樊九九，郭霖瀚，楊懿，馬麟

(北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院，北京100191)

目前，很多學(xué)者對修理級別分析(LORA)做了大量的研究.1998年，Barros［1］提出多級多層修理級別優(yōu)化模型，Barros等［2］于2001年采用分支定界法來求解該模型.2006年，Gutin等［3］提出用二分圖表示Barros修理級別優(yōu)化模型，提高了解的精確性，同年Saranga等［4］將智能遺傳算法應(yīng)用到修理級別優(yōu)化模型中.2009年，Basten等［5］通過放松對決策變量的約束，將修理級別優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為最小費(fèi)用流模型.2011年，Basten等［6-7］正式采用最小費(fèi)用流方法直接求解多級多站點(diǎn)的修理級別優(yōu)化模型.

在庫存優(yōu)化方面，Sherbrooke［8］于 1968年首次提出兩層單級備件庫存METRIC模型.1973年Muckstadt［9］將 METRIC 模型拓展為兩層兩級，建立了 MOD-METRIC 模型.1985 年，Graves［10］為兩層單級METRIC模型提出了一種更準(zhǔn)確的近似估算法，即 VARI-METRIC 模型，而 Sherbrooke［11］于1986年將此模型(VARI-METRIC)拓展為兩級.1990年，Axsater［12］利用懲罰成本約束代替服務(wù)水平，為METRIC模型提出了另一種評估方法.Kim等［13］在2007年對傳統(tǒng)多級多層庫存模型中的時間分布進(jìn)行拓展，提供了可修備件在一般修理時間分布下的算法.

因?yàn)樾蘩砑墑e分析中并不考慮基地的可用性，如果只是簡單的依次考慮修理級別和備件庫存，并不能得到最優(yōu)的解決方案.于是，有些學(xué)者開始考慮將修理級別分析和備件庫存聯(lián)合優(yōu)化，從而得到最優(yōu)方案.1997 年，Alfredsson［14］首次建立聯(lián)合修理級別分析和備件庫存優(yōu)化的兩層單級模型.2003 年，Sleptchenko 等［15］將維修能力考慮進(jìn)來，提出有限維修能力下的修理級別和庫存優(yōu)化模型.2011年，Basten等［16-17］對修理級別與庫存聯(lián)合優(yōu)化有了深入的研究，在文獻(xiàn)［7］的最小費(fèi)用流修理級別優(yōu)化模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，分別采用邊際分析法和迭代算法求解模型.

然而，在傳統(tǒng)的研究中，維修時間卻極少被考慮，它是影響裝備系統(tǒng)可用度的重要參數(shù).為了縮短維修時間，就需要存儲一定數(shù)量的備件.備件庫存水平的提高意味著維修時間的縮短，但同時備件配置的費(fèi)用將隨之增加.優(yōu)化的目標(biāo)是要得到費(fèi)效比最佳的修理級別及庫存配置數(shù)量，所以費(fèi)用不可能無限地增長，備件庫存水平也會受到限制.因此，為了尋找維修時間最短的送修級別，并使該時間下維修費(fèi)用盡可能低，需要綜合考慮維修時間和備件配置費(fèi)用這兩種因素.維修時間包括凈維修時間和資源等待時間，凈維修時間指按照具體的維修步驟，完成維修保障功能所需要的實(shí)際工作執(zhí)行時間，屬于固定時間;資源等待時間指保障資源配置數(shù)量有限，導(dǎo)致保障資源被占用而產(chǎn)生的等待時間，屬于變化時間.在各類資源中，等待人力人員、保障設(shè)備和保障設(shè)施的時間相當(dāng)于完成故障件隊(duì)列的凈維修時間，維修完后即可完成等待;但等待備件時，由于備件需要跨站點(diǎn)運(yùn)輸，由備件引起的等待時間將遠(yuǎn)遠(yuǎn)長于凈維修時間，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)長于其他資源的等待時間.縮短凈維修時間或其他資源等待時間相對于整個維修時間的變化并無明顯效果，因此修理級別優(yōu)化中令維修時間盡可能短主要通過縮短備件等待時間來實(shí)現(xiàn).利用Little公式，可以將備件等待時間轉(zhuǎn)化為備件短缺期望數(shù)(EBO)，所以可以將維修時間-費(fèi)用平衡轉(zhuǎn)化為EBO-費(fèi)用平衡.本文以EBO為目標(biāo)函數(shù)，費(fèi)用為約束條件，建立考慮維修時間的修理級別與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化的模型.

1 優(yōu)化模型

1.1 建模分析

本文分析了單層三級保障系統(tǒng)，如圖1所示.

圖1 單層三級保障結(jié)構(gòu)Fig.1 Single-indenture three-echelon support organization

本文修理級別優(yōu)化問題建立在多級保障組織的結(jié)構(gòu)中，需求數(shù)、在修件數(shù)和短缺數(shù)的隨機(jī)傳遞過程在各級保障組織間相互影響，研究這些影響關(guān)系是建模的前提(見圖2).

圖2 LRU需求數(shù)、在修件數(shù)和短缺數(shù)的隨機(jī)傳遞關(guān)系Fig.2 Stochastic transitive relation of demand，in-repairing and backorder of LRU

在保障組織各級別站點(diǎn)中，備件需求序列都服從均值為該站點(diǎn)需求率的平穩(wěn)隨機(jī)過程，修理級別間需求過程的傳遞關(guān)系通過各級別站點(diǎn)需求過程的數(shù)字特征相互聯(lián)系.

在多級保障組織中，當(dāng)有故障件到達(dá)時，故障件送至各級別維修均有一定的概率.若選擇基層級進(jìn)行維修，則第i個外場可更換單元(LRU)在基層級Oa站點(diǎn)產(chǎn)生的備件需求率:

第i個LRU在中繼級Ib站點(diǎn)的需求率:

第i個LRU在基地級Dc站點(diǎn)的需求率:

式中，mOa0i表示第i個LRU在外場Oa站點(diǎn)的實(shí)際備件需求數(shù)量;uOa1i表示第i個LRU在基層級Oa站點(diǎn)維修的概率;uOa2i表示基層級Oa站點(diǎn)的第i個LRU送至中繼級Ib站點(diǎn)維修的概率;uOa3i表示基層級Oa站點(diǎn)的第i個LRU送至基地級Dc站點(diǎn)維修的概率;uIb2i表示第i個LRU送至中繼級Ib站點(diǎn)后在本級維修的概率;uIb3i表示第i個LRU送至中繼級Ib站點(diǎn)后再送至基地級Dc站點(diǎn)維修的概率.

根據(jù)帕爾姆定理［18］可知，若備件的需求率服從均值為m的泊松過程，各故障件的維修周轉(zhuǎn)時間為均值T，且分布相互獨(dú)立，則在修件數(shù)服從均值為mT的泊松分布.

第i個LRU在基層級Oa站點(diǎn)的在修件期望數(shù):

第i個LRU在中繼級Ib站點(diǎn)的在修件期望數(shù):

第i個LRU在基地級Dc站點(diǎn)的在修件期望數(shù):

式中，TOai，TIbi，TDci分別表示第 i個 LRU 在基層級Oa站點(diǎn)、中繼級Ib站點(diǎn)和基地級Dc站點(diǎn)的維修時間;TOawi，TIbwi，TDcwi分別表示基層級 Oa站點(diǎn)、中繼級Ib站點(diǎn)和基地級Dc站點(diǎn)等待第i個LRU備件補(bǔ)給的時間;OIbOai表示第i個LRU在基層級Oa站點(diǎn)和中繼級Ib站點(diǎn)之間的往返時間;ODcOai表示第i個LRU在基地級Dc站點(diǎn)和基層級Oa站點(diǎn)之間的往返時間;ODcIbi表示第i個LRU在基地級Dc站點(diǎn)和中繼級Ib站點(diǎn)之間的往返時間.

需求到達(dá)后，高級別站點(diǎn)將對提出LRU需求的低級別站點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)給，若該站點(diǎn)庫存不足，則出現(xiàn)短缺.

第i個LRU在基層級Oa站點(diǎn)的備件期望短缺數(shù):

第i個LRU在中繼級Ib站點(diǎn)的備件期望短缺數(shù):

第i個LRU在基地級Dc站點(diǎn)的備件期望短缺數(shù):

式中sOai，sIbi和sDci分別為第i個LRU在基層級Oa站點(diǎn)、中繼級Ib站點(diǎn)和基地級Dc站點(diǎn)的庫存數(shù).

修理級別優(yōu)化問題關(guān)注的是基層級的備件等待時間，根據(jù)Little公式，平均等待備件時間可以通過期望備件短缺數(shù)EBO除以備件需求率計(jì)算得出，即

式中，Tw為備件等待時間;m為備件需求量.結(jié)合多級保障組織多層產(chǎn)品結(jié)構(gòu)中備件期望短缺數(shù)的傳遞過程，推導(dǎo)得到基層級LRU的期望短缺數(shù)，代入式(10)得到基層級Oa站點(diǎn)、中繼級Ib站點(diǎn)和基地級Dc站點(diǎn)的第i個LRU的等待時間.

1.2 目標(biāo)函數(shù)及建模條件

本文主要是考慮維修時間的修理級別與庫存聯(lián)合優(yōu)化，要權(quán)衡維修時間(主要是備件等待時間)和費(fèi)用之間的關(guān)系.在引言中，已經(jīng)分析了本模型的目標(biāo)函數(shù)是EBO，而EBO是由備件等待時間轉(zhuǎn)化而來的.因此優(yōu)化模型的實(shí)際目標(biāo)函數(shù)是備件的平均等待時間.現(xiàn)推導(dǎo)以目標(biāo)函數(shù)為前提的平均等待時間與EBO之間的關(guān)系.

在多級保障組織中，平均等待時間是指基層級各站點(diǎn)平均等待時間按各自需求率加權(quán)的平均值，如式(11):

式中，mOa為基層級Oa站點(diǎn)的需求率，為該站點(diǎn)各類LRU需求率之和，即為第 i個LRU在基層級Oa站點(diǎn)的種類數(shù);TOaw為基層級Oa站點(diǎn)的平均等待時間，同理可利用式(11)由該站點(diǎn)各類 LRU平均等待時間計(jì)算而得.根據(jù)式(10)，可得

由式(12)可知，當(dāng)需求率已知時，令平均等待時間Tw最小相當(dāng)于令最小，即為本模型目標(biāo)函數(shù).

本模型的維修活動在以下條件下進(jìn)行:

1)LRU故障時間服從指數(shù)分布;

2)庫存策略為可修產(chǎn)品的及時送修策略——(s－1，s)策略;

3)除備件外，其他維修資源均供應(yīng)充足且維修都是成功的.

1.3 多級優(yōu)化模型

經(jīng)引言分析，本優(yōu)化模型的約束條件需要考慮維修費(fèi)用和決策變量兩類約束.

維修費(fèi)用包括資源費(fèi)用和備件費(fèi)用.在資源費(fèi)用方面，由于假設(shè)維修都是成功的，使得維持維修能力所需的資源費(fèi)用也為固定值，無優(yōu)化效果.在建立關(guān)于費(fèi)用約束的不等式時，從費(fèi)用上限中可以將此部分費(fèi)用略去，費(fèi)用不等式方程兩邊也不會受到影響.在備件費(fèi)用方面，按模型的中間變量，即庫存配置數(shù)量計(jì)算備件配置的總費(fèi)用.將維修費(fèi)用限定在一定范圍內(nèi)，構(gòu)造維修費(fèi)用的約束式，如式(13):

式中，ci為第i個LRU的單位購置成本;Cm為費(fèi)用上限.

在決策變量約束方面，包含3部分內(nèi)容:①由于優(yōu)化建模要得出的是確定的修理級別，所以各變量均為0-1變量，1表示在該站點(diǎn)維修，0表示不在該站點(diǎn)維修，這部分約束如式(14)所示;②對故障LRU，只能送往基層級、中繼級和基地級中的某一個級別，如式(15)所示;③當(dāng)故障LRU被送往中繼級維修時，可選擇在中繼級本地維修，也可選擇送往基地級維修，如式(16)所示.

綜上，本模型可以表示為

2 優(yōu)化算法

2.1 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)B(s，u)分析

相對于傳統(tǒng)METRIC模型中目標(biāo)函數(shù)B(s)，本文引入送修決策變量u后，期望備件短缺數(shù)函數(shù)不再以庫存為唯一變量，而是以庫存數(shù)s和送修級別u為變量的二維變量函數(shù)B(s，u).盡管EBO在庫存維表現(xiàn)出凸函數(shù)特性，但在送修級別維的函數(shù)性質(zhì)并不明確.

下面選擇三級保障組織單項(xiàng)備件為對象，驗(yàn)證B(u)的函數(shù)特性.

設(shè)各級修理級別僅有一個站點(diǎn)，LRU送往基層級、中繼級和基地級維修的概率向量為u={u1，u2，u3}，且均為0-1 變量.設(shè)各級別站點(diǎn)備件庫存數(shù)為0，則期望短缺數(shù)與該站點(diǎn)的需求數(shù)相等，3種取值下基層級期望短缺數(shù)分別為

式中，T1，T2，T3分別為基層級、中繼級和基地級的維修時間;O2，O3分別為基層級與中繼級和基地級之間的申領(lǐng)交貨時間.令B(u3)＞B(u2)＞B(u1)，則

二階差分的計(jì)算式為

調(diào)整站點(diǎn)間的距離或定義適當(dāng)?shù)木S修時間，都能使Δ2B(u)＜0同時滿足式(19)，因此B(u)為非凸函數(shù).按照凸優(yōu)化算法的原理，以庫存數(shù)s和送修級別組合u為變量的二維變量函數(shù)B(s，u)在實(shí)施凸優(yōu)化算法時需要對庫存數(shù)和送修級別分別進(jìn)行遍歷.B(u)為非凸函數(shù)，說明加入送修級別變量后，優(yōu)化問題的尋優(yōu)路徑受到了影響，進(jìn)而影響到凸優(yōu)化算法的應(yīng)用，需要對函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)或?qū)λ惴ㄟM(jìn)行改進(jìn).

2.2 算法分析

由于對各類備件的送修級別組合進(jìn)行遍歷時，送修級別組合循環(huán)嵌套在備件種類循環(huán)內(nèi)，所以，若在遍歷備件種類之前，已按送修級別決策變量構(gòu)造出各類備件的EBO凸曲線，則各類備件按其單位費(fèi)用效應(yīng)邊際量迭代可以進(jìn)行凸優(yōu)化.因此，解決非凸函數(shù)優(yōu)化算法的關(guān)鍵在于:為各類備件以送修級別為唯一變量的非凸函數(shù)B(u)分別構(gòu)造凸函數(shù).

構(gòu)造每類備件的修理級別凸函數(shù)的過程與構(gòu)造B(u)-C費(fèi)用優(yōu)化曲線的方法相同，也是利用增加該類備件產(chǎn)生的單位費(fèi)用效應(yīng)進(jìn)行尋優(yōu)決策.對于某一類備件，可能有多種送修級別可供選擇，此時相當(dāng)于固定B(s，u)中的庫存s，比較哪種選擇產(chǎn)生的B(u)最小，在追加備件庫存的每一步都選擇產(chǎn)生最小B(u)的送修級別，則可產(chǎn)生最優(yōu)的B(u)-C凸曲線.

用B(u)-C凸曲線上的點(diǎn)進(jìn)行各類備件間的優(yōu)化分析，得到的將是B(s，u)-C最優(yōu)曲線.采用邊際分析法，生成B(s，u)-C費(fèi)用最優(yōu)曲線.算法步驟如下:

步驟1 初始化庫存數(shù)量si=0，?i;

步驟2 獲取各類備件在各站點(diǎn)的送修級別以及在各站點(diǎn)的EBO;

步驟3 構(gòu)造各類備件在送修組合下的凸曲線;

步驟4 對各類備件凸曲線上的數(shù)據(jù)計(jì)算EBO-費(fèi)用的邊際效應(yīng)值Δ;

步驟5 選擇Δ最高的備件和修理級別配置備件;

步驟6 檢查是否超出費(fèi)用約束，若未超出，返回步驟2，否則停止.

3 應(yīng)用案例

本文示例以裝備的維修規(guī)劃為背景，介紹針對關(guān)鍵LRU部件，如何按照本文提出的修理級別優(yōu)化理論，應(yīng)用凸規(guī)劃優(yōu)化算法，進(jìn)行保障系統(tǒng)修理級別分析、建模、求解和驗(yàn)證工作.

在本案例中，建立如圖1所示的單層三級優(yōu)化模型.一個基地級有兩個中繼級(I1和I2)，每個中繼級有兩個基層級(O1，O2和 O3，O4).在每個基層級部署10個系統(tǒng)，每個系統(tǒng)由4類LRU組成.考慮到每個站點(diǎn)所處環(huán)境不同、系統(tǒng)使用情況不同，故同類LRU在不同站點(diǎn)需求率不同，不同站點(diǎn)維修能力不同(修理時間).利用Simlox軟件對4個基層級的40個系統(tǒng)執(zhí)行1年任務(wù)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，輸入數(shù)據(jù)如表1所示.

輸出結(jié)果:費(fèi)用約束是100萬元;目標(biāo)函數(shù)EBO優(yōu)化值為2.3.最優(yōu)修理級別如表2所示.

LRU在各級站點(diǎn)的最優(yōu)庫存配置如表3所示.

表1 多站點(diǎn)多類LRU的輸入數(shù)據(jù)Table1 Input data of multi-station multi-type LRU

表2 各類各站點(diǎn)LRU最優(yōu)修理級別Table2 Optimal level of repair of LRU in each station and each type

表3 各備件最優(yōu)庫存配置Table3 Optimal inventory allocation of each spare

如圖3所示為EBOi-C曲線和EBO-C曲線.

圖3 各類LRU優(yōu)化曲線Fig.3 Optimal curves of each LRU

從圖3中可以看出4類LRU在總費(fèi)用約束下分別得出的EBO優(yōu)化曲線，在圖4中展示了4類LRU的綜合 EBO優(yōu)化曲線.在圖5中，以表1的數(shù)據(jù)、表2的最優(yōu)修理級別和表3的庫存配置作為仿真輸入，利用Simlox軟件，對利用本文所提出算法及模型算出的EBO進(jìn)行仿真驗(yàn)證，可以得出仿真EBO為2.7，而理論計(jì)算值為2.3，兩者之間相差很近，即可證明本文算法的正確性.

圖4 多類LRU綜合優(yōu)化曲線Fig.4 Comprehensive optimal curve of multi-type LRU

圖5 多類LRU優(yōu)化和仿真曲線Fig.5 Optimization and simulation curve ofmulti-type LRU

4 結(jié)論

本文提出了一種在復(fù)雜裝備保障系統(tǒng)中重點(diǎn)考慮維修效能的修理級別分析方法，建立了備件庫存與修理級別分析聯(lián)合優(yōu)化模型.

1)根據(jù)本文所提出模型和算法，能夠?qū)?fù)雜裝備保障系統(tǒng)中的修理級別和備件進(jìn)行優(yōu)化.

2)本文所設(shè)計(jì)的多變量凸優(yōu)化算法能夠解決大規(guī)模站點(diǎn)群數(shù)量和備件數(shù)量的循環(huán)嵌套運(yùn)算.

3)利用本模型所得出的最優(yōu)修理級別和庫存配置，通過Simlox軟件仿真，比較目標(biāo)函數(shù)值EBO的仿真和理論計(jì)算結(jié)果，證明了本文所提出的模型和算法的正確性.

下一步的工作將著眼于考慮更多的維修資源以及資源相關(guān)性，建立有限維修能力的優(yōu)化模型.

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