胡 勇，王嚴東

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大學物理實驗中實驗結(jié)果不確定度的表示，對學生來說一直是個難點。工科學生一般很難搞清不確定度的具體含義，只能按照書上的基本計算公式來寫出實驗結(jié)果。一般工科院校在大學物理實驗緒論課中要向?qū)W生講清實驗的數(shù)據(jù)處理以及誤差和不確定度的表示方法［1］。所以對于誤差和不確定度的表達方式是大學物理實驗緒論課程中的重要組成部分。

由于誤差表示比較直接，字面上的物理意義清晰，學生會直接將其理解為“測量值和真值的差”，誤差概念和高中物理知識銜接緊密，學生接受起來容易。但誤差的應(yīng)用實際已經(jīng)被淘汰，由于真值的不可測量誤差實際不可能被測出，只能用多次測量的“約定真值”來計算誤差，因此現(xiàn)在測量中一般都用不確定度來對測量結(jié)果進行表達。由于誤差理論和不確定度存在著數(shù)學、物理理論上的多處聯(lián)系，二者概念容易混淆，因此對測量誤差和不確定度的區(qū)別和聯(lián)系需要進行深入探討［2］。

1 物理測量不確定度

物理量測量不確定度是對物理量測量結(jié)果可信程度的評估。不確定度是與測量結(jié)果關(guān)聯(lián)的一個參數(shù)，用于表征合理賦予被測量的值的分散性。它可以用于“不確定度”方式，也可以是一個標準偏差(或其給定的倍數(shù))或給定置信度區(qū)間的半寬度。該參量常由很多分量組成，它的表達(GUM)中定義了獲得不確定度的不同方法［3］。

由于測量中存在人為因素、測量技術(shù)的理論缺陷以及儀器設(shè)備的不完善，對于直接測量的物理量不同次測量得到的結(jié)果是不一樣的，而是以一定的概率分散在某個區(qū)域內(nèi)的多值，也就是說我們無法通過測量而得到被測物理量的真值?？陀^存在的絕對誤差是一個相對確定的值，但由于人們無法完全掌握它的真值，因此測量值只能認為它是以某種概率分布于一定區(qū)域內(nèi)，并且這種概率分布本身也具有分散性。測量不確定度正是一個說明被測物理量之值分散性的重要參數(shù)，它反映了隨機不確定度分量和未定系統(tǒng)不確定度分量的聯(lián)合分布范圍。測量不確定度可由傳統(tǒng)誤差理論求得，測量結(jié)果表述必須同時包含賦予被測量的值及與該值相關(guān)的測量不確定度。由于物理量測量結(jié)果的不確定涉及到儀器的準確性、測量方法的缺陷、測量時人為因素等多種原因，因此對于測量不確定度按是否用統(tǒng)計的方法求得，分為A類和B類兩種。

A類不確定度是通過對多次測量結(jié)果進行分析，用概率統(tǒng)計的方法計算出的不確定度評定分量;B類不確定度是通過修正系統(tǒng)誤差后列出測量值其他的的全部誤差因素，依據(jù)經(jīng)驗或其它信息進行估計而求出的不確定度分量。A類和 B類分量最后用均方差的方法進行合成。由于標準偏差是描述多次測量平均值落在真值附近的概率，因此在大學物理實驗中，一般把A類不確定度用多次測量(直接或間接)的標準偏差代替。對于B類不確定度需要靠經(jīng)驗和其他信息進行估算，學生一般無法單獨給出。如:由于使用時間、設(shè)備磨損等原因?qū)е峦瑯右唤M多臺設(shè)備測量精度并不相同，測量同一物理量其結(jié)果也不相同。這就要求實驗指導(dǎo)教師具體向?qū)W生講解，告知學生所用設(shè)備的情況，給出相應(yīng)的B類不確定度。

2 測量誤差

在物理實驗中，待測物理量都是為客觀存在，在具體固定的條件下(如固體密度在一定溫度、壓力條件下為定值)具有不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀大小，人們將它稱為該物理量的真值。物理實驗對物理量進行具體測量是想要獲得待測量的真值。然而測量要依據(jù)一定的基本理論，使用一定的儀器設(shè)備，在一定的外部環(huán)境中，由具體的實驗人員人進行測量。由于物理理論上存在著一定近似性，方實驗法上難以完善，實驗設(shè)備靈敏度和分辨力有限，周圍外界環(huán)境不穩(wěn)定等因素的影響，待測量的真值是不可能被測得的，因此物理量的測量結(jié)果和被測量真值之間總會存在偏差，這個偏差叫做測量的誤差［4-5］。

物理實驗對于待測物理量的測量分為直接測量和間接測量兩種。

直接測量是指可以用測量儀器和待測物理量進行直接比較得到的結(jié)果。例如用游標卡尺、天平、電壓表和、彈簧秤等進行長度、質(zhì)量、電壓和力的測量就是直接測量。

間接測量則是不能直接用儀器把待測物理量測出來，而要依據(jù)待測量與某幾個直接測量量的函數(shù)關(guān)系求出待測物理量。例如圓柱形固體密度，可通過天平測量固體的質(zhì)量、游標卡尺測量圓柱高度、螺旋測微儀測量圓柱直徑最后再由密度公式(1)

計算間接得出結(jié)果，這種類型的測量就是間接測量。

測量誤差主要分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差、過失(粗大)誤差。

在完全相同的外界條件下，用同一臺的實驗設(shè)備對某量進行了多次觀測，若誤差出現(xiàn)的大小和符號均按一定的規(guī)律變化導(dǎo)致被測結(jié)果總向偏大或偏小的一方進行，這種測量誤差被稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的來源可以是測量理論別的不完善、外界原因等多種，一般在結(jié)果中予以修正。如熱脹冷縮原因?qū)е孪奶斓某咦颖榷扉L，導(dǎo)致室外測量長度時會使結(jié)果偏小;伏安法測電阻時表頭內(nèi)阻帶來的誤差會使結(jié)果整體偏大或偏小。

在相同的觀測條件下，對某物理量進行了多次測量，由于測量的隨機性導(dǎo)致誤差出現(xiàn)的大小和符號均不一定，而是按照一定概率分布在一定區(qū)間，這種誤差稱為偶然誤差。比如用分光儀的讀數(shù)誤差、天平多次的質(zhì)量測量等都屬于偶然誤差。

偶然誤差在觀測前不能預(yù)知其出現(xiàn)的大小和方向，但若在固定的外界觀測條件下，誤差列卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性。隨著觀測次數(shù)的增大偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律性會表現(xiàn)得更加明顯，逐漸趨于高斯分布。對于偶然誤差可以用數(shù)理統(tǒng)計方式進行估算，一般用多次測量的標準偏差進行表達。

在一定的測量條件下，由于人為操作失誤而出現(xiàn)的不符合實際情況的誤差稱為粗大誤差，如測量長度由于人為失誤，讀錯標尺數(shù)值。對于粗大誤差可以用統(tǒng)計的數(shù)學方法進行提剔除。

3 測量誤差和測量不確定度異同

3.1 測量誤差和不確定度的區(qū)別

從物理定義上測量不確定度表明被測物理量量值的分散性，表示由于測量的具體存在使得測量值不能確定的程度，按某一置信概率給出真值可能落入的區(qū)間。測量不確定度用標準偏差、標準差的倍數(shù)或給定概率下置信區(qū)間的半寬來表示，它不是具體的真誤差，只是以參數(shù)形式定量表示無法修正的那部分誤差范圍。而誤差在多數(shù)情況下是指測量誤差，它的傳統(tǒng)定義是測量結(jié)果與被測量真值之差，表明測量結(jié)果偏離真值的程度，它是一個確定的值。但由于物理量真值的不可知性，我們只能在特定的條件下尋求最佳的真值近似值，即所謂的約定真值來和測量值進行比較，給出測量誤差。所以測量誤差在定義上來說就是不可求的。

從來源分類上測量不確定度按是否用統(tǒng)計的方法求得分為A類和B類不確定度兩種，合成方法為方均根。而測量誤差通常是按出現(xiàn)于測量結(jié)果中的規(guī)律分為兩類:系統(tǒng)誤差和隨機誤差，沒有提到其他來源而出現(xiàn)的誤差。

測量不確定度可以根據(jù)實驗數(shù)據(jù)、現(xiàn)象、資料和經(jīng)驗等信息進行評定，可以按理論定量估計測量不確定度的值;而誤差由于測量真值的不可知性，用約定真值代替真值時，得到的僅僅是測量誤差的估計值。

測量不確定度不能直接用于對測量結(jié)果進行修正，只能按置信程度給出測量結(jié)果落在真值附近一定范圍的幾率;對誤差而言，當已知系統(tǒng)誤差的來源，可以對測量結(jié)果直接進行相應(yīng)修正。對于測量不確定度，當了解了測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分布時，可按置信概率給出置信區(qū)間，對于誤差，只有隨機誤差存在置信概率，最后結(jié)果很難用置信概率表示清楚。

3.2 不確定度理論和誤差理論的關(guān)系及進展

測量不確定度與誤差都是對測量過程不完善性的評定，都是物理量實際測量的理想概念。在估算測量不確定度時，用了一些描述誤差分布的特征參量，一般也把A類不確定度就用偶然誤差來代替，兩者在分析方法、合成方式和數(shù)學傳遞公式上有很多相同之處。對于間接測量結(jié)果進行誤差和不確定度的計算都要用相同的誤差傳遞公式，兩者之間在理論上有著相同之處。其次，實驗結(jié)果標準差表示是成熟的數(shù)學統(tǒng)計理論，它是分析誤差的基本手段，也是不確定度理論的數(shù)學基礎(chǔ)，從本質(zhì)上說不確定度理論是在誤差理論上發(fā)展起來的，其基本分析和數(shù)學計算方法是共同的。

測量不確定度概念的提出避免了使用被測量理不可知的真值，它只與具體測量條件相關(guān)，較之測量誤差更便于量化評定。但不確定度理論是大學課程內(nèi)容，與高中物理教學脫節(jié)，會導(dǎo)致學生進入大學對其概念混淆，不鞥理解不確定度的物理圖景。在傳統(tǒng)誤差理論中，隨機誤差與系統(tǒng)誤差的分類不夠嚴密，這兩類誤差分量往往沒有截然的分界線，在一定條件下會相互轉(zhuǎn)化，從而給數(shù)據(jù)的分析和處理表達帶來困難。而測量不確定度表述的是可觀測量的測量結(jié)果及其具體變化范圍，因此用測量不確定度評價測量結(jié)果比用誤差表達更加科學合理。測量不確定度概念的提出及其評價體系是對傳統(tǒng)誤差理論的基礎(chǔ)理論修正，會使科學測量結(jié)果表達在定義上更加有著清晰的物理意義，是物理測量理論的一大進步。

［1］倪燕茹.基于測量不確定度評定的數(shù)據(jù)處理方法［J］.大學物理實驗，2012，25(1):67-69.

［2］馮登勇，王昆林.聲速測定實驗不確定度、誤差之比較研究［J］.大學物理實驗，2014，27(1):88-91.

［3］劉敏，王嚴東.測量不確定度與誤差的區(qū)別和聯(lián)系［J］.吉林建筑工程學院學報，2009，26(2):94-96.

［4］方心，張瑞波.誤差理論中幾個問題的討論［J］.大學物理實驗，2011，24(3):86-89.

［5］張前勇，孫海燕.測量誤差與測量不確定度表述方法的研究［J］.測繪工程2003，12(1):19-21 .