張 雷，胡云安，韓慶龍

（海軍航空工程學(xué)院a.研究生管理大隊(duì)；b.控制工程系；c.基礎(chǔ)部，山東煙臺(tái)264001）

無(wú)穩(wěn)定狀態(tài)顫振的單變量極值搜索算法仿真

張 雷a，胡云安b，韓慶龍c

（海軍航空工程學(xué)院a.研究生管理大隊(duì)；b.控制工程系；c.基礎(chǔ)部，山東煙臺(tái)264001）

針對(duì)無(wú)穩(wěn)定狀態(tài)顫振的單變量極值搜索算法限制條件較為嚴(yán)格的問(wèn)題，利用平均化方法構(gòu)造了平均化系統(tǒng)并證明了算法的穩(wěn)定性，給出了系統(tǒng)參數(shù)的選取條件。以微噴十字粱實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為例進(jìn)行應(yīng)用仿真研究，說(shuō)明無(wú)穩(wěn)定狀態(tài)顫振極值搜索算法可減弱系統(tǒng)顫振，改善算法穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。

單變量；極值搜索算法；穩(wěn)定狀態(tài)顫振

在系統(tǒng)輸出與待搜索變量之間存在最大值或最小值關(guān)系時(shí)，即可以用某種損失函數(shù)來(lái)表示，運(yùn)用極值搜索算法可以在沒(méi)有準(zhǔn)確知道或者不知曉損失函數(shù)形式和待搜索變量的情況下，仍能使系統(tǒng)輸出取得最大值或最小值[1]。文獻(xiàn)[2]首次對(duì)一般非線(xiàn)性對(duì)象的極值搜索控制穩(wěn)定性作出了深入地分析。文獻(xiàn)[3]在單變量極值搜索算法中加入動(dòng)態(tài)補(bǔ)償裝置，既可以保證算法穩(wěn)定性，同時(shí)也加快了系統(tǒng)的收斂速度，而且消除了自適應(yīng)增益較小的要求。Ying Tan等人在基于正弦激勵(lì)信號(hào)的單變量極值搜索算法的基礎(chǔ)上提出了一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的極值搜索算法[4]，這種極值搜索算法的設(shè)計(jì)省略了原單變量極值搜索算法設(shè)計(jì)中高、低通濾波器，僅保留了積分環(huán)節(jié)和正弦激勵(lì)信號(hào)環(huán)節(jié)。文獻(xiàn)[5]在極值搜索算法結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，提出了一種通過(guò)自適應(yīng)調(diào)節(jié)激勵(lì)信號(hào)幅值使系統(tǒng)在局部極值存在的情況下仍能收斂到全局極值的方法，并證明了算法在全局極值點(diǎn)處是半全局漸近穩(wěn)定的。文獻(xiàn)[6]在半全局極值搜索算法結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上加入了高通濾波器，改善了算法的準(zhǔn)確性和快速性。文獻(xiàn)[7]以微噴十字粱實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為例，采用極值搜索算法，加入動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器，并利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近激勵(lì)信號(hào)的最優(yōu)幅值以改善系統(tǒng)性能，設(shè)計(jì)控制器進(jìn)行仿真研究。文獻(xiàn)[8]針對(duì)傳統(tǒng)極值搜索算法存在的顫振問(wèn)題提出了多種新型極值搜索算法，為研究解決穩(wěn)定狀態(tài)顫振問(wèn)題拓寬了思路。文獻(xiàn)[9]利用平均化方法對(duì)極值搜索算法進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)[10]針對(duì)傳統(tǒng)極值搜索算法存在穩(wěn)定狀態(tài)顫振的問(wèn)題提出了無(wú)穩(wěn)定狀態(tài)顫振極值搜索算法，將動(dòng)態(tài)系統(tǒng)近似為標(biāo)量系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，該算法在特定情況下可收斂至損失函數(shù)的全局極值，同時(shí)當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)幾乎無(wú)顫振現(xiàn)象。

本文針對(duì)文獻(xiàn)[10]中的無(wú)穩(wěn)定狀態(tài)顫振極值搜索算法其穩(wěn)定性證明限制條件較為嚴(yán)格的問(wèn)題，利用平均化方法構(gòu)造了平均化系統(tǒng)，參考平均化系統(tǒng)構(gòu)造李雅普洛夫函數(shù)證明了算法的穩(wěn)定性，給出了算法中的參數(shù)選取條件，并以微噴十字粱實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真研究。采用傳統(tǒng)極值搜索算法進(jìn)行了對(duì)比仿真，驗(yàn)證了無(wú)穩(wěn)定狀態(tài)顫振的單變量極值搜索算法可有效減弱系統(tǒng)顫振，可改善算法的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。

1 無(wú)穩(wěn)定狀態(tài)顫振的單變量極值搜索算法

考慮一般SISO非線(xiàn)性模型：

假設(shè)已知系統(tǒng)的控制律為

將式（2）代入式（1），可以得到閉環(huán)系統(tǒng)方程：

極值搜索對(duì)象應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足以下3個(gè)假設(shè)條件。

假設(shè)1：當(dāng)系統(tǒng)采用控制律u(t)=α(x(t),θ)時(shí)，存在光滑函數(shù)l：→，使得成立。

假設(shè)2并不是必要條件，僅說(shuō)明即使在不了解模型函數(shù)f(x ,u)和l(θ)的情況下，仍存在一個(gè)控制律使得系統(tǒng)（3）是漸近穩(wěn)定。

假設(shè)3：存在θ?∈，使得

無(wú)穩(wěn)定狀態(tài)顫振的單變量極值搜索算法結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，d(t)是幅值為1；周期為ω的激勵(lì)信號(hào)，主要用于調(diào)制和解調(diào)信號(hào)；k為比例常數(shù)；為系統(tǒng)輸出信號(hào)中的低頻信號(hào)；η為經(jīng)低通濾波器過(guò)濾后的信號(hào)；為調(diào)制激勵(lì)信號(hào)的幅值；δ為解調(diào)激勵(lì)信號(hào)的幅值；ωh為高通濾波器截止頻率；ωl為低通濾波器截止頻率。

圖1 無(wú)穩(wěn)定狀態(tài)顫振的單變量極值搜索算法結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Scheme of single-variable extremum seeking algorithm without steady-state chatter

為了詳細(xì)地說(shuō)明極值搜索算法工作原理，可以認(rèn)為搜索信號(hào)θ的變化頻率比調(diào)制激勵(lì)信號(hào)ad(t)和解調(diào)激勵(lì)信號(hào)δd(t)慢得多，因而在某時(shí)刻可以將信號(hào)θ看作是不隨時(shí)間變化的，那么可得系統(tǒng)輸出，運(yùn)用Taylor公式可以得到：

理想情況下，該信號(hào)經(jīng)過(guò)高通濾波器（HPF）后，將會(huì)完全消除低頻信號(hào)β。因此，經(jīng)過(guò)HPF后的輸出信號(hào)y-β為

再與激勵(lì)信號(hào)δd()t相乘后，得到反饋信號(hào)為

反饋信號(hào)中的高頻信號(hào)部分經(jīng)積分環(huán)節(jié)后其影響可忽略不計(jì)，即對(duì)積分環(huán)節(jié)產(chǎn)生作用的梯度信號(hào)為

在理想情況下，可以得到系統(tǒng)輸出函數(shù)對(duì)于搜索變量θ的梯度。根據(jù)自適應(yīng)控制中的梯度法，為了使系統(tǒng)輸出取得極值，沿輸出函數(shù)的負(fù)梯度方向變更參數(shù)是合理的，經(jīng)過(guò)積分環(huán)節(jié)，驅(qū)使參數(shù)θ向損失函數(shù)達(dá)到極值時(shí)對(duì)應(yīng)的θ?運(yùn)動(dòng)，最終使得當(dāng)θ=θ?時(shí)，系統(tǒng)輸出y也取得極值。

2 穩(wěn)定性分析

由于完全證明極值搜索算法穩(wěn)定性具有很大的難度，本文在以往證明限制條件嚴(yán)格的基礎(chǔ)上放寬了限制條件，以便更好地證明極值搜索算法的穩(wěn)定性?？刂葡到y(tǒng)狀態(tài)方程與損失函數(shù)為：

控制輸入量為

不失一般性，假設(shè)系統(tǒng)搜索變量θ存在對(duì)應(yīng)的值θ?，使得系統(tǒng)輸出有最小值y?()t，那么搜索變量誤差可以為

假設(shè)控制對(duì)象（8）滿(mǎn)足以下條件：

式（11）中：σ1、σ2、σ3、σ4、σ5都是正實(shí)數(shù)；|e|＜γ，γ為已知的正實(shí)數(shù)。

將系統(tǒng)的控制輸入量式（9）、（10）代入系統(tǒng)的狀態(tài)方程式（8），同時(shí)考慮調(diào)制激勵(lì)信號(hào)可得

高通濾波器和搜索變量誤差的狀態(tài)方程為：

低通濾波器的狀態(tài)方程和幅值調(diào)節(jié)律為：

式（13）、（14）中：ωh＞0；ωl＞0，通常選擇較小的參數(shù)，在每個(gè)周期里滿(mǎn)足，λ為固定正的常值。

考慮到假設(shè)2中的x=l(θ)，則控制系統(tǒng)存在以下關(guān)系：

考慮到系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)ad(t)、δd(t)的輸入，將式（15）代入式（13）、（14）中并運(yùn)用平均化方法，控制器部分的狀態(tài)方程可得：

式（16）、（17）中，O()?為無(wú)窮小量。

由式（16）、（17）可知平均化后的系統(tǒng)中，高通濾波器狀態(tài)量 β經(jīng)平均化后被消去，結(jié)合控制系統(tǒng)式（8）、（9）和式（16）、（17），選取李雅普洛夫函數(shù)為

由式（8）、（16）、（17）和假設(shè)1、2可知系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)存在=0，=0，此時(shí)，則系統(tǒng)平衡點(diǎn)為=0，=0。

由式（11）中的假設(shè)可以得到

假設(shè)4：存在合適的正實(shí)數(shù)k，可以使得

綜上所述，通過(guò)以上分析可以得到以下結(jié)論。

定理1：控制對(duì)象如式（8）所示，在滿(mǎn)足假設(shè)1～3和條件（11）的情況下，選取Lyapunov函數(shù)V(ηˉ,eˉ)如式（18）所示，如果系統(tǒng)參數(shù)選取滿(mǎn)足假設(shè)4時(shí)，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)，該平均化控制系統(tǒng)（16）、（17）是漸近穩(wěn)定的。

根據(jù)定理1和平均化原理[9]，可以得到如下結(jié)論：

定理2：當(dāng)平均化控制對(duì)象（16）、（17）漸近穩(wěn)定時(shí)，由假設(shè)條件4所確定的系統(tǒng)參數(shù)為，當(dāng)控制對(duì)象（8）中選取的參數(shù)滿(mǎn)足時(shí)，針對(duì)控制對(duì)象（8）設(shè)計(jì)的極值搜索控制器也是漸近穩(wěn)定的。

因此，由式（21）可知，極值搜索算法設(shè)計(jì)的控制器穩(wěn)定性不僅與濾波器的頻率ωl有關(guān)，而且與比例系數(shù)k、激勵(lì)信號(hào)的幅值δ和幅值調(diào)節(jié)系數(shù)r有直接的關(guān)系。

3 仿真分析

為了能將極值搜索算法應(yīng)用到十字梁微噴系統(tǒng)的俯仰通道，文獻(xiàn)[7]構(gòu)建系統(tǒng)的損失函數(shù)為，其中：?為實(shí)際俯仰角；??為俯仰角給定值。同時(shí)，針對(duì)十字梁微噴系統(tǒng)的俯仰通道模型，運(yùn)用極值搜索算法設(shè)計(jì)了俯仰通道控制器。

本節(jié)以十字梁微噴系統(tǒng)模型為仿真對(duì)象，采用無(wú)穩(wěn)定狀態(tài)顫振極值搜索算法對(duì)比傳統(tǒng)極值搜索算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證?；跇O值搜索算法的控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖2中：激勵(lì)信號(hào)d(t)=sin(ωt)；ρ為固定的信號(hào)幅值；θ為極值搜索變量；為俯仰角的微分信號(hào)；kd、kp是十字梁微噴系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)；在實(shí)際模型中系統(tǒng)參數(shù)c=2.81，b=0.405 16，kd=1.5，kp=-0.5，給定俯仰角??=5°。

圖2 基于傳統(tǒng)極值搜索算法的控制結(jié)構(gòu)Fig.2 Control scheme of traditional extremum seeking algorithm

采用圖2中的傳統(tǒng)極值搜索算法進(jìn)行仿真，選取控制參數(shù)分別為k=10、ωh=2rad/s、ω=1rad/s、ρ=0.1，仿真結(jié)果如圖3～5中的虛線(xiàn)部分所示。

采用圖1所示的無(wú)穩(wěn)定狀態(tài)顫振極值搜索算法進(jìn)行仿真，同樣選取激勵(lì)信號(hào)d(t)=sin(ωt)，選取控制參數(shù)分別為k=10、ωh=2 rad/s、ωl=0.1rad/s、r=10、ω=1rad/s、δ=0.1，仿真結(jié)果見(jiàn)圖3～5中的實(shí)線(xiàn)部分。

圖3 俯仰角?仿真對(duì)比圖Fig.3 Simulation comparison chart of pitch angle

圖4 損失函數(shù)輸出y仿真對(duì)比圖Fig.4 Simulation comparison chart of system output

圖5 激勵(lì)信號(hào)ρd(t)、ad(t)仿真對(duì)比圖Fig.5 Simulation comparison chart of pumping signal

由圖3～5中的虛線(xiàn)部分可以得到，采用傳統(tǒng)極值搜索算法時(shí)，由于反饋通道中加入的激勵(lì)信號(hào)ρsin(ωt)中的幅值固定不變，導(dǎo)致俯仰角輸出值達(dá)到5°時(shí)不斷顫振，同時(shí)輸出的損失函數(shù)始終存在顫振現(xiàn)象。

由圖3～5中的實(shí)線(xiàn)部分可以看出，采用無(wú)穩(wěn)定狀態(tài)顫振極值搜索算法時(shí)，激勵(lì)信號(hào)asin(ωt)中的幅值a隨損失函數(shù)梯度變化進(jìn)行調(diào)節(jié)，當(dāng)使俯仰角輸出值逐漸趨近于5°時(shí)，激勵(lì)信號(hào)asin(ωt)的幅值趨近于零，俯仰角輸出值達(dá)到5°時(shí)無(wú)顫振現(xiàn)象，同時(shí)輸出的損失函數(shù)無(wú)顫振現(xiàn)象，改善了算法的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

本文針對(duì)無(wú)穩(wěn)定狀態(tài)顫振極值搜索算法其穩(wěn)定性證明限制條件較為嚴(yán)格的問(wèn)題，利用平均化方法構(gòu)造了新的平均化系統(tǒng)，參考平均化系統(tǒng)構(gòu)造李雅普洛夫函數(shù)證明了算法的穩(wěn)定性，對(duì)比已有的穩(wěn)定性證明，給出了算法中的參數(shù)選取條件，并針對(duì)微噴十字粱實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為例進(jìn)行了仿真研究。

[1]KRSTIC M，WANG H H.Stability of extremum seeking feedback for general nonlinear dynamic systems[J].Automatic，2000，36（4）：595-601.

[2]左斌，胡云安，施建洪.極值搜索算法的研究與進(jìn)展[J].海軍航空工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，21（6）：611-617. ZUO BIN，HU YUNAN，SHI JIANHONG.Research and development of extremum seeking algorithm[J].Journal of Naval Aeronautical Engineering Institute，2006，21（6）：611-617.（in Chinese）

[3]TAN Y，NE?I? D，IVEN MAREELS I.On non-local stability properties of extremum seeking control[J].Auto-matica，2006，42（6）：889-903.

[4]TAN Y，NE?I? D，IVEN MAREELS I.On stability properties of a simple extremum seeking scheme[C]//The 45thIEEE Conference on Decision&Control.San Diego：IEEE，2006：2807-2812.

[5]YING TAN，DRAGAN NE?I?，IVEN MAREELS I，et al.On global extremum seeking in the presence of local extrema[J].Automatica，2009，45（1）：245-251.

[6]張雷，胡云安.基于高通濾波器的半全局極值搜索算法研究[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2012，12（29）：7580-7584. ZHANG LEI，HU YUNAN.Semi-global extremum seeking algorithm based on high-pass filter[J].Science Technology and Engineering，2012，12（29）：7580-7584.（in Chinese）

[7]左斌，胡云安，晉玉強(qiáng).利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)快速極值搜索算法研究微噴十字梁系統(tǒng)[J].海軍航空工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，20（1）：123-126. ZUO BIN，HU YUNAN，JIN YUQIANG.Study on neural network fast extreme seeking algorithms for jet cross beam system[J].Journal of Naval Aeronautical Engineering Institute，2005，20（1）：123-126.（in Chinese）

[8]左斌，李靜，胡云安.極值搜索算法研究及其應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2014：1-8. ZUO BIN，LI JING，HU YUNAN.Research on extremum seeking algorithm and its application[M].Beijing：National Defense Industry Press，2014：1-8.（in Chinese）

[9]IANNELLI L，JOHANSSON K，JONSSON H.Dither for smoothing relay feedback systems：An averaging approach[J].Transactions on Circuits and Systems：Part I，2001，50（8）：1025-1035.

[10]WANG LINBIN，CHEN SONGLIN，ZHAO HUI.A novel fast extremum seeking scheme without steady-state oscillation[C]//Proceedings of the 33thChinese Control Conference.Nanjing：Nanjing University of Science and Technology Press，2014：2807-2812.

Single-Variable Extremum Seeking Algorithm Simulation of Steady-State Chatter

ZHANG Leia,HU Yunanb,HAN Qinglongc
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Graduate Students’Brigade; b.Department of Control Engineering;c.Department of Basic Sciences,Yantai Shandong 264001,China）

The single-variable extremum seeking algorithm without steady-state chatter was hedged around with rigorous restrictions,the averaging method was used to construct the averaged system and the system stability was proved.System parameters selection requirement was given at last.The example of experimental system of jet cross beam was used to ap?plied simulate.The simulation results demonstrated that the extremum seeking algorithm without steady-state could atten?uate state chatter，improve stability and accuracy of algorithm.

single-variable;extremum seeking algorithm;steady-state chatter

TP273+.23

A

1673-1522（2015）05-0447-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2015.05.010

2015-06-09；

2015-07-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60674090）

張 雷（1988-），男，博士生；胡云安（1966-），男，教授，博士，博導(dǎo)。