的雙積分動力學(xué)(1)與一個統(tǒng)一的通信延遲的質(zhì)點(diǎn)。假定通信拓?fù)錈o向連通，且每個質(zhì)點(diǎn)從它的相鄰質(zhì)點(diǎn)接收信息需要經(jīng)過一個恒定的延遲τ。當(dāng)τ ＜τ*和α ≤min{μi}，i ＞1，隊(duì)形控制律(2)可以保證隊(duì)形穩(wěn)定，其中

式中μi為代數(shù)圖拉普拉斯矩陣L 按升序排列的第i個特征值。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 多UUV 仿真

采用參考文獻(xiàn)［13］的UUV 模型進(jìn)行仿真研究且僅考慮多UUV 在水平面的隊(duì)形控制。為此對模型做了合理簡化，聚焦于水平面三自由度運(yùn)動的研究。

UUV 水平面運(yùn)動方程可寫為［14］

式中:M 為慣性矩陣，對稱正定，它表示運(yùn)載器的質(zhì)量與水動力的附加質(zhì)量;χ =［xR，yR，ψR］T為UUV在定系中的位置坐標(biāo)及首向角;ν = ［uR，vR，rR］T為在動系中UUV 的速度向量;C(ν)ν 表示由于UUV 的附加質(zhì)量，由向心力和哥氏力引起，是反對稱的;D(ν)ν 為運(yùn)載器受到的阻尼等耗散力，因而D(ν)ν是正定的;g(χ)為浮力和重力引起的回復(fù)力或力矩;uc= ［uc1，uc2，uc3，uc4］為UUV 水平面上4 個推進(jìn)器的推力;B 為3 ×4 的輸入矩陣，其中的參數(shù)表示推力裝置的位置;Buc為推力對運(yùn)載器造成的力或力矩;J(χ)為坐標(biāo)系變換矩陣，具體見式(23)。

通過對式(21)兩邊求導(dǎo)得到

同時易得

式(21)可轉(zhuǎn)化為

所以

轉(zhuǎn)化得到

根據(jù)以上推導(dǎo)，采用反饋線性化控制器

定義控制作用f = ［fx，fy，nr］T，則fx，fy為水平面x 和y 方向上直線運(yùn)動的控制力，nr為偏航控制力矩。根據(jù)隊(duì)形控制器(2)可以實(shí)現(xiàn)fx，fy的輸出，即u =［fx，fy］T。需要注意，控制力矩nr不會改變UUV的隊(duì)形和位置。UUV 在運(yùn)動方向上會受到流體偏航力矩的作用，因而導(dǎo)致UUV 的首向受擾動。為保持UUV 首向在運(yùn)動過程中恒定，規(guī)定控制力矩nr= －2λrR－ λ2ψR，其中λ 為正常數(shù)。那么UUV 首向閉環(huán)動力學(xué)方程整理為顯然ψR→0。

以4 個UUV 的隊(duì)形控制為例。它們的初始隊(duì)形為一個小正方形。設(shè)計(jì)一個參考點(diǎn)用于規(guī)劃運(yùn)動軌跡，令UUV 進(jìn)行一個帶直角變向的時變運(yùn)動，其期望速度為v(t)= ［sin(φ(t))，cos(φ(t))］。相應(yīng)地期望位移用于規(guī)定參考點(diǎn)速度的參數(shù)如下［10］

相對位置被規(guī)定為

定義ef= (L ?Im)(x － c)為隊(duì)形誤差，其中1 = ［1 1 1 1］T。

圖1 通信拓?fù)銯ig.1 Communication topology

帶統(tǒng)一通信延遲的固定通信拓?fù)淙鐖D1 所示，對應(yīng)的代數(shù)圖拉普拉斯矩陣為

其特征值分別為0，2，2 和4。

選取α = 1 和γ = 1 ，根據(jù)定理求得可承受延遲為τ*=0.375 0 s。令時間延遲分別為τ=0，0.5τ*和τ*，仿真得到如圖2 ～圖4 所示的結(jié)果?？梢钥闯觯谕?duì)形迅速實(shí)現(xiàn)并保持v*的移動速度，此外隊(duì)形誤差在5 s 左右開始收斂，達(dá)到了隊(duì)形控制目的。數(shù)值仿真的結(jié)果與定理的敘述一致。

3.2 與文獻(xiàn)［12］的比較

圖2 零延遲條件下仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results under zero delay

圖3 延遲τ=0.5τ* 時仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results under delay of τ=0.5τ*

圖4 延遲τ=τ* 時仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results under delay of τ=τ*

圖5 用文獻(xiàn)［12］隊(duì)形控制算法仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results with algorithms proposed by reference［12］

圖6 用本文隊(duì)形控制算法仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results with algorithms proposed by this paper

做一個簡單的仿真，與文獻(xiàn)［12］所提算法在性能上進(jìn)行比較，不失一般性的前提，簡化被控對象為質(zhì)點(diǎn)，并且令4 個質(zhì)點(diǎn)采用第3.1 節(jié)中的通信拓?fù)?，跟蹤參考點(diǎn)進(jìn)行一段含一個直角轉(zhuǎn)彎的軌跡運(yùn)動。延時條件保持相同，即τ=0.4 s (均符合文獻(xiàn)［12］和本文所提定理，即在時延上限以內(nèi))，得到仿真結(jié)果如圖5 和圖6 所示。文獻(xiàn)［12］與本文所提方法相比雖然在隊(duì)形誤差上差別不大，但從前者的跟蹤誤差圖中可見其跟蹤誤差發(fā)散，再觀察其軌跡圖，特別在經(jīng)過直角轉(zhuǎn)彎后，隊(duì)形中心位置明顯偏離了參考點(diǎn)的軌跡。相反，從圖6 看出，使用本文所提隊(duì)形控制算法，跟蹤誤差可以被有效控制，具體地說，從第5 s開始跟蹤誤差便收斂到0.2 上下，顯示了優(yōu)越的軌跡跟蹤性能。而從圖6(a)中也可以觀察，隊(duì)形中心軌跡基本與參考點(diǎn)軌跡重合。這主要是因?yàn)楸疚牡乃惴ㄖ幸肓宋恢梅答仯谝蟊豢貙ο筮_(dá)到期望速度的同時，使其跟蹤至相應(yīng)的參考位置，這對于探測海底指定區(qū)域等任務(wù)有著實(shí)際的意義。

4 結(jié) 語

本文利用矩陣圖論和奈奎斯特準(zhǔn)則，提出了考慮通信時延影響的分布式隊(duì)形控制算法。該算法針對所有無向通信拓?fù)涞南到y(tǒng)，只要通信時延小于某個確定上界，那么所有UUV 的速度、位置和隊(duì)形將會漸近地收斂到期望值，而且，對比已有的隊(duì)形控制算法在精確跟蹤期望位置有著明顯優(yōu)勢。

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