論重合度與齒輪參數(shù)的關(guān)系

葉素娣 徐敬華 徐圣倫

（1.蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院 安徽蕪湖241006；2.浙江大學(xué) 浙江杭州310027；3.鄭州大學(xué) 河南鄭州450000）

齒輪傳動在工業(yè)、汽車、航空等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，在漸開線直齒圓柱齒輪傳動中，主動齒輪與從動齒輪必須模數(shù)相等、壓力角相等，這是齒輪正確嚙合的條件，是齒輪正常傳動的必要條件但非充分條件。由于輪齒的高度有限，嚙合的區(qū)間有限，齒輪能否連續(xù)傳動還要看輪齒對能否及時接替，即前一對輪齒脫離嚙合時，后一對輪齒是否已進(jìn)入嚙合，這樣就引入了重合度的概念。

重合度是齒輪傳動中一個非常重要的性能指標(biāo)，重合度小于1，表明前一對輪齒即將分離而后一對輪齒尚未進(jìn)入，傳動就會中斷，所以必須使重合度大于等于1[1,2]，傳動才能繼續(xù)。重合度表示在齒輪轉(zhuǎn)過一個齒距時間內(nèi)，參與嚙合的輪齒的平均對數(shù)，該值越大，表明同時參與嚙合的輪齒對數(shù)多，在相同的載荷作用下分?jǐn)偟矫繉嘄X的載荷就小，負(fù)荷變動量小，從而提高了整個齒輪的承載能力，且傳動平穩(wěn)，減小振動和噪聲，改善傳動性能，因此重合度越大越好。文獻(xiàn)[3]和[4]說明重合度對齒輪剛度和載荷大小有影響，而剛度是齒輪非線性振動特性的重要因素之一,當(dāng)重合度一定時，齒輪機(jī)構(gòu)的響應(yīng)在不同載荷條件下是完全不同的，輕載比重載情況更容易發(fā)生混沌響應(yīng)。[3-4]文獻(xiàn)[5]論述了重合度越大，齒輪傳動噪聲越小，而隨著齒頂高增大重合度增大，此時齒根彎曲疲勞強(qiáng)度也增大，齒面接觸強(qiáng)度的許用載荷隨著重合度的減小而減小。[5]

一、影響外嚙合直齒圓柱齒輪重合度的參數(shù)分析

重合度ε 計(jì)算公式為：

式中i—傳動比，

a—標(biāo)準(zhǔn)中心距，

b—a',—實(shí)際中心距，

c—Δ—中心距相對誤差。

從式（2）（3）（4）（5）可知，重合度的大小取決于齒數(shù)、壓力角、齒頂高系數(shù)以及中心距相對誤差，而與模數(shù)無關(guān)。

（一）齒數(shù)越大，重合度越大。由公式（2）可知，重合度的大小與齒數(shù)成正相關(guān)，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪傳動中的一個齒輪齒數(shù)大到無窮時，由漸開線性質(zhì)可知此時的齒形將變成直線，齒輪變成齒條，在其它基本參數(shù)取為標(biāo)準(zhǔn)值時，重合度大到極限，所以重合度的極大值應(yīng)該出現(xiàn)在齒輪齒條的傳動中。圖1為標(biāo)準(zhǔn)直齒條的幾何圖形，A點(diǎn)為齒條齒頂線與公法線的交點(diǎn)，P點(diǎn)為分度線與公法線的交點(diǎn)，則AB表示實(shí)際嚙合線的長度。

圖1 齒條的幾何圖形

公式推導(dǎo)如下：故：AB=2ha*×m/sinα

將標(biāo)準(zhǔn)齒頂高系數(shù)ha*=1，壓力角α=20°代入上式，得到εmax=1.981；若用短齒的齒頂高系數(shù)ha*＝0.8代入，得到εmax=1.585，因此標(biāo)準(zhǔn)的齒輪齒條傳動比短齒的齒輪齒條傳動的重合度大。

εmax=1.981的物理意義：在一個基圓齒距的時間內(nèi)有98.1%的時間是雙齒嚙合，只有1.9%的時間是單齒嚙合，因此齒輪齒條機(jī)構(gòu)能夠承受大的載荷并且傳動平穩(wěn)。

（二）齒頂高系數(shù)越大，重合度ε 越大。由公式（3）和（4）可知，齒頂高系數(shù)影響齒頂角的大小，從而影響重合度。

圖2 重合度與齒頂高系數(shù)的關(guān)系

從圖2可以看出，增大齒頂高系數(shù)可以顯著提高齒輪副的重合度，但齒頂高系數(shù)過于增大將直接導(dǎo)致齒頂變尖，從而引發(fā)崩齒，因此該系數(shù)不宜過大。標(biāo)準(zhǔn)齒輪取1，短齒取0.8。在相同傳動比時，齒數(shù)越大重合度越大；而在相同齒數(shù)時，傳動比越大，重合度越大。

（三）中心距相對誤差越小，重合度越大。由公式（5）可知，當(dāng)實(shí)際安裝中心距α'與標(biāo)準(zhǔn)中心距a一致，即Δ＝a'-a=0時，有α'=α 成立；當(dāng)a'>a，即Δ莛0時，α'莛α，ε 減小。

圖3 重合度與中心距相對誤差的關(guān)系

將重合度隨著中心距相對誤差的變化而變化的趨勢用圖3直觀表達(dá)，從中可以看出重合度變化的總體趨勢是隨中心距相對誤差的增大而減小，并在傳動比不變而齒數(shù)變大以及齒數(shù)不變而傳動比變大時呈現(xiàn)加速下降趨勢。

雖然傳動比的不變性和中心距的可變性是漸開線齒輪傳動的一大特色，但中心距的變大將導(dǎo)致重合度的明顯減小，因此在齒輪安裝時，應(yīng)保證中心距相對誤差Δ＜1%。

（四）壓力角越小，重合度越大。由公式（3）（4）（5）可知，壓力角影響著齒頂角和嚙合角的大小，從而影響重合度的大小，如圖4所示，重合度隨著壓力角的增大而減小，從這點(diǎn)上講，應(yīng)取較小的壓力角，但在齒輪設(shè)計(jì)中為了減小彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力，提高齒輪傳動的強(qiáng)度，應(yīng)盡量在滿足重合度的基礎(chǔ)上取較大的壓力角。國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)齒輪分度圓上的壓力角取20°。

圖4 重合度與壓力角的關(guān)系

二、影響漸開線斜齒圓柱齒輪重合度的因素

在充分理解了漸開線直齒圓柱齒輪重合度基礎(chǔ)上，分析漸開線斜齒圓柱齒輪的重合度就比較簡單，我們只需搞清楚兩者在傳動過程中的區(qū)別點(diǎn)就可以了。直齒傳動的特點(diǎn)是整個齒寬同時進(jìn)入嚙合，又同時退出嚙合；而斜齒因?yàn)辇X廓接觸線是斜線，故傳動的特點(diǎn)是逐漸從前端面進(jìn)入嚙合并逐漸從后端面脫離嚙合，顯然這與齒寬和螺旋角有關(guān)。

從圖5可知，F(xiàn)G之間的區(qū)域?yàn)辇X輪的嚙合區(qū)，對直齒傳動來說，輪齒整個齒寬同時在F點(diǎn)進(jìn)入嚙合，在G點(diǎn)脫離嚙合，其重合度用εα表示。對于斜齒傳動來說，其輪齒在進(jìn)入嚙合和脫離嚙合時不是整個齒寬，G僅是輪齒的一端開始脫離嚙合，而到整個輪齒全部脫離還要繼續(xù)嚙合長度為GH=B×tgβ 的距離，故斜齒輪傳動的重合度可以表示為ε=εα+εβ，是在直齒重合度εα的基礎(chǔ)上外加一個軸向重合度εβ，

其中B—齒寬，β—螺旋角，pt—端面齒距

圖5 斜齒輪的重合度

從公式（7）可知，斜齒輪傳動的重合度隨著齒寬B和螺旋角β 增加而增加，這就是斜齒輪傳動平穩(wěn)，沖擊和噪聲小，承載能力高的主要原因。

當(dāng)齒寬B和螺旋角β 以及端面齒距一定時，標(biāo)準(zhǔn)漸開線斜齒輪齒條機(jī)構(gòu)傳動時所具有的重合度為

三、結(jié)論

（一）重合度是漸開線直齒圓柱齒輪中的重要概念，通過公式分析獲知重合度的大小取決于小齒輪齒數(shù)、壓力角、齒頂高系數(shù)以及傳動比與中心距相對誤差。

（二）由重合度公式分析出標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪傳動中其一為齒條時可獲得重合度的最大值，并且通過齒條的幾何形狀求出漸開線直齒圓柱齒輪重合度的最大值為1.981，而斜齒輪重合度的最大值為εmax=1.981+B×tgβ/Pt。

（三）通過matlab繪圖工具得出重合度與齒頂高系數(shù)、中心距相對誤差以及壓力角之間的關(guān)系，從而在齒輪設(shè)計(jì)中，在保證彎曲強(qiáng)度和疲勞強(qiáng)度以及不干涉、不根切、不變尖等條件下，合理、正確地選擇這些參數(shù)提供理論依據(jù)。

[1]欒學(xué)鋼.機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)(第2 版)[M].高等教育出版社，2006.

[2]黃茂林，鄭增銘，張清珍.機(jī)械原理[M].重慶大學(xué)出版社，1995.

[3]唐進(jìn)元，王志偉，雷敦財(cái).載荷與齒輪嚙合剛度、重合度的關(guān)系研究[J].機(jī)械傳動，2014(6).

[4]張祖芳，陳衛(wèi)東，黃康.重合度對齒輪副非線性動力學(xué)特性影響研究[J].組合機(jī)床與自動化加工技術(shù)，2014(2).

[5]馮輝英，于興芝.基于重合度對齒輪傳動影響分析[J].現(xiàn)代機(jī)械，2009(4).