吳燕蘭， 黃文韜,2, 吳岱芩

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 廣西 桂林 541004; 2.賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系 廣西 賀州 542800)

?

一類具有脈沖免疫的時滯SIRS傳染病模型的全局分析

吳燕蘭1， 黃文韜1,2, 吳岱芩1

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 廣西 桂林 541004; 2.賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系 廣西 賀州 542800)

研究一類具有積分時滯的SIRS傳染病動力學(xué)模型在脈沖免疫接種條件下的動力學(xué)行為. 運用離散動力系統(tǒng)的頻閃映射, 獲得一個“無病”周期解, 證明該“無病”周期解是漸近穩(wěn)定的. 當(dāng)模型的參數(shù)在適當(dāng)條件下, 該“無病”周期解是全局吸引的. 運用脈沖時滯泛函微分方程理論獲得帶時滯系統(tǒng)持久性的充分條件, 也得到該模型的全局吸引性條件.

脈沖免疫； 周期解； 持久性； 積分時滯； 全局吸引性

0 引言

在傳染病模型里,一般把總?cè)丝跀?shù)N0分為易感者類S、染病者類I和恢復(fù)者類R.SIRS模型,它表示易感者被傳染而成為染病者個體,染病者通過脈沖免疫接種具有免疫后從感染者類移出變?yōu)榛謴?fù)者,恢復(fù)者漸漸失去免疫力后又變?yōu)橐赘姓哳?

近些年,有關(guān)傳染病模型已有許多研究[1-9].文獻[5]討論了指數(shù)輸入的SEIR預(yù)防接種模型,獲得了無病平衡點和地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定性的充分性條件.文獻[6]考慮了具有連續(xù)和脈沖預(yù)防接種的SIRS傳染病模型,證明了無病平衡點和地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定性以及無病周期解的存在性與全局漸近穩(wěn)定性.但同時考慮脈沖和時滯的模型較少.文獻[7-8]考慮含有脈沖免疫時滯的SEIR模型.文獻[9-10]研究了一個傳染率形式λi(1+vik-1)s(λ>0,v≥0，k>0)的模型.文獻[11]指出了在傳染病模型中,積分時滯傳染率λ∫f(s)s(t-s)i(t-s)e-usds比離散時滯的傳染率更符合實際.文獻[8]應(yīng)用了同樣的積分時滯傳染率考慮SEIR模型,證明了積分時滯與脈沖免疫對模型的動力學(xué)行為產(chǎn)生顯著的影響.本文在文獻[6]中具有脈沖免疫及標(biāo)準(zhǔn)傳染率的SIRS模型基礎(chǔ)上,考慮了帶有積分時滯傳染率λ∫f(s)s(t-s)i(t-s)e-usds的SIRS模型.在傳染病中，染病者及恢復(fù)者不是瞬間就得知感染或者已恢復(fù),因此在染病者和恢復(fù)者中需要考慮模型含有時滯的情況.在文獻[7,11-12]中,時滯流行病模型被廣泛研究.本文提出了一個在脈沖免疫條件下含有脈沖預(yù)防接種治療的帶有積分時滯的SIRS模型,研究了其“無病”周期解、 持久性、 全局吸引性等動力學(xué)行為.

1 SIRS模型和預(yù)備知識

在SIRS模型的研究中,常常假定總?cè)丝贜0的變動微小,在本文中我們假定總?cè)丝贜0為常數(shù).

考慮如下具有積分時滯和脈沖免疫的SIRS模型，

(1)

Ω={s≥0,i≥0,r≥0,s(t)+i(t)+r(t)=1}.

其中，s(t)=S(t)/N0,i(t)=I(t)/N0,r(t)=R(t)/N0分別為易感者比例、染病者比例和恢復(fù)者比例,b為出生率,λ為接觸率,θ為染病者變?yōu)橐赘姓叩霓D(zhuǎn)移率,c為染病者變?yōu)榛謴?fù)者的轉(zhuǎn)移率,e為失去免疫率,u為自然死亡率,ε為因病死亡率,p為預(yù)防接種率.f(s)為[0,τ]上的非負(fù)函數(shù),且滿足

把r(t)=1-s(t)-i(t)代入式(1)中第1式,可知第1和2式不含r(t),所以只需要考慮以下子系統(tǒng)

(2)

下面給出一些將會在證明過程中用到的定義、符號和引理.

生物學(xué)上,我們只考慮系統(tǒng)(2)在如下的生物意義區(qū)域：

(3)

引理1[13]考慮下面的脈沖微分不等式

w(t)′≤(≥)p(t)w(t)+q(t),t≠tk,

這里p(t),q(t)∈C[R+,R],dk≥0以及bk是常數(shù).假設(shè)

引理2[13]設(shè)V：R+×R+→R+,并且V∈V0.考慮

(4)

ψn:R+→R+是非減的.設(shè)r(t)是方程

其中x(t)是系統(tǒng)(1)在(t0,∞)上的任意解.

2 傳染病滅絕周期解

i=0時,考慮以下子系統(tǒng)

(5)

對系統(tǒng)(5)在相臨兩次脈沖時間段內(nèi)進行積分求解,得

(6)

上面的s(nT)表示在nT時刻的初始值.由系統(tǒng)(5)的第2個方程,通過頻閃映射可得

(7)

因為f(s)所表示的直線斜率小于1,所以s*是全局漸近穩(wěn)定的.進而可知系統(tǒng)(5)對應(yīng)的周期解也是全局漸近穩(wěn)定的.

把s*代入式(6)中的s(nT),得

(8)

是系統(tǒng)(5)的唯一全局漸近穩(wěn)定的周期解.

易知系統(tǒng)(5)的解可以表示為

(9)

引理3s*(t)為系統(tǒng)(5)的唯一全局漸近穩(wěn)定的正周期解,也就是,

為系統(tǒng)(1)的一個“無病”周期解(s*(t),0)關(guān)于

并且對系統(tǒng)(5)的每一個解s(t),當(dāng)t→∞,s(t)→s*(t).

定理1 如果R1<1,且λs+e>θ,則系統(tǒng)(1)的“無病”周期解(s*(t),0)是全局吸引的.

證明 由于R1<1,則可以選取σ>0充分小,使得λ(δ+σ)<(u+c+ε+θ).

(10)

由上述分析可得

(11)

再由脈沖微分方程比較定理(引理2)知,存在一個整數(shù)k1>0,使得

nTk1,

(12)

進而由式(2)的第2個方程和式(12)可得

由式(1)的第1個方程可知

(13)

考慮比較系統(tǒng)

(14)

解得全局漸近穩(wěn)定的正周期解

由引理2可知,存在k3>k2,使得

s(t)>x(t)-σ1,nTk3.

(15)

由式(12)和式(15),可得s*(t)-σ1

(16)

是全局吸引的.因此無病周期解(s*(t),0)是全局吸引的.證畢.

3 持久性

定理2 如果R2>1,則系統(tǒng)(1)的“無病”周期解(s*(t),0)是全局吸引的.

證明 假設(shè)X(t)=(s(t),i(t))是系統(tǒng)(2)滿足條件(3)的任意一個解.由式(2)的第2個方程,得

(17)

(18)

因而存在充分小的正的常數(shù)ε1,使

(19)

(20)

類似,運用引理1,知道存在T1≥t0+τ,對t≥T1使

(21)

根據(jù)式(18)和式(21),可得

(22)

矛盾.因此對所有的t≥T1,有i(t)≥i(l)>0.于是由式(22),得

(23)

根據(jù)系統(tǒng)(2)的第1個方程和第3個方程,得

類似,根據(jù)引理1,可以選擇t充分大,并且δ>0充分小,使得

取D={(s,i)∈R2|m1≤s(t),m2≤i(t),s(t)+i(t)≤1}.D是一個到坐標(biāo)軸有正的距離的有界緊集.由上述討論,可知系統(tǒng)(2)每一個滿足初始條件(3)的解最終都進入并保留在D內(nèi).定理2證畢.

4 討論

1)R1和R2正比于T且反比于p,意味著脈沖免疫接種阻止易感者被感染轉(zhuǎn)到感染者這種行為.

2)R2與τ成正比,意味著疾病的染病未發(fā)作時期能夠影響“染病者(I)”向“恢復(fù)者(R)”的轉(zhuǎn)變.當(dāng)疾病在傳染期時間小于某個關(guān)鍵值時,疾病會自然消失.這可能是染病期間沒有發(fā)作前死掉或者染病未發(fā)作期間由于接觸感染源時間較短,免疫系統(tǒng)抵抗較強自動恢復(fù),疾病消失.

3) 若λ的值越大,R1和R2的值都越大.說明它們對易感者向感染者的轉(zhuǎn)化起到重大的作用.當(dāng)λ很小時,系統(tǒng)的持久性消失,且傳染病最終滅絕.

本文研究的是脈沖和積分時滯對SIRS模型的動力學(xué)影響.文中應(yīng)用了脈沖泛函微分方程不等式的縮放處理進行分析,得到的不是精確的閾值,這需要以后進一步研究改進.

[1] 馬知恩, 周義倉, 王穩(wěn)地, 等. 傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2004．

[2] 于育民, 宋蘇羅. 一類SEIRS傳染病模型的研究[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版, 2011, 43(2): 4-9．

[3] D’Onofrio Alberto. Stability properties of pulse vaccination strategy in SEIR epidemic model[J]. Mathematical Biosciences, 2002, 179(1):57-72.

[4] 馬知恩, 靳禎. 總?cè)丝谠谧兓牧餍胁恿W(xué)模型[J].華北工學(xué)院學(xué)報, 2001, 22(4): 262- 271.

[5] Li Jianquan, Ma Zhien. Qualitative analyses of sisepidemic model with vaccination and varying total population size[J]. MathComputer Modelling, 2002, 35: 1235-1243．

[6] 靳楨, 馬知恩．具有連續(xù)和脈沖預(yù)防接種的SIRS傳染病模型[J]. 華北工學(xué)院學(xué)報, 2003, 24(4) : 235-243．

[7] Meng Xinzhu, Chen Lansun, Song Zhitao. The dynamics of a SEIR epidemic model concerning pulse vaccination strategy[J]. Applied Mathematics and Computation, 2007, 28(9) : 1123-1134.

[8] 劉開源, 陳蘭蓀. 一類具有垂直傳染與脈沖免疫的SEIR傳染病模型的全局分析[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2010, 30(3) : 323-333.

[9] Van den Driessche P, Watmough J. A simple SIS epidemic model with backward bifurcation[J]. Journal of Mathematical Biology, 2000, 40(6):525-540.

[10] Van den Driessche P, Watmough J. Epidemic solution and endemic catastrophes[J]. Fields Institute Communications, 2003, 36(1) : 247-257.

[11] Beretta E, Hara T, Ma Wanbiao, et al. Global asymptotic stability of an SIR epidemic model with distributed time delay[J]. Nonliner Analysis, 2001, 47(6) : 4107-4115.

[12] Ma Wangbiao, Song Mei, Takeuchi Y. Global stability of an SIR epidemic model with time delay[J]. Applied Mathematics Letters, 2004, 17(10) : 1141-1145.

[13] Lakshmikantham V, Bainov D D, Simeonov P S . Theory of Impulsive Differential Equations[M].New Jersey:World Scientific Pub Co Inc, 1989.

(責(zé)任編輯：王浩毅)

Global Analysis of a Delay SIRS Epidemic Disease Model with Pulse Vaccination

WU Yan-lan1, HUANG Wen-tao1,2, WU Dai-qin1

(1.SchoolofMathematicsandComputationalScience,GuilinUniversityofElectronicTechnology,Guilin541004,China; 2.DepartmentofMathematics,HezhouUniversity,Hezhou542800,China)

An SIRS epidemic disease model with pulse vaccination and integral delays was considered, and dynamics behaiors of the model under pulse vaccination were analyzed. By use of the discrete dynamical system determined by the stroboscopic map, an “infection-free” periodic solution was obtained and it iwas shown that the‘infection-free’ periodic solution was asymptotic stability. Then, it was proved that when some parameters of the model were in appropriate condictions, the ‘infection-free’ periodic sollution was globally attractive. Futher, with the theory on delay functional and impulsive differential equation, sufficient condiction with time delay for permanence of the system was given. At the same time, the condition of the global attractivity of the model was obtained.

pulse vaccination; periodic solution; permanence; integral delays; global attractivity

2015-05-13

國家自然科學(xué)基金資助項目，編號11261013；廣西高?？蒲许椖浚幪朘Y2015ZD043.

吳燕蘭(1990-),女,廣東汕頭人,碩士研究生, 主要從事微分方程及其應(yīng)用研究,E-mail:wuyanlan90@163.com;通訊作者:黃文韜(1966-),男,廣西永福人,教授,博士,主要從事微分方程定性理論研究,E-mail:huangwentao@163.com.

吳燕蘭，黃文韜，吳岱芩.一類具有脈沖免疫的時滯SIRS傳染病模型的全局分析[J].鄭州大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2015，47(3)：43-48.

O175.12

A

1671-6841(2015)03-0043-06

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.03.008