舒巨

最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中永恒的話題，也是歷年高考的熱門考點.由于高中教材上沒有明確系統(tǒng)地研究這類問題，使得求多元函數(shù)（即多變量函數(shù)）的最值成為高考中的難點問題.解決這類問題需要具有較強的技巧，且方法靈活性多變，本文主要通過線性規(guī)劃、均值不等式法、減少變量、分類集中變量等策略進(jìn)行處理.

策略一：利用線性規(guī)劃

例1若變量x、y滿足約束條件y≤xx+y≤1y≤-1，且z=2x+y的最大值和最小值分別為M和m，則M-m=.

解法探究：本題是一道典型的線性規(guī)劃問題（二元變量問題），通過畫出可行域，很容易得到，當(dāng)直線z=2x+y經(jīng)過點（2，-1）時，M=3，當(dāng)直線z=2x+y經(jīng)過點（-1，-1）時，m=-3，故M-m=6.

教材上線性規(guī)劃的本質(zhì)就是研究受不等式組條件約束的二元函數(shù)的最值問題。由于題目呈現(xiàn)形式的多樣性，往往需要對題設(shè)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，若能將題設(shè)化為不等式組得到可行域，大多利用此策略求解.

策略二：利用均值不等式

例2 在△ABC中，∠A=，a=3， 則△ABC的面積的最大值為 .

利用均值不等式求最值問題的要點是“和定積最大，積定和最小”，即當(dāng)題目是已知和（積）的形式，求積（和）的最值的形式時，往往可以聯(lián)想到使用均值不等式等等進(jìn)行求解.

策略三：減少變元

例3 設(shè)x，y，z為正實數(shù)，滿足x-2y+3z=0，則的最小值是 .

轉(zhuǎn)化的一個原則是將未知轉(zhuǎn)化為已知，例題主要是有x-2y+3z=0，這三個變量之間的關(guān)系，實現(xiàn)了由三元變量轉(zhuǎn)化為二元變量進(jìn)行研究.

策略四：分類集中變量

例4設(shè)數(shù)列{an}前n項和Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*.

（1）設(shè)bn=Sn-3n，求數(shù)列{bn}的通項公式.（2）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍.

在多變量問題中，可以將變量分類集中，做法就是將題中一個字母用另一個字母進(jìn)行表示，這樣就變成了熟悉一元函數(shù)的問題.高考壓軸題中很多的最值問題都可以采用此想法來解決.

不等式（基本不等式及變式、柯西不等式等）、線性規(guī)劃及相關(guān)知識、減少變量、分類集中變量是解決高中數(shù)學(xué)多變量最值問題的常見策略，更多時候往往綜合靈活運用上述策略以順利求解.

責(zé)任編輯羅峰