肖志勇，任曉娜

1隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2古戰(zhàn)九年制學(xué)校

h-差分意義下H?lder不等式的證明及應(yīng)用

肖志勇1，任曉娜2

1隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2古戰(zhàn)九年制學(xué)校

借助于普通意義下H?lder不等式的證明技巧,本文建立了h-差分意義下H?lder不等式.其次利用所建立H?lder不等式得到h-差分意義下的Cauchy-Schwarz不等式和Minkowski不等式.

h-差分分析；H?lder不等式；Cauchy-Schwarz不等式；Minkowski不等式

一、引言

差分方程理論是現(xiàn)在數(shù)學(xué)研究的一個重要分支,隨著差分方程在數(shù)學(xué)、工程及其他領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用[1-4],h-差分方程理論在近幾年得到廣泛關(guān)注[5],但是它的理論研究還很不成熟,有待于進(jìn)一步探究.眾所周知，H?lder不等式在泛函分析及偏微分方程等學(xué)科中發(fā)揮著重要作用,盡管連續(xù)情形下H?lder不等式的理論研究已取得豐富成果[6-8],但對離散h-差分意義下H?lder不等式研究結(jié)論仍十分罕見.基于此本文將對離散h-差分意義下的H?lder不等式進(jìn)行研究.

二、基礎(chǔ)知識及引理

以下給出h-差分基礎(chǔ)知識,見文獻(xiàn)[5]

對于給定實(shí)數(shù)h＞0.記：

對任意a,b∈Τ，a＜b，記離散區(qū)間：

對于定義在[a,b]Τ上的實(shí)函數(shù)f(t),定義其向前h-差分為

為了在下一部分證明離散h-差分H?lder不等式,我們先給出如下引理

三、主要結(jié)果

證明若f(t)≡0或g(t)≡0,t∈[a,b]Τ,則(3.1)式顯然成立.所以不妨設(shè)f,g在區(qū)間[a,b]Τ上不恒為0，則

定義非負(fù)函數(shù)

由引理2.1有

即有

在(3.2)式兩端同乘以

可得

證畢。

特別地,當(dāng)定理3.1中p=q=2時,便可得如下h-差分Cauchy-Schwarz不等式.

定理3.2(h-差分Cauchy-Schwarz不等式)設(shè)f,g是定義在離散區(qū)間[a,b]Τ上的實(shí)函數(shù),則

證明利用數(shù)學(xué)歸納法來證明（3.4）式.

（1）當(dāng)n=2時，顯然成立（即為H?lder不等式）；

（2）假設(shè)當(dāng)n=m時成立，即

成立.

由H?lder不等式有

由假設(shè)可知

將上式代入（3.6）式即得（3.5）式,結(jié)論得證。

接下來,我們利用H?lder不等式來推導(dǎo)h-差分意義下的Minkowski不等式

定理3.4(h-差分Minkowski不等式)設(shè)f,g為定義在離散區(qū)間[a,b]Τ上的實(shí)函數(shù),則

即：

便得

即(3.7)式成立. 證畢。

兩邊同除以

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