解決實(shí)數(shù)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想方法

杭靜

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，教材中沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的章節(jié)介紹它，而是伴隨著基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)而展開(kāi)的.在學(xué)習(xí)中一定要重視對(duì)常用數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉，它們是數(shù)學(xué)的精髓，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的金鑰匙，更能使人受益終身.下面我們將解決實(shí)數(shù)問(wèn)題中常用的思想方法歸納如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、 整體思想

整體思想就是在處理問(wèn)題時(shí)，從整體角度思考，即將局部放在整體中去觀(guān)察分析，探究問(wèn)題的解決方法，從而使問(wèn)題得以簡(jiǎn)捷巧妙地解決.

例1 ? （2015·四川資陽(yáng)）已知（a+6）2 =0，則2b2-4b-a的值為_(kāi)______.

【分析】由（a+6）2和 都是非負(fù)數(shù)，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)可求出a的值和b2-2b的值，視b2-2b為整體代入，即可求出2b2-4b-a的值.

解：∵（a+6）2 =0，由非負(fù)數(shù)性質(zhì)有a+6=0，b2-2b-3=0，解得a=-6，b2-2b=3，可得2b2-4b=6，則2b2-4b-a=6-（-6）=12.

【點(diǎn)評(píng)】求得b2-2b=3后，也可利用因式分解或配方法求出b的值為3或-1，再分類(lèi)代入求值，但較復(fù)雜，且易出錯(cuò).這里發(fā)現(xiàn)b2-2b與2b2-4b有特殊關(guān)系，采用整體代入法，十分簡(jiǎn)捷，由此足見(jiàn)數(shù)學(xué)思想方法的巨大威力！

二、 分類(lèi)思想

在解決實(shí)數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要對(duì)問(wèn)題中包含的多種情況進(jìn)行分類(lèi)，再按類(lèi)思考，尋找出完整的答案.

例2 ? （2014·甘肅白銀）已知x、y為實(shí)數(shù)，且y= 4，則x-y=_______.

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，夾逼出x的值，x的值有兩個(gè)，所以要分類(lèi)求解.

解：根據(jù)被開(kāi)方數(shù)非負(fù)有x2-9≥0和9-x2≥0，即x2-9≥0和x2-9≤0，從而x2-9=0，即x2=9，解得x=±3，此時(shí)y=4.當(dāng)x=3，y=4時(shí)，x-y=3-4=-1;當(dāng)x=-3，y=4時(shí)，x-y=-3-4=

-7;∴x-y=-1或-7.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于算術(shù)平方根，被開(kāi)方數(shù)必須非負(fù)才有意義，所以如果一對(duì)相反數(shù)同時(shí)為算術(shù)平方根的被開(kāi)方數(shù)，那么被開(kāi)方數(shù)為0.

三、 模型思想

在解決實(shí)數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常先要構(gòu)造非負(fù)數(shù)（如絕對(duì)值、偶次方、算術(shù)平方根等）的和為0的模型，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.

例3 ? （1） （2011·四川內(nèi)江）已知6-3m+（n-5）2=3m-6-，則m-n=_______;

（2） （2011·山東日照）已知x，y為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)，那么x2011-y2011=_______.

【分析】一個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)，且已知條件中有非負(fù)數(shù)，因此構(gòu)造非負(fù)數(shù)和為0的模型來(lái)求解.

解：（1） 由題意，得m≥3，6-3m≤0，于是原式可化為3m-6+（n-5）2=3m-6-，即（n-5）2+=0，∴n=5，m=3，m-n=-2;

（2） 已知式子可變形為：（1-y）=0，由于被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，且算術(shù)平方根也非負(fù)，則只有當(dāng)都為0時(shí)此式才成立，即1+x=0，1-y=0，解得x=-1，y=1，代入到x2011-y2011=-1-1=-2.

【點(diǎn)評(píng)】先對(duì)已知等式進(jìn)行變形，構(gòu)造出幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0的等式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

四、 數(shù)形結(jié)合思想

利用數(shù)軸上點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，由點(diǎn)的位置來(lái)判定有關(guān)代數(shù)式值的符號(hào)，再利用得到的結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題.

例4 ? （2015·山東棗莊）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖1所示，則下列式子中正確的是（ ? ? ?）.

A. ac>bc B. a-b=a-b

C. -a<-b-b-c

【分析】先根據(jù)各點(diǎn)在數(shù)軸上的位置比較出其大小，再對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.

解：∵由圖可知，a-b，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;∵-a>-b，c>0，∴-a-c>-b-c，故D選項(xiàng)正確.綜上所述，選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)之間的關(guān)系，熟知數(shù)軸上各點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.要謹(jǐn)防忽視符號(hào)而造成錯(cuò)誤.在計(jì)算數(shù)軸上線(xiàn)段長(zhǎng)度時(shí)，要注意點(diǎn)的坐標(biāo)與線(xiàn)段長(zhǎng)的互換，謹(jǐn)防“符號(hào)病”.

五、 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的一種數(shù)學(xué)思想，它的應(yīng)用十分廣泛，在研究和解決實(shí)數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，將疑難問(wèn)題轉(zhuǎn)化成容易問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已解決的問(wèn)題.

例5 ? （2010·山東泰安）1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根和立方根中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)有_______個(gè).

【分析】本題要求無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)，比較復(fù)雜.轉(zhuǎn)化一下思考問(wèn)題的角度，找無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)困難，可先找有理數(shù)的個(gè)數(shù)，分別找出1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根和立方根中有理數(shù)的個(gè)數(shù)后，則無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)就容易求出了.

解：∵12=1，22=4，32=9，…，102=100，

∴1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根中，有理數(shù)有10個(gè)，

∴無(wú)理數(shù)有90個(gè);

∵13=1，23=8，33=27，43=64<100，53=125>100，∴1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)的立方根中，有理數(shù)有4個(gè)，

∴無(wú)理數(shù)有96個(gè).

∴1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根和立方根中，無(wú)理數(shù)共有90+96=186個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】直接求解比較復(fù)雜，但如果將確定無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為確定有理數(shù)的個(gè)數(shù)，變復(fù)雜為簡(jiǎn)單，求解就十分簡(jiǎn)捷了.巧妙地轉(zhuǎn)化幫助我們提高了解題的速度，足見(jiàn)轉(zhuǎn)化的妙用.

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級(jí)中學(xué)）