高維金，王亮，劉永光

(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)

在節(jié)能減材和領(lǐng)域特殊需求的背景下，多領(lǐng)域的裝備朝著大型化、高速化、輕量化的方向發(fā)展，其裝備構(gòu)件呈現(xiàn)出了柔性大、結(jié)構(gòu)阻尼小的特點(diǎn).對于本身內(nèi)部含有動(dòng)力源的箱式動(dòng)力結(jié)構(gòu)，如艦船減速器、風(fēng)電齒輪箱及直升機(jī)齒輪箱［1］等，在實(shí)際工作過程中，由于工況的頻繁改變，柔性較大的構(gòu)件可能產(chǎn)生振動(dòng)，甚至損壞.為了能有效地抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)，進(jìn)行如結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化［2］、基于磁致伸縮作動(dòng)器的主動(dòng)控制［3-7］等，需要對箱式動(dòng)力結(jié)構(gòu)振動(dòng)傳遞機(jī)理進(jìn)行研究.文獻(xiàn)［8-11］建立齒輪軸-軸承-箱體的完整有限元模型，并賦予初始邊界條件進(jìn)行有限元仿真，分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)傳遞特性.此外，則是通過集中質(zhì)量法對嚙合齒輪副建立質(zhì)量-彈簧-阻尼的數(shù)學(xué)模型，采用傳遞矩陣法計(jì)算得到箱體的軸承座處的動(dòng)載荷，以此作為有限元箱體模型的激勵(lì)條件，研究箱體的振動(dòng)特性［12-14］.從文獻(xiàn)來看，有限元法和集總模型傳遞矩陣法是主要的研究方法.相比而言，有限元法計(jì)算精度較高且可以避免傳遞矩陣法中可能出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象［15］.

因此，考慮齒輪嚙合錯(cuò)位、齒側(cè)間隙等因素建立減速器的三維傳動(dòng)模型，采用Craig-Bampton縮減法將箱體縮聚為6個(gè)軸承孔中心處節(jié)點(diǎn)的柔性體，分析嚙合副的嚙合時(shí)變剛度、嚙合線性傳遞誤差及軸向重合度.在此基礎(chǔ)上，從輸入軸扭矩波動(dòng)和線性傳遞誤差分別為激勵(lì)條件的兩方面，對傳動(dòng)系統(tǒng)基于軸段節(jié)點(diǎn)的思想進(jìn)行了計(jì)算，得到箱體軸承處的加速度頻率關(guān)系，為后續(xù)的箱體優(yōu)化及基于超磁致伸縮作動(dòng)器的主動(dòng)振動(dòng)控制提供了邊界條件及相關(guān)數(shù)據(jù).

1 研究對象及模型

1.1 研究對象

圖1為某二級減速箱的傳動(dòng)機(jī)制，Z1和Z2分別為安裝在輸入軸和中間軸上的主、從動(dòng)斜齒輪，Z3和Z4分別為安裝在中間軸和輸出軸上的主、從動(dòng)直齒輪.各嚙合副的相關(guān)參數(shù)見表1.

圖1 某二級減速箱的傳動(dòng)機(jī)制Fig.1 Transmission mechanism of two-stage reducer

表1 嚙合齒輪的基本參數(shù)Table1 Basic parameters of meshing gear

1.2 研究模型

為了研究箱體的振動(dòng)特性以及箱體的柔性變形對傳動(dòng)的影響，將箱體作柔性化處理.從提高計(jì)算效率及所關(guān)心的個(gè)別節(jié)點(diǎn)變形或響應(yīng)的角度來看，需要根據(jù)實(shí)際情況將模型縮聚到所要求解的自由度.在減速箱系統(tǒng)中箱體視為子結(jié)構(gòu)，采用Craig-Bampton［16］子結(jié)構(gòu)固定界面模態(tài)綜合法將箱體的彈性變形用模態(tài)坐標(biāo)的形式表達(dá)出來.Craig-Bampton子結(jié)構(gòu)固定界面模態(tài)法可描述為

式中，Xb和Xin分別為界面節(jié)點(diǎn)與內(nèi)部自由度的位移;Φic為界面坐標(biāo)依次產(chǎn)生單位位移引起的內(nèi)部靜模態(tài);Φin為固定界面分支正則化主模態(tài);qc為約束模態(tài)的坐標(biāo);qn為固定界面正則化模態(tài)坐標(biāo).

為了能夠反映邊界作用效應(yīng)及高階模態(tài)，引入正則模態(tài)N，則原有模態(tài)坐標(biāo)可以表述為

式中q*為Craig-Bampton模態(tài)坐標(biāo)

將式(2)代入式(1)中可得

式中Φ*為具有原系統(tǒng)主模態(tài)和約束模態(tài)所有特性的正交Craig-Bampton模態(tài).

圖2為箱體、齒輪、傳動(dòng)軸的三維模型.將箱體視為子結(jié)構(gòu)，基于Craig-Bampton縮減法作柔性化處理，縮聚節(jié)點(diǎn)為6個(gè)軸承孔中心處，節(jié)點(diǎn)用于將來自齒輪傳動(dòng)的力傳遞到箱體.縮聚節(jié)點(diǎn)的編號(hào)見圖3.

圖2 減速箱的三維模型Fig.2 Three-dimensional model of reducer

圖3 箱體縮聚節(jié)點(diǎn)編號(hào)Fig.3 Reduction nodes number of gearbox

2 箱式動(dòng)力結(jié)構(gòu)振動(dòng)激勵(lì)分析

2.1 齒輪嚙合時(shí)變剛度

齒輪嚙合剛度對于齒輪振動(dòng)來說是一個(gè)很重要且復(fù)雜的參量，它是研究齒輪動(dòng)態(tài)性能的基礎(chǔ).齒輪的嚙合剛度受傳遞載荷、輪齒彈性變形、嚙合位置等諸多因素影響，建立其嚙合剛度模型是很復(fù)雜的問題.考慮二級減速箱的嚙合錯(cuò)位因素，分析齒輪嚙合時(shí)變剛度.嚙合錯(cuò)位正負(fù)的定義如圖4所示.在模型中，若錯(cuò)位是沿著局部坐標(biāo)系z軸的正方向，其值為正(圖4(a));若錯(cuò)位值沿著局部坐標(biāo)系z軸的負(fù)方向，其值為負(fù)(圖4(b)).通過軸、軸承的變形以及工作載荷狀況計(jì)算的齒輪嚙合錯(cuò)位如圖5所示.

斜齒輪的法截面單位接觸嚙合剛度和端截面單位接觸嚙合剛度的關(guān)系為［17］

圖4 嚙合錯(cuò)位值正負(fù)的定義Fig.4 Definition of plus and minus symbol for meshing misalignment

圖5 斜齒輪和直齒輪的嚙合錯(cuò)位Fig.5 Meshing misalignments of helical gears and spur gears

式中，Kn為法截面單位接觸嚙合剛度;Ke為端截面單位接觸嚙合剛度;β為斜齒輪螺旋角;f(θ)為端截面單位接觸嚙合剛度關(guān)于齒輪轉(zhuǎn)角的函數(shù).

斜齒輪單對齒嚙合時(shí)變剛度的表達(dá)式為［18］

式中，K為斜齒輪副的嚙合時(shí)變剛度;θ為輸入軸的轉(zhuǎn)角;W為斜齒的有效寬度;θm為輸入軸斜齒輪的每齒平均轉(zhuǎn)角;εa為軸向重合度;βb為基圓螺旋角;θ1和θ2為齒輪嚙合接觸線的最小和最大滾動(dòng)角.

直齒輪的嚙合時(shí)變剛度求解相對簡單，只需將單位接觸剛度乘以有效工作齒寬，再考慮重合度即可.

根據(jù)模擬計(jì)算可得，斜齒輪的軸向重合度最小為1.608，最大為1.739，可知斜齒輪的傳動(dòng)較為平穩(wěn).直齒輪的傳動(dòng)比最小為1，最大為2，齒輪單雙對齒交替嚙合，易造成沖擊.

計(jì)及嚙合錯(cuò)位的影響，運(yùn)用齒輪嚙合剛度的計(jì)算公式得到斜齒輪副和直齒輪副的單對齒嚙合時(shí)變剛度，如圖6所示.

圖6 斜齒輪和直齒輪的嚙合時(shí)變剛度Fig.6 Time-varying meshing stiffness of helical gears and spur gears

2.2 齒輪嚙合傳遞誤差

在沒有制造及安裝誤差且嚙合剛度很大的理想情況下，系統(tǒng)可按固定的傳動(dòng)比進(jìn)行工作，不存在傳遞誤差.然而實(shí)際中齒輪的制造及裝配誤差、嚙合錯(cuò)位、嚙合時(shí)變剛度等因素導(dǎo)致齒輪在嚙合線方向產(chǎn)生傳遞誤差，進(jìn)而這些誤差對系統(tǒng)產(chǎn)生激勵(lì)力［19-20］.傳遞誤差(TE，Transmission Error)就是沿嚙合線方向被動(dòng)齒輪上的齒廓在實(shí)際嚙合位置同理想條件下嚙合位置的偏差，其波動(dòng)直接反映了被動(dòng)齒輪的不均勻性，對傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)及噪音有著重要影響.圖7為傳遞誤差示意，其中A為理論嚙合位置，A′為主動(dòng)輪轉(zhuǎn)過一定角度與從動(dòng)輪嚙合位置.

設(shè)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角為θa，基圓半徑為Rb1;從動(dòng)輪轉(zhuǎn)角為θp，基圓半徑為Rb2.則沿嚙合線方向的傳遞誤差表達(dá)為

在考慮嚙合錯(cuò)位、嚙合時(shí)變剛度及齒側(cè)間隙的情況下，斜齒輪副和直齒輪副間的傳遞誤差如圖8所示.

圖8 斜齒輪副間和直齒輪副間的傳遞誤差Fig.8 Transmission error of helical gears and spur gears

3 振動(dòng)傳遞機(jī)理及振動(dòng)評估

3.1 振動(dòng)傳遞機(jī)理

在箱式動(dòng)力結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，往往會(huì)產(chǎn)生一些擾動(dòng)因素，如傳動(dòng)齒輪的嚙合沖擊、錯(cuò)位滑動(dòng)旋轉(zhuǎn)不平衡等.由于這些因素的長期作用，系統(tǒng)中的某個(gè)部件就可能產(chǎn)生未變形，然后以彈性波的形式沿著系統(tǒng)裝配連接的路徑關(guān)系進(jìn)行傳遞或者以固體噪聲發(fā)射到周圍環(huán)境［21］.當(dāng)彈性波通過這些彈性部件(軸、齒輪、軸承及箱體)時(shí)，可能激發(fā)部件的自然頻率發(fā)生共振，結(jié)果擾動(dòng)振動(dòng)加劇，形成惡性循環(huán).圖9為振動(dòng)彈性波能量傳遞的示意圖.圖中實(shí)線表示振動(dòng)的傳遞路徑，虛線表示內(nèi)部固體聲輻射到箱體形成二次噪聲.

圖9 振動(dòng)傳遞示意圖Fig.9 Schematic diagram of vibration transmission

3.2 不同激勵(lì)的振動(dòng)特性及振動(dòng)評估

根據(jù)3.1節(jié)中的振動(dòng)傳遞機(jī)理，從輸入端扭矩波動(dòng)及齒輪傳動(dòng)誤差兩方面來研究振動(dòng)在系統(tǒng)中的傳遞特性.

3.2.1 齒輪傳遞誤差激勵(lì)的振動(dòng)特性

由于齒輪嚙合時(shí)變剛度具有明顯的周期性，故可將傳遞誤差以齒輪嚙合頻率進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開為

式中，Ta為平均傳遞誤差;Ti為諧波幅值，i為諧波階數(shù);ω為齒輪嚙合頻率;Φi為諧波相角.

以斜齒輪嚙合傳遞誤差諧波為激勵(lì)，基于節(jié)點(diǎn)的思想分析各軸段及縮聚節(jié)點(diǎn)處的響應(yīng).圖10為傳遞誤差的諧波幅值圖，表2為相關(guān)的傳遞誤差諧波數(shù)據(jù).

圖10 傳遞誤差的諧波幅值Fig.10 Harmonic value of transmission error

輸入軸、中間軸、輸出軸的節(jié)點(diǎn)劃分示意見圖11.節(jié)點(diǎn)的劃分是根據(jù)部件連接位置、軸肩位置確定的.輸入軸的節(jié)點(diǎn)從左到右依次是Node1～Node12，中間軸的依次為Node1～Node9，輸出軸的依次為Node1～Node11.

圖11 各軸段的節(jié)點(diǎn)劃分Fig.11 Node division of each shaft section

限于篇幅，僅給出傳遞誤差一次諧波激勵(lì)下軸段軸承處節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)，若進(jìn)行后續(xù)的軸段優(yōu)化，則需求取其他節(jié)點(diǎn)處的響應(yīng).輸入軸的速度為1000 rad/min，輸入功率為0.6 kW.考慮齒輪嚙合傳遞誤差激勵(lì)，振動(dòng)通過齒輪軸-軸承的路徑傳遞給箱體.圖12給出了輸入軸、中間軸、輸出軸箱體縮聚節(jié)點(diǎn)處在0～5 kHz頻率范圍內(nèi)的加速度響應(yīng).

圖12 縮聚節(jié)點(diǎn)處的加速度響應(yīng)Fig.12 Accelerated speed response of reduction nodes

理想情況下，同一軸兩側(cè)軸承處的動(dòng)態(tài)響應(yīng)一致，這樣系統(tǒng)運(yùn)行比較平穩(wěn)，不會(huì)產(chǎn)生額外的擾動(dòng)，也便于振動(dòng)的控制.從圖12中可以看出，在0～1.5 kHz頻段輸入軸軸承的縮聚節(jié)點(diǎn)處動(dòng)態(tài)特性幾乎一致，1.5～4.5 kHz頻段動(dòng)態(tài)特性相差較大，4.5～5.0 kHz頻段的動(dòng)態(tài)特性幾乎趨于一致.對于中間軸軸承處的縮聚節(jié)點(diǎn)，可以看出縮聚節(jié)點(diǎn)3和5的動(dòng)態(tài)加速度響應(yīng)在0～5kHz頻段內(nèi)幾乎趨于一致.對于輸出軸軸承處的縮聚節(jié)點(diǎn)4和6來說，在0～3 kHz頻段內(nèi)動(dòng)態(tài)加速度響應(yīng)趨勢比較一致，3～5 kHz頻段內(nèi)，兩節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng)不一致.

圖13給出了輸入、中間、輸出軸三者軸承內(nèi)外圈處的動(dòng)態(tài)加速度響應(yīng).從圖13中可以看出，輸入軸和中間軸處的軸承內(nèi)圈動(dòng)響應(yīng)經(jīng)過滾動(dòng)體傳遞到外圈時(shí)，縮聚節(jié)點(diǎn)動(dòng)響應(yīng)得到衰減，軸承起到了隔振的作用.而在輸出軸軸承外圈處的響應(yīng)在0～4 kHz頻段內(nèi)幾乎沒有被衰減，在4～5 kHz頻段內(nèi)才在一定程度上衰減，軸承沒有起到隔振作用，可能的原因是軸承選擇不當(dāng)，承受載荷的能力不足.

圖13 輸入、中間及輸出軸軸承內(nèi)外圈響應(yīng)Fig.13 Dynamic response of inner and outer rings of the bearing at input shaft，middle shaft and output shaft

3.2.2 輸入扭矩波動(dòng)的振動(dòng)特性

由于動(dòng)力源的輸出存在一定的轉(zhuǎn)速波動(dòng)，導(dǎo)致減速箱輸入軸產(chǎn)生扭矩波動(dòng)，使得非工作齒輪副中的齒輪不能及時(shí)和相應(yīng)嚙合的齒輪進(jìn)行嚙合，而是在與其嚙合齒輪的兩嚙合面之間單面敲打或雙面敲打，從而產(chǎn)生出齒輪的敲擊噪聲.圖14給出了在輸入軸扭矩波動(dòng)的條件下，輸入軸、中間軸、輸出軸三者軸承處縮聚節(jié)點(diǎn)在頻率0～10 kHz的動(dòng)態(tài)加速度響應(yīng).

從圖14中可以看出，輸入軸扭矩波動(dòng)的情況下，兩軸承處的縮聚節(jié)點(diǎn)加速度響應(yīng)在1 kHz和2kHz處有偏差，其余頻段基本趨于一致.對于中間軸和輸出軸，在0.8～4kHz頻段內(nèi)縮聚節(jié)點(diǎn)加速度響應(yīng)有偏差，其余頻段響應(yīng)趨勢基本一致.

圖14 輸入、中間及輸出軸軸承處縮聚節(jié)點(diǎn)響應(yīng)Fig.14 Response of reduction nodes of bearings at input shaft，middle shaft and output shaft

3.2.3 箱體振動(dòng)評估

采用四面體單元?jiǎng)澐窒潴w，單元?jiǎng)澐秩鐖D15所示，單元總計(jì)為77 225個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為22 940.單元材料為鑄鐵，彈性模量為1.68×105MPa，密度為7.1 ×103kg/m3，泊松比為0.27.箱體底部全部節(jié)點(diǎn)6個(gè)自由度約束，作為模型求解的邊界條件.質(zhì)量矩陣歸一化處理，基于Block Lanzos方法提取箱體的前6階固有頻率如表3所示.

圖15 箱體有限元模型Fig.15 Finite element model of gearbox

表3 箱體前6階固有頻率Table3 The first six natural frequencies of gearbox

對于嚙合誤差傳遞激勵(lì)而言，箱體設(shè)計(jì)根據(jù)實(shí)際工況要求避開其共振頻率點(diǎn);對于輸入軸扭矩波動(dòng)激勵(lì)來說，輸入軸、中間軸、輸出軸三者軸承處縮聚節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng)在8 kHz以后幾乎趨于零，說明對于扭矩波動(dòng)帶來的振動(dòng)能量在高頻段以后經(jīng)過齒輪-軸-軸承就已衰減了，而且該減速器箱體的最低固有頻率為39.0392kHz，不可能引起共振，可見該減速器箱體設(shè)計(jì)保守，有進(jìn)一步優(yōu)化的空間.

4 結(jié)論

通過對減速箱三維建模，考慮嚙合時(shí)變剛度、嚙合錯(cuò)位等非線性因素，進(jìn)行振動(dòng)傳遞特性的分析，得出以下結(jié)論:

1)采用Craig-Bampton縮聚法將箱體進(jìn)行縮聚作為柔性子結(jié)構(gòu)，提高了計(jì)算效率，基于軸段節(jié)點(diǎn)思想計(jì)算得到縮聚節(jié)點(diǎn)處的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)評估了箱體的振動(dòng)特性，箱體設(shè)計(jì)保守，有進(jìn)一步優(yōu)化的空間.縮聚節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為后續(xù)的箱體優(yōu)化提供了激勵(lì)條件.

2)由于結(jié)構(gòu)模型所選參數(shù)不同，在文中所用方法基礎(chǔ)上得到的軸承處響應(yīng)與文獻(xiàn)［19-20］中的結(jié)果不具有直接相比性，但數(shù)據(jù)變化的趨勢一致，可以作為一種評估動(dòng)力結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的方法.進(jìn)一步的驗(yàn)證會(huì)在后續(xù)的試驗(yàn)研究中進(jìn)行.

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