趣味教學法在高等數(shù)學教學中的應用

齊 雪

趣味教學是將學生感興趣的問題或者實際生活中遇到的問題融入到課堂教學中，通過這些問題引出教學知識，解決教學問題，使抽象的知識得到具體的應用。本文將趣味教學應用于大學數(shù)學教學中，激發(fā)學生的學習興趣，提高課堂教學質(zhì)量，促進學生全面發(fā)展。趣味教學主要是激發(fā)學生的求知欲，使學生進入問題情境，從而產(chǎn)生好奇心，形成探究愿望［1］。這對提高學生的專業(yè)素養(yǎng)，培養(yǎng)高素質(zhì)應用型人才具有十分重要的意義。下面以幾個知識點為例，介紹趣味教學在高等數(shù)學教學中的應用。

一、函數(shù)概念中的趣味教學

大學生在中學已經(jīng)接觸過函數(shù)概念，也可以用函數(shù)分析一些實際問題，所以，作為復習內(nèi)容，可以提出一些實際生活中應用函數(shù)進行分析計算的例子。如話費升降問題、漲跌停板問題、庫存問題、軍備競賽問題，等等。

以話費升降問題為例［2］，我國的電信資費有一次結(jié)構(gòu)性的調(diào)整，調(diào)整前某地區(qū)固定電話的市話費為每3分鐘 （不足3分鐘的以3分鐘計算）0.18元，調(diào)整后前3分鐘0.22元，以后每1分鐘（不足1分鐘的以1分鐘計算）0.11元。那么，與調(diào)整前相比，市話費是降了還是升了？升、降的幅度是多少？接下來，老師要引導學生分別建立調(diào)整前、后話費與通話時間之間的函數(shù)關(guān)系。

調(diào)整前，話費y(t)與通話時間t之間的函數(shù)關(guān)系為：

調(diào)整后，話費Y(t)與通話時間t之間的函數(shù)關(guān)系為：

為了分析話費的升降情況，可以列表進行比較。

表1 話費升降情況

從表 1看出，只有當通話時間 t∈(3，4］時，調(diào)整后的話費才有所降低，其余的時段均比調(diào)整前有較大幅度的提高。

由此例可以幫助學生回憶與函數(shù)相關(guān)的知識。如自變量與因變量的關(guān)系可以用方程來表示分段函數(shù)的特點和性質(zhì)、變化幅度的計算等問題。教師可以此為出發(fā)點，將函數(shù)知識進行系統(tǒng)的復習。

二、極限知識中的趣味教學

極限概念的數(shù)學定義抽象難懂，學生學習起來有些困難，為了使極限的概念形象生動易于理解，可以結(jié)合一些生活實例進行講解。如1906年數(shù)學家科赫提出了描述雪花形狀曲線的方法：將一條線段三等分，先以中間的一段為底邊做一個正三角形，然后再去掉這個正三角形的底邊，可得到一條由4條長度為原線段長度1/3的線段構(gòu)成的折線，如果對構(gòu)成這條折線的每一條線段不斷重復上述的步驟，得到的曲線就是“科赫曲線”［3］。

下面，做一個邊長為a的正三角形，然后在這個三角形的每條邊上不斷重復上述的變換，便可以得到科赫雪花圖案。若以Cn、Sn分別表示第n步變換后的科赫雪花的周長和面積，則周長依次為：

由數(shù)學歸納法得：

Cn面積依次為：

由數(shù)學歸納法得：

觀察Cn和Sn的變化趨勢，判斷當n→∞時，Cn和Sn取值的趨向情況，進而引入數(shù)列極限的概念，通過這一節(jié)知識的學習來解決上述問題。于是，得到：

上述結(jié)果表明，科赫雪花圖案的面積是有限的，但周長卻趨于無窮大［4］。

由此例，學生們可以更加形象直觀地了解數(shù)列極限，對后續(xù)函數(shù)極限、極限性質(zhì)、極限計算等知識的學習也具有啟發(fā)作用。

三、級數(shù)知識中的趣味教學

級數(shù)知識是高等數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它是研究函數(shù)性質(zhì)和進行數(shù)值計算的有力工具［3］。下面通過一個有趣的例子引出級數(shù)概念，并利用級數(shù)知識解決相關(guān)問題。

古希臘著名哲學家Zeno曾經(jīng)提出一個悖論［5］：先讓烏龜爬行一段距離，然后再讓古希臘神話中善跑的英雄阿基里斯去追趕烏龜，那么阿基里斯是永遠也追不上烏龜?shù)?。Zeno提出此悖論的依據(jù)是：阿基里斯若想追趕上烏龜，必須先到達烏龜?shù)某霭l(fā)地點，而在這段時間內(nèi)，烏龜又向前爬行了一段距離，于是，阿基里斯必須趕上這段距離……如此分析下去，雖然阿基里斯離烏龜越來越近，但卻永遠也追不上烏龜。后來有人把Zeno的這個悖論移植到“龜兔賽跑”問題中，聲稱兔子永遠也追不上烏龜。這個結(jié)論顯然是錯誤的，但這種推理在邏輯上卻沒有問題，那么，問題究竟出在哪里呢？

下面，我們從數(shù)學的角度來分析這個問題。設(shè)兔子和烏龜?shù)乃俣确謩e是V和v（ V＞＞ ）v，如果兔子是在烏龜已經(jīng)爬過距離s1后開始追烏龜?shù)?，那么在兔子跑完距離s1的時間之內(nèi)，烏龜又爬行的距離s2為：

而在兔子跑完s2的時間之內(nèi)，烏龜又爬行的距離s3為：

以此類推，可知兔子需要追趕的全部路程S為：

要想得到S的具體數(shù)值，就要引入級數(shù)概念，通過級數(shù)知識的學習，對S進行計算和分析。分析結(jié)果：S是一個公比的等比級數(shù)，它的和即兔子只要從起點跑稍微超過s1不多的一點距離就能很快追上烏龜。

四、趣味教學應把握的原則

為使趣味教學收到良好的教學效果，教師在對引例進行篩選時要把握以下原則：

（1）針對性。即，引例要與所介紹的高等數(shù)學知識緊密相關(guān)；

（2）難度適中。即，引例的分析、求解要易于理解；

（3）趣味性。即，引例要能引起學生的求知欲、探索欲；

（4）典型性。即，引例要有代表性，要正確、合理。

趣味性引例只是趣味教學法的一個有力工具，教師的個人魅力、教學風格、教學形式也是趣味教學法的重要因素。我們要在教學過程中積極思考、探索、豐富和發(fā)展趣味教學法，以此使高等數(shù)學教學更加生動有趣、更加充滿魅力，從而提高教學質(zhì)量和水平。

[1]曹煒萍.數(shù)學中的趣味教學[J].科教文匯（下旬刊），2009（11）.

[2]李心燦.高等數(shù)學應用205例[M].北京：高等教育出版社，1997.

[3]李天勝.微積分[M].成都：電子科技大學出版社，2008.

[4]吳振奎.漫畫分形[J].中等數(shù)學，1998（3）.

[5]沈繼紅，施久玉，高振濱，等.數(shù)學建模[M].哈爾濱工程大學出版社，1996.