不同材料桿組成的均質(zhì)四邊形邊框繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

鮑四元

(蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011)

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不同材料桿組成的均質(zhì)四邊形邊框繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

鮑四元

(蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011)

摘要：對(duì)不同材料桿組成的均質(zhì)四邊形邊框，利用離散質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的質(zhì)心公式確定均質(zhì)四邊形邊框的質(zhì)心位置。基于平行軸定理推導(dǎo)四邊形邊框繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的解析公式用四邊形的4條邊長(zhǎng)、對(duì)角線長(zhǎng)和對(duì)邊夾角表示。已有文獻(xiàn)的一些公式成為本文結(jié)果的特例，所用方法可進(jìn)一步推廣到求解其他邊框圖形繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

關(guān)鍵詞：剛體；邊框;四邊形；質(zhì)心;轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

0引言

物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是個(gè)經(jīng)典問(wèn)題。最近，不少學(xué)者對(duì)具有規(guī)則形狀的物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行了研究，如橢圓環(huán)[1]、旋轉(zhuǎn)面[2]、分形物體[3-4]、四邊形物體[5]、邊框物體[6-7]等，文獻(xiàn)[6]及文獻(xiàn)[8]研究了任意均質(zhì)三角形邊框剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。已有文獻(xiàn)考慮的情況往往都是單一的材料，另外，至今尚未發(fā)現(xiàn)關(guān)于四邊形邊框剛體對(duì)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的文獻(xiàn)。

本文對(duì)于更一般的推廣結(jié)構(gòu)，即不同密度均質(zhì)四邊形桿組成的邊框剛體，建立直角坐標(biāo)系，利用離散質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的質(zhì)心公式確定均質(zhì)四邊形邊框的質(zhì)心位置，并嘗試推導(dǎo)原體系繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式。

1均質(zhì)四邊形邊框質(zhì)心位置的確定

如圖1，設(shè)均質(zhì)四邊形邊框A1B1C1D1的4條邊長(zhǎng)分別為A1B1=d,B1C1=a,C1D1=b,A1D1=c,對(duì)角線A1C1=e,B1D1=f，質(zhì)量線密度分別為常量λa、λb、λc和λd，4條邊的中點(diǎn)分別為A、B、C和D(即各邊的質(zhì)心)。

圖1　 四邊形桿邊框的示意圖

建立一個(gè)直角坐標(biāo)系xOy，原點(diǎn)O可任意確定。設(shè)A1、B1、C1和D1的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)和(x4,y4)。由于4桿A1B1、B1C1、C1D1和D1A1都是均質(zhì)的，故4桿質(zhì)心的坐標(biāo)分別為：

在A、B、C和D上分別放置質(zhì)量為ma=λaa,mb=λbb,mc=λcc和md=λdd的4個(gè)質(zhì)點(diǎn),此4質(zhì)點(diǎn)體系的質(zhì)心G即為均質(zhì)四邊形邊框的質(zhì)心。由力學(xué)中離散質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的質(zhì)心公式得質(zhì)心G的坐標(biāo)(xG,yG)為：

(1)

式中：M=ma+mb+mc+md。

將A1B1、B1C1、C1D1和D1A14桿質(zhì)心坐標(biāo)代入質(zhì)心G的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)得質(zhì)心坐標(biāo)的一種表示：

(2)

2化簡(jiǎn)

化簡(jiǎn)ma(AG)2+mb(BG)2+mc(CG)2+md(DG)2

由勾股定理得：

(3)

為方便，記xij=xi-xj,yij=yi-yj(其中i,j表示圖1中點(diǎn)的位置)，如式(3)中，xAG=xA-xG。由式(1)得

(4)

類(lèi)似地，

(5)

故

ma(xAG)2+mb(xBG)2+mc(xCG)2+md(xDG)2=

(6)

式中：P=2xBAxAC+2xCBxBA+2xACxCB；Q=2xBDxDA+2xBAxAD+2xADxBA；R=2xCBxBD+2xBDxDC+2xDCxCB；S=2xADxDC+2xDCxCA+2xCAxAD。

(7)

對(duì)Q、R、S可作類(lèi)似處理，從而式(6)化為

ma(xAG)2+mb(xBG)2+mc(xCG)2+md(xDG)2=

(8)

類(lèi)似地化簡(jiǎn)關(guān)于y坐標(biāo)的表達(dá)式如下：

ma(yAG)2+mb(yBG)2+mc(yCG)2+md(yDG)2=

(9)

式(8)與(9)相加，并利用式(3)得

ma(AG)2+mb(BG)2+mc(CG)2+md(DG)2=

(10)

玉鉞是良渚器物中最高貴的。它是權(quán)力的象征，根據(jù)權(quán)力的大小高低，鉞的質(zhì)地不同，有石鉞，也有玉鉞，只有王才能擁有最好的鉞——玉鉞。鉞在中國(guó)古代也稱(chēng)之為戚，它本是一種武器，即斧頭，陶淵明有詩(shī)云：“刑天舞干戚，猛志固長(zhǎng)在?！焙髞?lái)，戚成為古代君王權(quán)杖。

圖1中，由三角形中位線定理得BA=CD=f/2，AD=CB=e/2，又ma=λaa，mb=λbb,mc=λcc,代入式(10)得

ma(AG)2+mb(BG)2+mc(CG)2+md(DG)2=

(11)

3均質(zhì)四邊形邊框?qū)|(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)質(zhì)心軸垂直于四邊形所在的平面，由細(xì)桿對(duì)自身形心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式、平行軸定理及式(11)易得均質(zhì)四邊形邊框?qū)|(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

這里考慮4根桿的單位長(zhǎng)度質(zhì)量相等，即λa=λb=λc=λd=λ的情況。此時(shí)，均質(zhì)四邊形邊框?qū)|(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

IG=IaG+IbG+IcG+IdG=

(12)

考查2個(gè)特例。

特例2是三角形桿框架系統(tǒng)。當(dāng)d=0時(shí)，A1和B1重合，此時(shí)四邊形邊框A1B1C1D1退化為三角形A1C1D1(圖3)?；?jiǎn)式(12)得三角形桿框架對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(13)

此結(jié)果與文獻(xiàn)[6]及文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果完全一致。

圖2　平行四邊形桿邊框的示意圖

圖3　三角形桿邊框的示意圖

4結(jié)論

1)任意四邊形形狀、不同材料桿組成的均質(zhì)邊框的質(zhì)心在其中點(diǎn)四邊形內(nèi)，具體位置可由離散質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心公式確定。

2)由式(10)知，各桿質(zhì)量與其質(zhì)心到邊框質(zhì)心的距離平方乘積的和恰好等于4桿中所有任選2桿質(zhì)心點(diǎn)連線距離平方與這2根桿各自的質(zhì)量三者乘積之和除以桿框架的總質(zhì)量。

3)利用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義及剛體系質(zhì)心坐標(biāo)公式，可得不同材料桿組成的均質(zhì)四邊形邊框繞過(guò)質(zhì)心的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式。當(dāng)4桿質(zhì)量線密度相等時(shí)，給出公式的解析形式。驗(yàn)算了2個(gè)特例情況：平行四邊形桿框架系統(tǒng)和三角形邊框系統(tǒng)。所得結(jié)果與已有文獻(xiàn)結(jié)果完全一致，從而證明了本文結(jié)論的有效性。

[參考文獻(xiàn)]

[1]趙新聞,周欣然,楊兵初.橢圓環(huán)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[J].大學(xué)物理，2008,27(6):13-14.

[2]樓智美.均質(zhì)旋轉(zhuǎn)面繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[J].大學(xué)物理，2009,28(12):22-24.

[3]許佳敏，邱為鋼.分形物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算[J].大學(xué)物理，2011，30(11):53-55.

[4]鮑四元，湯亞娟.基于迭代法對(duì)分形物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的研究[J].大學(xué)物理，2014，33(9)：11-14.

[5]周?chē)?guó)全.任意四邊形剛體平板繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式[J].物理與工程，2002,12(6):24-26.

[6]周?chē)?guó)全，徐斌富.均質(zhì)邊框三角形剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式[J].大學(xué)物理，2012，31( 12):8-9.

[7]李力.簡(jiǎn)捷推導(dǎo)均質(zhì)三角形邊框剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[J].大學(xué)物理,2013,32(5)：19.

[8]孫徐莉,鮑四元.不同材料組成的均質(zhì)邊框三角形剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[J].常州工學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，27(5)：14-16.

責(zé)任編輯：唐海燕

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On the Rotation Inertia of a Rigid Quadrilateral Frame of Different Materials Round Its Centroid-through Axis

BAO Siyuan

(School of Civil Engineering,Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215011)

Abstract：By using the centroid formula of system of particles,the centroid of an arbitrary rigid quadrilateral frame made up of several materials is determined.Based on the parallel axis theorem,the rotation inertia of a rigid quadrilateral frame round its mass center axis is derived.The moment inertia of the rigid body is expressed by the edge length,the diagonal length,and the angle between the opposite sides of the quadrilateral frame.Some results in available literature have become the special cases of findings in this paper.The method in use can be further used in cases of other grid-like rigid bodies.

Key words：rigid body;frame;quadrilateral;centroid;rotation inertia

中圖分類(lèi)號(hào)：O313.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671-0436(2015)04-0001-05

作者簡(jiǎn)介：鮑四元(1980—)，男，博士，副教授。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11202146)；江蘇省“青藍(lán)工程”優(yōu)秀青年骨干教師資助項(xiàng)目

收稿日期：2015-01-22