蘇艷華

（沈陽(yáng)大學(xué)師范學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110044）

幾何命題的證明一般常用綜合法、解析法、向量法等等，這些方法各有所長(zhǎng)，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，掌握和運(yùn)用這些不同的方法來(lái)證明幾何命題十分必要.眾所周知，極坐標(biāo)是數(shù)學(xué)的有力工具，它主要用于解決幾何中曲線方程，在幾何教學(xué)、天體物理學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，但目前國(guó)內(nèi)中學(xué)數(shù)學(xué)教材介紹甚少，本文旨在通過(guò)具體實(shí)例介紹幾何命題的極坐標(biāo)證法，供大家分享之.

命題1 經(jīng)過(guò)圓內(nèi)任意一個(gè)定點(diǎn)作任意一條弦，則弦被這個(gè)點(diǎn)分得的兩條線段的乘積是一個(gè)恒量.

證明 設(shè)P0為圓內(nèi)任意一個(gè)定點(diǎn)，AB為經(jīng)過(guò)P0的任意一條弦.采用極坐標(biāo)系，以P0為極點(diǎn)，P0X為極軸.設(shè)圓的極坐標(biāo)方程為

圖1

這個(gè)方程可由圓的直角坐標(biāo)一般式方程

推導(dǎo)出來(lái).弦AB的方程為

為了求出弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)的極徑ρ1和ρ2的乘積（ρ2<0），以（2）代入（1），得

由韋達(dá)定理得

即|AP0|·|BP0|是一個(gè)恒量.

命題2 圓內(nèi)接四邊形的兩組對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.

證明 采用極坐標(biāo)系，以圓心O為極點(diǎn)，使極軸OX與P4P1相交.設(shè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向依次為P1（r，θ1），P2（r，θ2），P3（r，θ3），P4（r，θ4），這里0<θi<2π，i=1，2，3，4.

圖2

如圖2，由正弦的定義，可知

由公式 cos（-x）=cosx，得

故本命題得證.

命題3 如圖3，已知P是正三角形P1P2P3外接圓中劣弦上任意一個(gè)點(diǎn)，求證：

證明 采用極坐標(biāo)系，以圓心O為極點(diǎn)，使P1在極軸OX上，則頂點(diǎn)為

圖3

設(shè) P點(diǎn)的坐標(biāo)為（r，θ）則

命題4 由三角形外接圓上任意一個(gè)點(diǎn)分別對(duì)三角形三條邊作垂線，則所得的三個(gè)垂足共線.

證明 設(shè)由△P1P2P3外接圓上任一點(diǎn)O分別作其三邊的垂線，所得的三個(gè)垂足為F1，F(xiàn)2和F3.

采用極坐標(biāo)系，取點(diǎn)O為極點(diǎn)，使△P1P2P3的外心在極軸OX上，則此外接圓的方程可寫為

圖4

三個(gè)頂點(diǎn) P1，P2，P3的坐標(biāo)依次為（2rcosθ1，θ1），（2rcosθ2，θ2），（2rcosθ3，θ3）

直線P2P3的方程可寫為

去分母，得

由此可知垂足 F1的坐標(biāo)為（2rcosθ2cosθ3，θ2+θ3），同理，垂足 F2的坐標(biāo)為（2rcosθ3cosθ1，θ3+θ1），垂足 F3的坐標(biāo)為（2rcosθ1cosθ2，θ1+θ2）.

由驗(yàn)算可知三個(gè)垂足F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的坐標(biāo)滿足直線方程

故 F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共線.

命題5 設(shè)經(jīng)過(guò)兩圓切點(diǎn)的兩條直線交一個(gè)圓于A和B，交另一個(gè) 圓 于 C和 D，則AB//CD.

證明 采用極坐標(biāo)系，取切點(diǎn)T為極點(diǎn)，使兩圓的圓心在極軸TX上.設(shè)內(nèi)切兩圓的方程為

圖5

經(jīng)過(guò)切點(diǎn)T的兩條直線的方程為

則 A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2r1cosα1，α1）,B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2r1cosα2，α2）,C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2r2cosα1，α1），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2r2cosα2，α2）.

直線AB的方程為

去分母，得

故直線 AB的法線角 ω1=α1+α2；

同理直線CD的法線角ω2=α1+α2.

∵ ω1=ω2，∴TN1和TN2在同一直線上，而AB和CD都與這條直線垂直，故AB//CD.

同樣可證兩圓外切時(shí)也有AB//CD.

命題6 設(shè)△ABC中∠A的平分線交BC于D，又交外接圓于 E，則 AB·AC=AD·AE.

證明 采用極坐標(biāo)系，取A為極點(diǎn)，使△ABC的外心在極軸OX上，則外接圓的方程可寫為

圖6

設(shè)B，C的坐標(biāo)分別為（ρ1，2θ1），（ρ2，2θ2），則 D，E的坐標(biāo)可寫為（ρ3，θ1+θ2），（ρ4，θ1+θ2）.

直線BC的方程為

因?yàn)辄c(diǎn) D（ρ3，θ1+θ2）在直線 BC上，故有

（2）代入（1），得

命題7 三角形一條邊上的高與外接圓直徑的乘積等于其余兩條邊的乘積.

證明 采用極坐標(biāo)系，取C為極點(diǎn)，使△ABC的外心在極軸CX上.設(shè)A，B的坐標(biāo)依次為（ρ1，α），（ρ2，β），外接圓的方程為

直線AB的方程為

圖7

去分母，得

即 CN·（2r）=AC·BC.

命題8 由圓外一點(diǎn)所作切線的長(zhǎng)是由它所作割線和這割線的圓外部分的比例中項(xiàng).

證明 采用極坐標(biāo)系以，圓外一點(diǎn)P為極點(diǎn)，使極軸通過(guò)圓心.設(shè)圓的方程為

圖8

割線PC的方程為θ=α，交點(diǎn)B和C的極徑分別為ρ1和ρ2，由韋達(dá)定理可知

設(shè)切線長(zhǎng) PA=t2，則有

從而 ρ1：t=t：ρ2.

限于篇幅，僅舉以上幾例.研究極坐標(biāo)在幾何證題中的運(yùn)用，既符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，又有利于開拓學(xué)生視野，并對(duì)提高學(xué)生解題水平、融匯貫通學(xué)科間的知識(shí)大有裨益.

〔1〕沈文選.平面幾何證明方法全書[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2005.

〔2〕肖維松.圓極坐標(biāo)方程引理及其應(yīng)用[J].新高考，2011（6）.

〔3〕于志洪.極坐標(biāo)法證明四點(diǎn)共圓[J].廈門數(shù)學(xué)通訊，1982（1）.