杜玉霞,梁　武,汪洪燕

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽宿州，234000

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矩陣方程(AX,YA)=(B1,B2)的埃爾米特廣義反漢密爾頓半正定解

杜玉霞,梁武,汪洪燕

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽宿州，234000

摘要：設(shè)J∈Rn×n是給定的正交反對(duì)稱矩陣，即JJT=JTJ=In,JT=-J。如果矩陣A∈Cn×n滿足(1)AH=A,JAJ=-AH;(2)?x∈Cn,xHAx≥0,則稱A為埃爾米特廣義反漢密爾頓半正定矩陣，所有n階埃爾米特廣義反漢密爾頓半正定矩陣的集合記為HAH。主要利用矩陣自身的結(jié)構(gòu)研究了矩陣方程(AX,YA)=(B1,B2)在集合HAH中有解的充分必要條件；且在有解時(shí)解的表達(dá)式為。

關(guān)鍵詞：矩陣方程；埃爾米特廣義反漢密爾頓矩陣；有解條件

1　問題的提出

設(shè)J∈Rn×n是給定的正交反對(duì)稱矩陣，即JJT=JTJ=In,JT=-J。如果矩陣A∈Cn×n滿足：

(1)AH=A,JAJ=-AH；

(2)?x∈Cn,xHAx≥0

約束矩陣方程問題產(chǎn)生于線性控制領(lǐng)域，它是矩陣計(jì)算的一個(gè)基本問題，已被廣泛研究, 并得到了許多重要的結(jié)論，見參考文獻(xiàn)[1-6]。文獻(xiàn)[1]研究了線性方程AX=B的埃爾米特廣義反漢密爾頓半正定解，本文主要利用矩陣自身的結(jié)構(gòu)研究矩陣方程(AX,YA)=(B1,B2)具有反埃爾米特廣義漢密爾頓半正定解的充分必要條件及其在有解時(shí)解的表達(dá)式。

2　相關(guān)引理

引理1[1]令：

A=YZ++(YZ+)H(In-ZZ+)+(In-

3　問題求解

定理給定矩陣X,B1∈Cn×m1,Y,B2∈Cm2×n,令矩陣：

X1,X2,Y1,Y2∈Ck×(m1+m2)

=rank(Yi),i=1,2

而且，當(dāng)上述條件成立時(shí)，一般解可表示為：

(1)

又AH=-A,QHQ=QQH=In

=rank(Yi),i=1,2

而且，一般解可表示為：

將M1,M2代入引理1中，整理即可得解集合(1)式。

證畢。

參考文獻(xiàn)：

[1]張忠志，胡錫炎，張磊．線性矩陣方程的埃爾米特廣義反漢密爾頓半正定解[J]．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2006，26A(4)：612-620

[2]張磊．對(duì)稱非負(fù)定矩陣反問題的可解條件[J]．計(jì)算數(shù)學(xué)，1989(11)：337-343

[3]袁永新．線性流形上實(shí)對(duì)稱半正定陣的一類反問題[J]．高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000(2)：153-158

[4]Xie D X,Zhang L, Hu X Y.The solvability conditions for the inverse problem of bisymmetric nonnegative definite matrices[J].Journal of Computational Mathematics,2000,18(6):597-608

[5]魏平，張忠志，謝冬秀．埃爾米特廣義漢密爾頓矩陣的廣義逆特征值問題[J]．工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27(5)：820-826

[6]王江濤，張忠志，謝冬秀，等．一類矩陣方程的埃爾米特自反最小二乘解[J]．系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2010，30(8)：1136-1147

(責(zé)任編輯：汪材印)

作者簡(jiǎn)介：杜玉霞(1981-)，女，山東定陶人，碩士，助教，主要研究方向：矩陣方程反問題。

基金項(xiàng)目：安徽省級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目“Matlab輔助線性代數(shù)教學(xué)及其在實(shí)際應(yīng)用案例中的價(jià)值研究”(AH201410379078)。

收稿日期：2015-07-16

中圖分類號(hào)：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-2006(2015)10-0094-02

doi:10.3969/j.issn.1673-2006.2015.10.025