王備，周韜，董長虹

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191)

現(xiàn)代戰(zhàn)爭要求攔截彈具有快速反應(yīng)能力，零發(fā)射準(zhǔn)備時(shí)間.在攔截彈的設(shè)計(jì)過程中，攔截彈道設(shè)計(jì)是重要的組成部分，通常設(shè)計(jì)攔截彈道主要是設(shè)計(jì)一條通過發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)并滿足約束條件的最優(yōu)攔截彈道，對于攔截彈來說，如何縮短導(dǎo)彈攔截時(shí)間，是導(dǎo)彈防御里的一項(xiàng)重要研究內(nèi)容［1-2］.

攔截彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)模型高度非線性、時(shí)間域跨度大、待優(yōu)化參數(shù)多、約束形式多樣化的復(fù)雜優(yōu)化問題，通常采用最優(yōu)化理論中的參數(shù)優(yōu)化來解決該問題.對于一枚確定的攔截彈，其各項(xiàng)參數(shù)包括各級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)推力、發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間等都是確定的，其各階段運(yùn)動(dòng)規(guī)律基本一致［3-5］.因此對于某一預(yù)測命中點(diǎn)，所要解決的就是定點(diǎn)定時(shí)到達(dá)預(yù)測命中點(diǎn)的彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)問題.一般的優(yōu)化算法都要通過大量的迭代計(jì)算來完成，包括模式搜索法、擬牛頓法、序列二次規(guī)劃法，以及多種現(xiàn)代啟發(fā)式算法如遺傳算法、粒子群算法等［6-9］，都需要每次代入設(shè)計(jì)變量，通過彈道計(jì)算過程計(jì)算優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)以使目標(biāo)函數(shù)越來越趨近于最優(yōu)，而彈道計(jì)算過程中需要通過許多積分運(yùn)算來計(jì)算彈道，所以就會(huì)消耗大量的計(jì)算時(shí)間.這就使導(dǎo)彈不能快速去攔截目標(biāo)，在實(shí)際攔截過程中，就可能失去攔截目標(biāo)的機(jī)會(huì).基于文獻(xiàn)［10］提出將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于制導(dǎo)律設(shè)計(jì)以及文獻(xiàn)［11］提到的將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于機(jī)載實(shí)時(shí)軌跡優(yōu)化導(dǎo)引的啟發(fā)，對于攔截彈這種中間過程規(guī)律性較強(qiáng)的彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，可以嘗試運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來設(shè)計(jì)彈道.

本文研究如何利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理解決快速彈道設(shè)計(jì)問題.首先對多階段攔截彈道的優(yōu)化問題作詳細(xì)的描述，然后介紹了如何把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于快速彈道設(shè)計(jì)，最后給出了算例仿真和結(jié)果分析.

1 攔截彈的數(shù)學(xué)建模

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

攔截彈分為3級(jí)，采用固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，從第3級(jí)關(guān)機(jī)點(diǎn)到預(yù)測攔截點(diǎn)是無動(dòng)力飛行階段.為了簡化問題，同時(shí)考慮到攔截彈的飛行特性，做出如下假設(shè):

1)假設(shè)地球?yàn)閳A球形;

2)采用USSA76標(biāo)準(zhǔn)大氣模型;

3)忽略導(dǎo)彈的側(cè)向運(yùn)動(dòng)，即導(dǎo)彈始終在發(fā)射點(diǎn)、預(yù)測攔截點(diǎn)和地心確定的大圓面內(nèi);

4)只考慮導(dǎo)彈彈體的俯仰運(yùn)動(dòng)［12］.

基于上述假設(shè)可得攔截彈的動(dòng)力學(xué)方程:

式中，i=1，2，3…為攔截彈飛行的不同階段;vi，θi，ωi，?i，xi，yi為狀態(tài)變量，分別代表攔截彈的速度、彈道傾角、俯仰角速度、俯仰角和攔截彈的位置坐標(biāo);δi為控制變量，代表發(fā)動(dòng)機(jī)噴管擺角;Pi為發(fā)動(dòng)機(jī)推力;ρ，s分別為大氣密度和參考面積;CDi，CLi分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù);Mzi，Izi分別為俯仰力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;mi為攔截彈的質(zhì)量［12］:

式中，m0i為第 i級(jí)起始質(zhì)量;為推進(jìn)劑消耗率［12］.

1.2 飛行程序設(shè)計(jì)

飛行程序是指導(dǎo)彈主動(dòng)段俯仰角隨時(shí)間變化的規(guī)律，飛行程序的選擇是彈道設(shè)計(jì)的重要組成部分.導(dǎo)彈飛行中的實(shí)際俯仰角?(t)與飛行程序角φcx(t)一般是不相等的，但因二者相差甚微，因此彈道計(jì)算中可近似認(rèn)為導(dǎo)彈是按飛行程序角規(guī)律飛行的，即?(t)≈φcx(t).

導(dǎo)彈俯仰角?、彈道傾角θ以及攻角α存在如下關(guān)系式:

對于依托于氣動(dòng)力轉(zhuǎn)彎的導(dǎo)彈，一般是通過預(yù)先給出攻角經(jīng)驗(yàn)公式α(t)來推求飛行程序角的.但是地基攔截彈的轉(zhuǎn)彎是通過發(fā)動(dòng)機(jī)尾噴管有一個(gè)擺角，然后對導(dǎo)彈產(chǎn)生一個(gè)推力矩，導(dǎo)彈開始轉(zhuǎn)彎.導(dǎo)彈的轉(zhuǎn)彎不是通過氣動(dòng)力矩轉(zhuǎn)彎，所以這里飛行程序角隨時(shí)間變化的規(guī)律是直接給出的［13-14］.

一般單級(jí)導(dǎo)彈只進(jìn)行一次飛行轉(zhuǎn)彎，且轉(zhuǎn)彎設(shè)計(jì)在亞聲速段.因?yàn)檫@里研究的是3級(jí)攔截彈，所以設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)彎是經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)彎，分別是在一級(jí)助推階段和二級(jí)助推階段.采用的飛行程序角為:一級(jí)采用二次曲線型的程序角，二級(jí)采用的是等斜率變化的程序角.兩次轉(zhuǎn)彎程序角都是設(shè)定俯仰角的變化.

飛行程序角的變化規(guī)律為

式中，t1，t1f，t2，t2f分別為一級(jí)轉(zhuǎn)彎開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間、二級(jí)轉(zhuǎn)彎開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間;φ1，φ2為常值，而拋物線方程系數(shù)a，b，c和直線斜率可由t=t1f和t=t2f時(shí)α=0、俯仰角為定值以及允許俯仰角速度的大小來確定.

為了得到全局最優(yōu)解，一級(jí)轉(zhuǎn)彎開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間全部為固定值，在一級(jí)轉(zhuǎn)彎結(jié)束時(shí)俯仰角達(dá)到程序角的最小值，這樣可以保證一級(jí)轉(zhuǎn)彎時(shí)俯仰角的變化是單調(diào)下降的.二級(jí)轉(zhuǎn)彎開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間也設(shè)為固定值，這樣在整個(gè)飛行階段程序角的變化如圖1所示.從圖中可以看出只要改變一級(jí)轉(zhuǎn)彎和二級(jí)轉(zhuǎn)彎結(jié)束時(shí)飛行程序角的大小，攔截彈道就會(huì)改變.

圖1 程序角變化曲線Fig.1 Program angle change curve

1.3 彈道優(yōu)化模型

基于以上原理，并根據(jù)實(shí)測試驗(yàn)，可以將影響彈道的參數(shù)簡化為兩個(gè)參數(shù):飛行程序角φ1，φ2，即一級(jí)轉(zhuǎn)彎和二級(jí)轉(zhuǎn)彎結(jié)束時(shí)俯仰角的大小.也就是說，調(diào)整這兩個(gè)參數(shù)即可以做到定時(shí)到達(dá)預(yù)測命中點(diǎn).于是，彈道設(shè)計(jì)問題即可以用參數(shù)優(yōu)化來實(shí)現(xiàn).

1)優(yōu)化目標(biāo).

目標(biāo)函數(shù)f(φ1，φ2)為被動(dòng)段結(jié)束時(shí)導(dǎo)彈位置與預(yù)測命中點(diǎn)的距離最小.

2)設(shè)計(jì)變量.

優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為兩個(gè)飛行程序角φ1，φ2，且φ1≥φ2.

3)約束條件.

初始狀態(tài)約束:攔截彈在初始發(fā)射階段有垂直段，因此初始狀態(tài)要滿足:

時(shí)間約束:一級(jí)轉(zhuǎn)彎開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間、二級(jí)轉(zhuǎn)彎開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間、三級(jí)主發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間均為固定值.

擺角約束:最大允許噴管擺角為δmax，則

狀態(tài)連續(xù)性約束:

2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的快速彈道設(shè)計(jì)

2.1 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的快速彈道設(shè)計(jì)原理

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種模仿生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和功能的數(shù)學(xué)模型，這種算法可以直接建立一種輸入和輸出的簡單映射關(guān)系，而不管中間的計(jì)算過程［15］.使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立參數(shù)優(yōu)化模型可以避開繁瑣的計(jì)算過程，這樣就節(jié)省了時(shí)間，在彈道設(shè)計(jì)的過程中達(dá)到快速的目的.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以事先在導(dǎo)彈的射程區(qū)間內(nèi)采樣，然后通過樣本學(xué)習(xí)其中的規(guī)律，將規(guī)律貯存于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值之中，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算過程中只有輸入量與權(quán)值閾值之間簡單的乘法和加法運(yùn)算，所以給出輸入量即可迅速計(jì)算出對應(yīng)最優(yōu)的設(shè)計(jì)變量.

對于定點(diǎn)定時(shí)到達(dá)預(yù)測命中點(diǎn)的彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，只要輸入目標(biāo)點(diǎn)信息(包括目標(biāo)位置和攔截彈飛行時(shí)間)，就可以用傳統(tǒng)優(yōu)化算法確定攔截彈道飛行程序角的參數(shù)，從而得到攔截彈道.這是一般彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法，其流程圖如圖2所示，從圖中可看出每一次迭代都要調(diào)用一次彈道計(jì)算程序，若每調(diào)用一次彈道計(jì)算程序耗時(shí)約T(單位:s)，共迭代N次，則整個(gè)彈道設(shè)計(jì)流程共耗時(shí)約(N+1)T.

圖2 傳統(tǒng)優(yōu)化算法的彈道設(shè)計(jì)流程圖Fig.2 Trajectory design flow chart using general optimization algorithm

將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于攔截彈道設(shè)計(jì)中，則其流程圖如圖3所示.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的樣本計(jì)算和樣本訓(xùn)練可以提前在線下完成，而對于訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸入目標(biāo)點(diǎn)信息，就可以通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中輸入與輸出間的簡單映射關(guān)系一步計(jì)算得到最優(yōu)設(shè)計(jì)變量，從而得到攔截彈道.從圖3中可看出該過程只調(diào)用一次彈道計(jì)算程序，所以共耗時(shí)約T，比傳統(tǒng)優(yōu)化方法降低NT.

圖3 應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的彈道設(shè)計(jì)流程圖Fig.3 Trajectory design flow chart using neural network

2.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)樣本的生成

根據(jù)前面所述，樣本數(shù)據(jù)中輸入?yún)?shù)為目標(biāo)點(diǎn)信息(包括目標(biāo)距離、目標(biāo)高度、攔截時(shí)間)，輸出參數(shù)為最優(yōu)飛行程序角(φ1，φ2)，共5個(gè)參數(shù).其中目標(biāo)距離和目標(biāo)高度根據(jù)攔截彈的攔截空域來確定，且樣本范圍盡量取滿整個(gè)攔截空域，來使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用更加有效.攔截時(shí)間也并不是隨便選取，而是需要確定攔截時(shí)間的邊界，利用一維搜索法(黃金分割法等)確定滿足約束條件的最小飛行時(shí)間和最大飛行時(shí)間，然后從中選取.只要有了目標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)，就可以用一般的優(yōu)化算法確定攔截彈最優(yōu)飛行程序角的參數(shù).最后把每一組輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)作為一組數(shù)據(jù)，而攔截空域內(nèi)的多組數(shù)據(jù)則組成一個(gè)訓(xùn)練樣本.

2.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

這里采用的是一種最常用的誤差反向傳播(BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).根據(jù)樣本數(shù)據(jù)中輸入輸出個(gè)數(shù)，建立一個(gè)3個(gè)輸入、2個(gè)輸出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，所建立的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含2層隱層，第1隱層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為8個(gè)，第2隱層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為6個(gè)，輸出層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為2個(gè).第1隱層和第2隱層的神經(jīng)元傳遞函數(shù)均為正切S型函數(shù)(tansig)，輸出層的神經(jīng)元傳遞函數(shù)為純線性函數(shù)(purelin).

建立的3個(gè)輸入、2個(gè)輸出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖4所示，其中w表示權(quán)值，b表示閾值.

圖4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.4 BP neural network structure

根據(jù)所設(shè)計(jì)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和樣本，用訓(xùn)練算法(這里采用Lenvnberg-Marquandt算法)對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，得到最終的權(quán)值和閾值.根據(jù)所建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算關(guān)系和訓(xùn)練后的權(quán)值和閾值，給出輸入，即可快速計(jì)算得到相應(yīng)輸出.

3 算例仿真

本文算例采用如下初始條件:攔截彈初始位置(0，0)，預(yù)測攔截點(diǎn)坐標(biāo)(1 172，721)(單位:km).射程d=500～1500km，攔截高度范圍取h=500～1500km，初始速度V=0m/s，初始彈道傾角θ=π/2，初始攻角 α =0°.噴管擺角約束 δmax=10°，δmin=10°.攔截彈主動(dòng)段共有 3 級(jí)，發(fā)動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間分別為:第1級(jí)69 s，第2級(jí)70 s，第3級(jí)68 s.為計(jì)算方便發(fā)射時(shí)間定為零時(shí)，目標(biāo)在331 s時(shí)刻到達(dá)預(yù)測命中點(diǎn).

在射程和射高范圍內(nèi)得到480組樣本數(shù)據(jù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果如圖5所示，經(jīng)過424次訓(xùn)練后訓(xùn)練停止，訓(xùn)練誤差精度在418次達(dá)到最好，為0.0081621，從圖中可以看出結(jié)果合理，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練達(dá)到預(yù)期效果.圖6是對網(wǎng)絡(luò)輸出和相應(yīng)的期望輸出向量進(jìn)行線性回歸分析，可以看出訓(xùn)練數(shù)據(jù)的跟蹤效果很好，線性回歸相關(guān)系數(shù)R=0.99997.

圖5 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練均方誤差Fig.5 Mean squared error of neural network training

圖6 訓(xùn)練數(shù)據(jù)線性回歸結(jié)果Fig.6 Linear regression results of training data

圖7和圖8分別為攔截彈道曲線和攔截彈速度曲線，可以看出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的彈道與理論彈道基本一致.表1中對比了粒子群算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算結(jié)果，數(shù)據(jù)表明雖然神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算得到的與預(yù)測命中點(diǎn)偏差較大一些，但此命中精度依然較為良好，而相比仿真時(shí)間，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所需的仿真時(shí)間極短.

圖7 攔截彈道曲線Fig.7 Intercept trajectory curve

圖8 攔截彈速度曲線Fig.8 Velocity curve of interceptor

表1 仿真算例結(jié)果清單Table1 Results list of simulation example

在攔截射程和高度范圍內(nèi)隨機(jī)選取預(yù)測攔截點(diǎn)，對于用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法設(shè)計(jì)彈道的與預(yù)測命中點(diǎn)偏差進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真，結(jié)果如圖9所示.從圖中可看出預(yù)測命中偏差均在2 km以內(nèi)，平均值為0.53km，這樣的誤差在實(shí)際作戰(zhàn)中足夠讓攔截彈的彈頭找到并準(zhǔn)確擊中目標(biāo)，說明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于彈道設(shè)計(jì)的方法是有效的.部分不同攔截點(diǎn)下的結(jié)果對比如表2所示.

圖9 不同攔截點(diǎn)的蒙特卡洛仿真Fig.9 Monte Carlo simulation in different intercept points

表2 不同攔截點(diǎn)下的部分結(jié)果對比Table2 Some results comparison in different intercept points

4 結(jié)論

本文建立了攔截彈的動(dòng)力學(xué)模型、飛行程序和彈道優(yōu)化模型，并在分析神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算原理的基礎(chǔ)上提出了一種新的攔截彈的快速彈道設(shè)計(jì)方法，經(jīng)過仿真實(shí)例驗(yàn)證表明:

1)該方法相比傳統(tǒng)算法設(shè)計(jì)的攔截彈彈道偏差稍大，但依然有良好的命中精度.

2)該方法在設(shè)計(jì)攔截彈道時(shí)的計(jì)算時(shí)間得到極大的縮短，有效地實(shí)現(xiàn)了快速設(shè)計(jì)彈道.

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