季英良，朱宏玉，楊博

(北京航空航天大學 宇航學院，北京100191)

利用大氣阻力實現制動變軌可以節(jié)省燃料.已有多次星際探測任務用到了大氣制動技術，如Magellan，Mars Global Surveyor，Mars Odyssey 及Mars Reconnaissance Orbiter［1-3］.從實際探測任務來看，大氣制動技術的確可以節(jié)省可觀的燃料.

隨著航天技術的發(fā)展，大氣制動中的控制問題得到了國內外學者關注［4-9］.文獻［4］研究了單次穿越大氣的控制問題.文獻［5］給出了一種用于大氣輔助變軌的顯式制導方程.實際大氣制動過程中，隨著航天器穿越大氣的次數增加，軌道的遠心點和近心點不斷降低［6］.近心點降低會帶來負面影響:一是近心點過快降低會導致熱流密度增加、動壓增大等一系列危及航天器安全的問題;二是增加了退出大氣制動時提升近心點所需的燃料消耗.對于這一問題，已有的解決方案大體分為兩種:一種是通過提高大氣制動開始時的近心點高度來保證制動末期近心點高度滿足要求，其代價是延長了大氣制動所需的時間;另一種是通過對近心點高度預測，必要時在遠心點實施額外的軌道調整動作，其代價是增加了燃料消耗［10-13］.

筆者針對大氣制動過程中近心點降低的問題，給出一種無需燃料消耗即可控制軌道近心點高度的方法.該方法通過改變傾側角調整氣動力在高度方向上的分量來實現對近心點高度的控制，并且根據當前近心點高度與預定高度的差值自動調整反饋增益.仿真結果顯示，此方法可以在整個制動過程中限制軌道近心點下降，并最終減少降低量，不但解決了近心點下降引起的額外燃料消耗問題，還保證了航天器的飛行安全.

1 航天器質心運動方程

無推力且不考慮大氣隨中心天體運動的情況下，航天器在大氣中的運動方程可解耦為橫向運動方程和縱向運動方程［4］.以傾側角作為控制變量，橫向運動和縱向運動可分開控制.由于近心點下降與縱向運動有關，因此只討論縱向運動方程:

式中，r為航天器軌道矢徑;v為航天器飛行速度;γ為軌跡傾角;D為氣動阻力;L為氣動升力;σ為傾側角;m為航天器質量;g為重力加速度，滿足g=μ/r2，μ為中心天體引力常量.

氣動力滿足

式中，CD，CL分別為阻力系數和升力系數;S為航天器有效面積;ρ為大氣密度.

采用以下變量:

并引入時間量 τ=Vst/rs，對式(1)無量綱化.其中為時間;下標s表示參考軌道的相關參數.

h，u，γ 分別對 τ求導可得

2 大氣內飛行控制律

以傾側角σ作為控制變量.由式(3)可導出h對τ的二階導數:

考慮常飛行高度變化率d2h/dτ2=0，并將實際飛行高度與參考高度的差、實際飛行高度變化律與參考高度變化律的差作為反饋，可得:

式中，Kh為高度差反饋增益;為高度變化率差反饋增益;href為參考高度為參考高度變化率.

由式(5)可解得

式中gs和m為常量.

僅考慮近心點附近的短時間飛行時，飛行速度v變化小，可視為常量;軌道高度變化小，大氣密度ρ可視為常量.假設航天器以平衡攻角飛行，則升力系數CL和有效面積S可視為常量.基于以上假設，根據式(3)，可將式(7)中的視為常量.

再注意到在近心點附近，軌跡傾角γ→0，故 sinγ→0，cosγ→1，式(7)可寫成

式中K為常系數.

考慮到cosσ∈［－1，1］，故實際傾側角為

式中 σ∈［0，π］.

至此，得到了以傾側角為控制變量的大氣內飛行控制律.

3 傾側角機動與控制律反饋增益

假設已知制動軌道近心點參考高度href，當href未知時需另作討論.令=0，即大氣內參照恒定高度飛行.設大氣內飛行時測量ti(i=1，2，…)時刻的參考高度為hi，參考高度變化率為，軌跡傾角為γi，航天器飛行速度為vi，由式(6)和式(9)可得到ti時刻的目標傾側角σi.

航天器在大氣中以零側滑角飛行時傾側角與滾轉角可視為等同，因此得到σi后可通過控制滾轉角實現對傾側角的機動操作.

隨著穿越大氣次數增加，航天器的飛行狀態(tài)會發(fā)生很大變化.受飛行狀態(tài)影響，多次穿越大氣后需重新整定控制律反饋增益.這里可依據飛行狀態(tài)變化量進行整定，也可以依據實際近心點高度的變化來整定.采用何種整定方法需依據實際飛行任務選取.

令 ei=(hp(i－1)－ href)/href(i=2，3，…)，其中，hp(i－1)為第i－1次穿越大氣時的實際近心點高度，則

至此給出了一種計算控制律反饋增益的方法.

4 仿真算例

為驗證控制律的正確性與可行性，參考文獻［13］給出的仿真算例(仿真用到的數據如表1所示)，并以文獻［14］介紹的姿態(tài)控制律為參考給出對反作用輪性能要求的仿真估計.

表1 仿真中用到的參數Table1 Parameters used in simulation

仿真中選取火星半徑圓軌道為參考軌道.火星大氣密度滿足 ρ=ρ0e(－h(huán)/h0)，其中，h為距離火星表面的高度;ρ0為參考密度，取為 1.474×10－2kg/m3;h0為參考高度，取為 8.8057 km［6］.

仿真中動壓計算公式為 P=ρv2/2［12］;熱流密度經驗公式為

首先，對傾側角分別為固定值(σ=0，π)和受控兩種飛行狀態(tài)進行仿真比較.

圖1給出了開普勒軌道近心點高度和實際近心點高度隨穿越大氣次數的變化曲線.從圖中可以看出，σ為固定值時，進入大氣的開普勒軌道近心點隨穿越大氣次數增加而逐漸降低，且下降速率逐漸增大;σ受控時，控制律通過改變傾側角調整飛行狀態(tài)，將再次進入大氣的開普勒近心點維持在預定值附近.從圖中還可以看出，兩種飛行狀態(tài)下實際近心點高度與開普勒近心點高度具有相同的變化趨勢，只是變化量有微小的差別.

圖1 近心點高度隨穿越大氣次數的變化Fig.1 Variation of perigee altitude verses the time of atmosphere traversing

圖2給出了實際近心點與開普勒近心點高度差隨穿越大氣次數的變化曲線.從圖中可以看出:σ受控時，實際近心點與開普勒近心點高度差較小且保持穩(wěn)定;σ=π時，隨著穿越大氣次數增加，實際近心點與開普勒近心點間距逐漸增大;σ=0時，實際近心點較開普勒近心點呈先緩慢升高后降低的變化趨勢，高度差相對較小.

圖2 近心點高度差隨穿越大氣次數的變化Fig.2 Variation of perigee-height-difference verses the time of atmosphere traversing

圖3給出了穿越大氣時最大熱流密度、最大動壓隨穿越大氣次數的變化曲線.從圖中可以看出，σ固定時，最大熱流密度呈先降低后升高的趨勢，最大動壓持續(xù)升高且制動后期上升速率快速增大;σ受控時，最大熱流密度一直保持下降趨勢，最大動壓同樣保持緩慢下降趨勢.因此，σ受控時，只要初始制動飛行是安全的，那么接下來的制動飛行中可充分保證航天器的安全.

圖4給出了遠心點隨穿越大氣次數的變化曲線.從圖中可以看出，兩種飛行狀態(tài)以相同初始軌道進行制動飛行時，σ受控時遠心點下降速度較緩慢.這與σ受控時近心點下降受到限制有關.因為近心點下降得到了控制，所以在保證制動安全的條件下，可以通過降低σ受控時初始制動軌道的近心點來提高制動效率.

圖3 最大熱流密度、動壓隨穿越大氣次數的變化Fig.3 Variation of max-heating-rate and max-dynamic-pressure verses the time of atmosphere traversing

圖4 遠心點隨穿越大氣次數的變化Fig.4 Variation of apogee verses the time of atmosphere traversing

表2給出了經過435次穿越大氣后的相關軌道參數值.由表中數據可知，σ受控時實際近心點高度幾乎未發(fā)生變化.從表中還可以看出，相同初始制動軌道條件情況下，經過435次穿越大氣后，σ受控時的遠心點較σ=0時高出約1800 km，較σ=π時高出約1900 km.

表2 435次穿越大氣后軌道參數值Table2 Orbit parameters after 435th atmosphere traversing

周期/h 1.83 1.88 2.60

其次，對σ受控時的制動效率進行仿真驗證.延長σ受控時穿越大氣的次數，使制動結束時的軌道達到與σ=0時近似的狀態(tài)，結果如表3所示.

表3 σ受控，完成制動后的軌道參數值Table3 Orbit parameters after finished aerobraking，σ controlled

從表3中可以看出，相同初始制動軌道下，σ受控時達到與σ=0時近似的制動狀態(tài)需要545次穿越大氣，較σ=0時增加了110次.比較表2與表3中的數據可知，制動完成時，σ受控時的實際近心點比σ=0時高出約9.5 km，近心點下降得到有效的限制.

圖5給出了延長制動次數后的開普勒近心點和實際近心點的變化曲線.從圖中可以看出，前470次穿越大氣時軌道近心點維持在href附近，第470次穿越大氣后軌道近心點出現下降趨勢.導致該現象的原因是制動后期飛行狀態(tài)變化量較大，僅靠氣動力不能有效地限制近心點下降.完成制動時近心點僅降低了約400 m，與近心點高度相比可忽略.

圖5 σ受控，近心點高度隨穿越大氣次數的變化Fig.5 Variation of perigee verses the time of atmosphere traversing，σ controlled

圖6給出了第100，200，300和400次穿越大氣時的傾側角變化曲線.從圖中可以看出，傾側角在航天器剛進入大氣時為0 rad，經過一段時間的飛行后逐漸變化到π rad，直到逸出大氣;隨著飛行狀態(tài)的變化，穿越大氣所用的時間逐漸延長.

圖6 單次大氣穿越過程中傾側角的變化Fig.6 Variation of bank angle during single-pass aerobraking

圖7 反饋增益隨穿越大氣次數的變化Fig.7 Variation of feedback gain verses the time of atmosphere traversing

為利用反作用輪實現對傾側角的機動，最后對反作用輪的性能要求進行仿真估計.參照圖6中單次穿越大氣時傾側角的變化曲線，這里直接將傾側角由0 rad機動到πrad.

假設單次穿越大氣需600s，100s前保持傾側角為0 rad，100 s開始機動到πrad并保持穩(wěn)定;在整個大氣過程中不受外界滾轉力矩干擾;航天器轉動慣量為 Ix=492，Iy=516，Iz=183 kg·m2;反作用輪轉動慣量為0.2 kg·m2.

圖8 傾側角與反作用輪轉速變化Fig.8 Variation of bank angle and reaction-wheel speed

控制律中采用指數反饋增益，仿真如圖8所示.從圖中可以看出，在［0，100)s范圍內傾側角穩(wěn)定在0 rad，100 s開始機動，經過大約90 s到達πrad.這近似達到了姿態(tài)機動對時間的要求.從圖中可以看出，滿足以上機動要求需要反作用輪的最高轉速約為9000 rad/min.

5 結論

針對大氣制動過程中存在的近心點降低問題，給出了一種無需燃料消耗即可控制軌道近心點高度的方法.整個大氣制動過程中，該方法可以有效地限制近心點降低并最終減少近心點的降低量.這可以節(jié)省退出大氣制動時提升近心點所用的燃料.因為近心點下降得到了控制，所以在保證安全的條件下，可以通過降低初始制動軌道近心點高度來提高制動效率.該方法的另一個優(yōu)點是整個制動過程中最大熱流密度及最大動壓一直呈下降趨勢，無需在制動過程中提升軌道近心點，這同樣可以節(jié)省燃料.

References)

［1］ Spencer D A，Tolson R.Aerobraking cost and risk decisions［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2007，44(6):1285-1293.

［2］ 韓波，張文普.行星探測中的大氣制動技術研究進展［J］.力學進展，2010，40(6):642-651.Han B，Zhang W P.Advances of aerobraking technology in the planetary mission［J］.Advance in Mechanics，2010，40(6):642-651(in Chinese).

［3］ 艾遠行，喬棟.火星探測氣動捕獲技術研究進展［C］//中國宇航學會深空探測技術專業(yè)委員會第九屆學術年會論文集(上冊).北京:中國宇航學會深空探測技術專業(yè)委員會，2012:58-63.Ai Y X，Qiao D.The research progress of pneumatic capture technology in Mars detection［C］//Proceedings of the 9th Committee of Deep Space Exploration Technology，Chinese Society of Astronautics(Vol.1).Beijing:Committee of Deep Space Exploration Technology，Chinese Society of Astronautics，2012:58-63(in Chinese).

［4］ Miele A，Wang T.Robust predictor-corrector guidance for aeroassisted orbital transfer［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1996，19(5):1134-1141.

［5］ Kuo Z S，Liu K C.Explicit guidance of aeroassisted orbital transfer using matched asymptotic expansions［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，2002，25(1):80-87.

［6］ 陳統(tǒng)，徐世杰.火星軌道大氣制動策略研究［C］//全國第14屆空間及運動體控制技術學術會議論文集，2010:129-134.Chen T，Xu S J.Research on Mars orbit aerobraking strategy［C］//Proceedings of the 14th National Academic Conference on Space and Moving-body Control Technology，2010:129-134(in Chinese).

［7］ Rozanov M，Guelman M.Aeroassisted orbital maneuvering with variable structure control［J］.Acta Astronautica，2008，62(1):9-17.

［8］ 張海聯，吳德隆.熱流限制下的最優(yōu)氣動力輔助變軌［J］.上海航天，1999，16(4):6-11.Zhang H L，Wu D L.Aeroassisted optimal orbital transfer problem with heat-flow constraint［J］.Aerospace Shanghai，1999，16(4):6-11(in Chinese).

［9］ 南英，肖業(yè)倫，陳士櫓.同一平面氣動力輔助變軌的近似解及分析［J］.北京航空航天大學學報，1998，24(1):120-123.Nan Y，Xiao Y L，Chen S L.Approximate solutions of the optimal aeroassisted coplanar transfer of space vehicle［J］.Journal of Beijing UniversityofAeronauticsand Astronautics，1998，24(1):120-123(in Chinese).

［10］ Long S M，You T H，Halsell C A，et al.Mars reconnaissance orbiter aerobraking navigation operation［C］//SpaceOps 2008 Conference.Reston，VA:American Institute of Aeronautics and Astronautics Inc，2008:3394.

［11］ Chapel J D，Johnson M A，Sidney W P，et al.Aerodynamic safing approach for the 2001 Mars odyssey spacecraft during aerobraking［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2005，42(3):416-422.

［12］ Lyons D T，Beerer J G，Esposito P，et al.Mars global surveyor:aerobraking mission overview［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，1999，36(3):307-313.

［13］ Smith J C，Bell J L.2001 Mars odyssey aerobraking［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2005，42(3):406-415.

［14］ 徐世杰.基于Lyapunov方法的空間飛行器大角度姿態(tài)機動控制［J］.宇航學報，2001，22(4):95-99.Xu S J.Large angle attitude maneuver control of spacecraft based on Lyapunov approach［J］.Journal of Astronautics，2001，22(4):95-99(in Chinese).

［15］ Mease K D，Vinh N X.Minimum-fuel aeroassisted coplanar orbit transfer using lift-modulation［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1985，8(1):134-141.