姜 俠

姜俠/長春市一零八學校小學部教師（吉林長春130000）。

《義務教育數(shù)學課程標準》在課程目標中明確指出“數(shù)學教學要形成解決問題的一些基本策略,體驗解決問題策略的多樣性,發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神”.

分數(shù)、百分數(shù)應用題是小學階段應用題的重要組成部分，同時也是小學應用題的一個重點、難點．教師不僅要培養(yǎng)學生遇到問題會從不同方面、不同角度靈活恰當?shù)剡M行分析。掌握一般的解題方法，還要掌握一些特殊的或超出一般思路以外的解題思路和解題方法，這樣不僅可以提高學生的一般解題能力，同時在某種程度上還能促進學生潛在智力、潛在能力的充分發(fā)揮．

一、分析綜合法

分析綜合法就廣泛地應用在數(shù)學解決問題中，是一種常見的一般解題方法．

例1 小明看一本120頁的連環(huán)畫，如果再看8頁，看過的頁數(shù)就相當于這本連環(huán)畫的小明看過的頁數(shù)占總頁數(shù)的幾分之幾？解法1：根據(jù)題意可知，小明再看全書的看過的頁數(shù)就是全書的所以小明看過了全書的

解法2：由條件可知，如果小明再看8頁，那么看過的頁數(shù)相當于120頁的也就是頁．所以小明實際看了48-8=40頁，由此可求出小明看過了全書的

二、假設法

“假設法”也是解決分數(shù)、百分數(shù)應用題常用的方法，就是根據(jù)所求問題的需要，先假設題中看似缺少的某個條件或某個數(shù)量存在，這樣就使題中隱蔽的數(shù)量關系凸顯出來，使原本復雜的數(shù)學問題變得更簡單，使解題思路變得更清晰．

例3 一種商品原價15元，商場搞促銷活動，降價后銷售數(shù)量增加了一半，收入增加了每件商品降價多少元？

例4 一種商品先提價10%后，又降價10%，這時該商品的價格（）．

a.與原價相同；b.高于原價；c.低于原價．

假設該商品是1元，這樣就很容易解答了：1×(1+10%)×(1-10%)＜1．所以選擇答案 c．

三、換個說法看看

有些應用題，如果按原題的題意敘述分析，題中的數(shù)量關系就不是很容易弄清．如果不改變題意而是變換個說法，常常會收到意想不到的結果，使題意豁然開朗．

例5 王紅到水果超市買了一些蘋果和桔子。交錢時，王紅把桔子單價個位上的0漏掉了，算得總價是27元，正準備付錢，售貨員說：“應該付54元才對．”請問桔子花多少錢？

“王紅把桔子單價個位上的0漏掉了”，這個條件如果換個說法，也就是王紅準備付的27元只是蘋果錢數(shù)與桔子錢數(shù)的和．而蘋果和桔子的總價為54元，兩個總錢數(shù)的差：54－27＝27（元），正是桔子錢數(shù)的所以桔子錢數(shù)為

能做到把題目中不好理解的條件換個角度去敘述，需要思維具有較強的靈活性、創(chuàng)造性，同時還應具有較強的概括能力．培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性和概括能力需要一個過程，為此，必須從低年級抓起，持續(xù)深入地訓練．下面舉例說一說改變敘述方法的訓練．

第二個已知條件的敘述可以變成下面三種說法中一種：

（1）梨樹的棵樹的2倍比桃樹多100棵；

第三個已知條件的敘述可以變成下面三種說法中一種：

（1）梨樹比杏樹多250棵；

（2）杏樹差250棵與梨樹同樣多；

（3）梨樹去掉250棵與杏樹相等．

四、轉化法

“轉化法是根據(jù)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，轉變題中條件的形式，使其本質(zhì)屬性保持不變的一種思維方法”．在整數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)應用題中“轉化法”有著廣泛的應用．

例7 某車間要加工一批零件，如果每天加工80個，需要5天完成，現(xiàn)在要提前1天完成，工作效率要提高百分之幾？

一般解法：[80×5÷（5-1）-80]÷80=25%．

但還可以這樣考慮，從題意中可以知道工作總量一定，這樣可以把分數(shù)應用題轉化為比例應用題．當工作總量一定時，工作時間和工作效率成反比的關系，解答方法比較簡便：[5-（5-1)]÷4=25% ．

五、尋找不變的量

有些應用題用一般方法來分析解答，往往難以找到解題思路和解題方法，這時如果抓住題目中不變的量，尋找解題的突破口，問題就會變得簡單多了．

這道題是求女員工增加的人數(shù)．但女員工人數(shù)的變化，帶來了單位1的變化，使問題變得復雜．可如果考慮到女員工雖有變化，男員工人數(shù)卻沒有變，是題中不變的量，解決問題的思路就很容易找到了．230名就對應（1－50%），又招進女員工的人數(shù)就是(280×20)÷（1-50%）-280=180(名)．

六、列表法

有些應用題，用列表的方法可以使題中的數(shù)量關系更清晰、更直觀，是解題的輔助手段，使解題的思路更容易找到。

由

七、畫圖法

由于小學生年齡較小，認知水平較低，生活經(jīng)驗和知識非常有限，因此解決問題時不知從哪入手分析，尤其是分數(shù)、百分數(shù)應用題，常常讓學生束手無策．如果學生能邊讀題邊把題中的已知條件和所求問題在紙上涂一涂、畫一畫，畫出線段圖，借助線段圖進行觀察分析，就可以拓展解題思路，使題中復雜的數(shù)量關系變得直觀清晰．有利于題中數(shù)量關系明朗化,解題思路清晰化．這種解題策略，比較符合小學生善于形象思維的特點，更有利于學生找出對應量與對應分率的關系．

通過畫圖，可有幾種解題思路：

（1）從份數(shù)看，桃樹有2份，梨樹有3份，蘋果樹有這樣的4份，一共9份，算式略；

（2）把桃樹棵數(shù)看作單位“1”，算式略；

（3）把梨樹棵數(shù)看作單位“1”，算式略；

（4）把蘋果樹棵數(shù)看作單位“1”，算式略.

通過畫線段圖，數(shù)量關系更加明顯、直觀，使思路更加寬闊了，解題方法也多樣靈活起來.

八、還原法

有些數(shù)學問題的解答，需要從所求問題最后的結果出發(fā)，利用加法與減法、乘法與除法的互逆關系，根據(jù)已知條件從后往前一步一步地倒著推算，使問題得到解決.

例11 某服裝廠要加工一批服裝，第一周加工了全部的40%，第二周加工了余下的還有900件沒有加工，這批服裝一共有多少件？

例12 一個最簡分數(shù)，分子、分母的和是50，如果分子分母都減去5，所得的分數(shù)是2/3，求這個分數(shù)原來是多少？

根據(jù)分子、分母都減去5這個條件，可以求出現(xiàn)在分子和分母的和，即50-2×5，得到現(xiàn)在的和40后，明顯發(fā)現(xiàn)2/3的分子、分母的和比40小，說明已經(jīng)約分了，可以用所得的和40除以2+3的和，即得到分子、分母同時除以的那個數(shù)，再用這個數(shù)分別乘2乘3，就得到原分子、分母減去5后的分子和分母，然后再分別加上5，就得到了原來的分數(shù).即50-2×5=40，40÷（2+3）=8，2×8+5=21，3×8+5=29 原分數(shù)是 21/29.

九、用份數(shù)解應用題

例13 某車間計劃用42天加工一批零件，計劃平均每天加工120個，實際比計劃每天多加工，實際用多少天加工完？

如果用份數(shù)思考，原計劃平均每天完成1份，42天共42份，實際每天完成份，要求實際用多少天完成，就看42份中包含幾個36（天）.

十、應用正、反比例解題

有些分數(shù)、百分數(shù)應用題，若用一般方法求解，思路既復雜、計算也麻煩，如果用正、反比例的知識求解，就顯得十分簡單了.

例14 某服裝廠要生產(chǎn)1200件服裝，加工3天，完成40%，照這樣計算，完成全部任務一共需多少天？

一般解法：先求得前3天生產(chǎn)服裝的件數(shù)1200×40%=480（件），再求得每天生產(chǎn)的件數(shù)480÷3=160（件），最后求總得天數(shù) 1200÷160=7.5(天）.

應用比例知識：根據(jù)題意，工作效率一定，工作時間與工作量成正比例，比例式：總件數(shù)/共需天數(shù)=已生產(chǎn)的件數(shù)/已生產(chǎn)的天數(shù)，也可寫成：已生產(chǎn)的天數(shù)/共需天數(shù)=已生產(chǎn)的件數(shù)/總件數(shù)=40%，根據(jù)此式可得：3/共需天數(shù)=40%，很容易求出共需用的天數(shù)為3÷40%=7.5（天）.

例15 一個修路隊要修一段公路，計劃每天修3.2千米，實際每天比原計劃多修25%，實際用了12天修完，原計劃用多少天？

一般解法：先求實際每天修的千米數(shù)，再求這段公路的總長，最后求原計劃用的天數(shù)，列式為：3.2×（1+25%）×12÷3.2=15（天）.

根據(jù)要修的公路長一定，工作效率與工作時間成反比例，列出的比例式：原計劃每天修的千米數(shù)×原計劃的天數(shù)=實際每天修的千米數(shù)×實際的天數(shù)，也可寫成：原計劃的天數(shù)/實際的天數(shù)=實際每天修的千米數(shù)/原計劃每天修的千米數(shù)=1+25%，可得，原計劃的天數(shù)/12=1+25%，從而很快求得原計劃的天數(shù)：12×（1+25%）=15（天）.

不難看出，有些可用比例知識解答的分數(shù)、百分數(shù)應用題，解答時，可根據(jù)題意先寫出文字的等式，再根據(jù)題意作適當轉換，問題就很容易解答了。

著名教育家米山國藏指出：“學生所學的數(shù)學知識，在進入社會后幾乎沒有什么機會應用，因而這種作為知識的數(shù)學，通常在走出校門后不到一兩年就忘掉了.然而不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學思想和方法等隨時地發(fā)生作用，使他們受益終身.”面對紛繁復雜的數(shù)學問題能多角度、多層面、多策略地去分析把握問題的實質(zhì)，視野就會更開闊，思維的素養(yǎng)也會更提升，同時能深刻領悟其背后所蘊含的數(shù)學思想.