韋永梅，趙發(fā)勇

(阜陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037)

傅立葉變換性質(zhì)在瞬時(shí)頻率構(gòu)造中的應(yīng)用

韋永梅，趙發(fā)勇

(阜陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037)

利用傅立葉變換的性質(zhì)研究信號(hào)希爾伯特變換的頻譜特征。在頻域內(nèi)一個(gè)因果信號(hào)的頻譜實(shí)部與虛部互為變換。一個(gè)信號(hào)和它的變換式能構(gòu)成一個(gè)解析信號(hào)，解析信號(hào)的實(shí)部就是原信號(hào)，其虛部是原信號(hào)的希爾伯特變換；解析信號(hào)的傅立葉頻譜只有正頻率部分，正好是原信號(hào)正頻率部分的二倍，并且該解析信號(hào)的幅值和相位就表征了原信號(hào)的幅值包絡(luò)和瞬時(shí)頻率變化特征，這樣就使瞬時(shí)頻率瞬時(shí)幅值有了明確的物理意義，對(duì)研究非線(xiàn)性非穩(wěn)態(tài)信號(hào)有非常重要的價(jià)值。

希爾伯特變換；因果信號(hào)；解析信號(hào)；瞬時(shí)頻率

瞬時(shí)信號(hào)的特征提取對(duì)于分析非平穩(wěn)非線(xiàn)性信號(hào)具有十分重要的意義。隨著現(xiàn)代技術(shù)發(fā)展,要準(zhǔn)確地識(shí)別研究信號(hào)內(nèi)部特征，就要求高精度提取信號(hào)的瞬時(shí)參數(shù)。然而復(fù)雜信號(hào)真正意義上的瞬時(shí)參數(shù)定義比較困難,更談不上高精度測(cè)量信號(hào)的瞬時(shí)參數(shù)。變換可以巧妙地應(yīng)用解析表達(dá)式中的實(shí)部與虛部的正弦和余弦關(guān)系,定義出任意時(shí)刻的瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)相位及瞬時(shí)幅度,從而解決了復(fù)雜信號(hào)中的瞬時(shí)參數(shù)的定義及計(jì)算問(wèn)題,使得對(duì)于時(shí)間有限信號(hào)和復(fù)雜多分量信號(hào)的瞬時(shí)參數(shù)的提取成為可能，所以它在信號(hào)處理中有著極其重要的作用[1]。即使有些復(fù)雜信號(hào)不滿(mǎn)足變換的條件,可以經(jīng)過(guò)分解,然后進(jìn)行變換,達(dá)到提取信號(hào)瞬時(shí)特征的目的。在工程中如何實(shí)現(xiàn)變換對(duì)信號(hào)的瞬時(shí)特征提取,特別如何提取瞬時(shí)頻率特征及提高信號(hào)特征精度等問(wèn)題很有研究?jī)r(jià)值。

在信號(hào)與系統(tǒng)分析中,系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)性的實(shí)質(zhì)是具有因果性，不僅時(shí)限信號(hào)、無(wú)時(shí)限信號(hào)經(jīng)常用因果信號(hào)來(lái)表示,而且在實(shí)際中獲得的信號(hào)大多是因果信號(hào)。利用傅立葉變換的性質(zhì)可以推出因果信號(hào)的傅里葉變換的實(shí)部與虛部互不獨(dú),它們之間可通過(guò)變換形式表示出相互制約特性。一個(gè)信號(hào)和它的變換式能構(gòu)成一個(gè)解析信號(hào)，解析信號(hào)的實(shí)部就是原信號(hào)，其虛部是原信號(hào)的希爾伯特變換；利用傅立葉變換的性質(zhì)推出了解析信號(hào)的傅立葉頻譜只有正頻率部分，而且正好是原信號(hào)的正頻率部分的二倍，解析信號(hào)和原實(shí)信號(hào)自身本質(zhì)是一致的。研究解析信號(hào)的頻譜特點(diǎn)就能得到原信號(hào)正頻率部分的頻譜特征。并且利用Hilbert變換和解析信號(hào)的特征可以得到原實(shí)信號(hào)的任意時(shí)刻的模和相位變化特征，該解析信號(hào)的幅值和相位就表征了原信號(hào)的幅值包絡(luò)和瞬時(shí)頻率變化特征，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)原實(shí)信號(hào)的瞬時(shí)特征提取，定義出任意時(shí)刻的瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)相位和瞬時(shí)幅值等重要的瞬時(shí)參量[2-3]，這樣就使瞬時(shí)頻率瞬時(shí)幅值有了明確的物理意義，對(duì)研究非線(xiàn)性非穩(wěn)態(tài)信號(hào)有非常重要的價(jià)值。

2 Hilbert變換的頻域特征及其在信號(hào)分析中的應(yīng)用

2.1Hilbert變換的定義

把某一實(shí)函數(shù)f(x)的希氏變換記為H[f(t)]，則有：

(1)

2.2 利用傅立葉變換對(duì)稱(chēng)和卷積性質(zhì)分析Hilbert變換的頻譜

(2)

由傅立葉變換的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得：

由此得：

(3)

即Hilbert變換的沖激響應(yīng)h(t)的傅立葉變換是-jsgn (ω)。即：

(4)

由上式得知，Hilbert變換在頻域內(nèi)了完成對(duì)信號(hào)的移相。

由傅立葉變換的卷積性質(zhì)，得到信號(hào)f(t)經(jīng)Hilbert變換后的頻譜為：

(5)

從一些常用信號(hào)的Hilbert變換結(jié)果也可以反映這個(gè)特點(diǎn)，例如

H[cosωt]=sinωt，

H[sinωt]=-cosωt，

H[a(t)cosωt]=a(t)sinωt。

同理，利用傅立葉變換可以推導(dǎo)出一個(gè)信號(hào)經(jīng)過(guò)兩次希爾伯特變換后的頻譜為：

=F(jω)·[-jsgn(ω)]·[-jsgn(ω)]

(6)

由此得知一個(gè)信號(hào)經(jīng)過(guò)兩次Hilbert變換后在頻域內(nèi)就是一個(gè)理想的移相器，信號(hào)經(jīng)過(guò)Hilbert變換相當(dāng)于對(duì)信號(hào)的正頻率部分移相180度，對(duì)負(fù)頻率部分移相180度。

2.3 利用傅立葉變換卷積性質(zhì)分析Hilbert與因果信號(hào)的關(guān)系

在信號(hào)與系統(tǒng)分析中,系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)性的實(shí)質(zhì)是具有因果性，不僅時(shí)限信號(hào)、無(wú)時(shí)限信號(hào)經(jīng)常用因果信號(hào)來(lái)表示,而且在實(shí)際中獲得的信號(hào)大多是因果信號(hào)。

設(shè)x(t)是實(shí)因果信號(hào)，當(dāng)t<0時(shí)，x(t)=0。則x(t)=f(t)·u(t)，利用傅立葉變換的卷積性質(zhì)得到x(t)的傅立葉變換為：

=Re[X(jω)]+Im [X(jω)]

(7)

2.4 利用傅立葉變換的奇偶性和線(xiàn)性分析Hilbert變換與解析信號(hào)的關(guān)系

設(shè)信號(hào)x(t)為一個(gè)實(shí)信號(hào),利用x(t)及其希爾伯特變換H[x(t)]構(gòu)造一個(gè)復(fù)信號(hào)z(t)：

z(t)=x(t)+jH[x(t)]=atejθ(t)

=a(t)cosθ(t)+ja(t)sinθ(t)

(8)

稱(chēng)z(t)為x(t)的解析信號(hào)，其中a(t)為解析信號(hào)的模，θ(t)為相角。

已知實(shí)信號(hào)x(t)的頻譜設(shè)為Re(ω)+jIm(ω),由傅立葉變換定義式我們能推出其實(shí)部對(duì)ω是偶對(duì)稱(chēng)的,虛部對(duì)ω是奇對(duì)稱(chēng)的,即:

(9)

(10)

將H[x(t)]再移相，即乘以j,得jH[x(t)]的頻譜為：

(11)

利用x(t)及其希爾伯特變換H[x(t)]構(gòu)造一個(gè)復(fù)信號(hào)z(t)：

z(t)=x(t)+jH[x(t)]=a(t)ejθ(t)=a(t)cosθ(t)+ja(t)sinθ(t)，稱(chēng)z(t)為的x(t)解析信號(hào)，其中a(t)為解析信號(hào)的模，θ(t)為相角。該解析信號(hào)的頻譜為：

(12)

在實(shí)信號(hào)分析中,利用構(gòu)建解析信號(hào)的方法,可以得到一個(gè)實(shí)信號(hào)x(t)在復(fù)空間的映射z(t)為原信號(hào)x(t)的解析信號(hào)。從這個(gè)復(fù)空間映射中得知實(shí)部與虛部互為Hilbert變換,由Hilbert變換的90度相移功能,可以推斷,解析信號(hào)的實(shí)部與虛部是互相正交的。解析信號(hào)z(t)的幅值為a(t)，相位為θ(t)，兩者皆為時(shí)間函數(shù)，而且a(t)也正好是原信號(hào)的幅度包絡(luò)，θ(t)也正好是原信號(hào)x(t)的瞬時(shí)相位。

另外，由解析信號(hào)的頻譜的傅立葉反變換也可以推出解析信號(hào)與原信號(hào)的重要關(guān)系。由解析信號(hào)的頻譜Z(ω)和原信號(hào)的頻譜X(jω)關(guān)系：

(13)

其中U(ω)是頻域內(nèi)單位階躍信號(hào)。已知階躍信號(hào)u(t)的傅立葉頻譜為：

(14)

由傅立葉變換的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得：

(15)

由此推導(dǎo)出解析信號(hào)的傅立葉反變換為：

z(t)=F-1[Z(ω)]=F-1[2X(jω)U(ω)]

(16)

由上式可知解析信號(hào)z(t)的實(shí)部正好是原信號(hào)x(t)，虛部也正是原信號(hào)x(t)的希爾伯特變換。解析信號(hào)和原實(shí)信號(hào)自身本質(zhì)是一致的。解析信號(hào)的實(shí)部就是原信號(hào)，其虛部是原信號(hào)的希爾伯特變換；而且利用傅立葉變換的性質(zhì)推出了解析信號(hào)z(t)的傅立葉頻譜只有正頻率部分，而且正好是原信號(hào)x(t)的正頻率部分的二倍，研究解析信號(hào)的頻譜特點(diǎn)就能得到原信號(hào)正頻率部分的頻譜特征。

2.5 Hilbert變換與瞬時(shí)頻率的關(guān)系

利用x(t)及其希爾伯特變換H[x(t)]構(gòu)造一個(gè)復(fù)信號(hào)z(t)：

z(t)=x(t)+fH[x(t)]=a(t)ejθ(t)=a(t)cosθ(t)+ja(t)sinθ(t)。

幅值為a(t)，相位為θ(t)，兩者皆為時(shí)間函數(shù)，而且a(t)也正好是原信號(hào)的幅度包絡(luò)，θ(t)也正好是原信號(hào)X(t)的瞬時(shí)相位。由Hilbert變換定義式可以看出HT就是實(shí)現(xiàn)信號(hào)X(t)和1/t的卷積，積分結(jié)果仍是時(shí)間的函數(shù)，所以從時(shí)間分布可能得出實(shí)部信號(hào)X(t)的局部時(shí)間特性。從構(gòu)造的解析信號(hào)的極坐標(biāo)表示中也反映了信號(hào)X(t)的局部時(shí)間特性，因?yàn)槠浞燃跋辔痪菚r(shí)間的函數(shù)。

因此，利用Hilbert變換和解析信號(hào)的特征可以得到原實(shí)信號(hào)的任意時(shí)刻的模和相位變化特征，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)原實(shí)信號(hào)的瞬時(shí)特征提取，定義出任意時(shí)刻的瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)相位和瞬時(shí)幅值等重要的瞬時(shí)參量。這樣瞬時(shí)角頻率定義為解析信號(hào)相位的導(dǎo)數(shù)[7]:

(17)

從上式定義的瞬時(shí)頻率可以看出，瞬時(shí)頻率ω(t)是t的單值對(duì)應(yīng)函數(shù)，即有一個(gè)時(shí)間點(diǎn)就有與之相對(duì)應(yīng)的一個(gè)頻率值。用解析信號(hào)的相位的導(dǎo)數(shù)來(lái)定義瞬時(shí)頻率是比較合理的。對(duì)于多分量信號(hào)，在某個(gè)時(shí)刻就有多個(gè)頻率成份，這時(shí)就沒(méi)有清楚的瞬時(shí)頻率概念。據(jù)此，得出只有一個(gè)單分量信號(hào)的頻率成分才對(duì)應(yīng)有瞬時(shí)頻率意義。在Huang等人提出HHT之前,人們很早就提出了瞬時(shí)頻率概念和信號(hào)的多分量結(jié)構(gòu)。許多學(xué)者也試圖在此基礎(chǔ)上繼續(xù)對(duì)瞬時(shí)頻率進(jìn)行研究,并作了大量的工作,但這些工作都沒(méi)有先給出單分量信號(hào)的合理定義。如果直接對(duì)信號(hào)進(jìn)行Hilbert變換，在任意時(shí)刻只能得到唯一的瞬時(shí)頻率，這與多分量信號(hào)的多頻率成份意義不一致。為了獲得真正有意義的瞬時(shí)頻率必須加一定的限制條件才可以。

實(shí)際信號(hào)存在許多非窄帶信號(hào)，且許多信號(hào)存在局部出現(xiàn)頻率波動(dòng)很大的情況，同一信號(hào)可能有多個(gè)頻率成份，對(duì)這樣的信號(hào)直接進(jìn)行希爾伯特變換，就失去原有的物理意義。為此，希爾伯特-黃變換定義了單分量信號(hào)即固有模態(tài)函數(shù)概念，并提出經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，用經(jīng)驗(yàn)篩分法將信號(hào)先分解成單分量信號(hào)，這樣可以不直接對(duì)信號(hào)作希特爾伯特變換，而是分解后對(duì)每個(gè)分解的分量進(jìn)行希爾伯特變換然后利用解析信號(hào)的特點(diǎn)，定義瞬時(shí)頻率，對(duì)每個(gè)分量分別計(jì)算瞬時(shí)頻率。從而解決了復(fù)雜信號(hào)中的瞬時(shí)參數(shù)的定義及計(jì)算問(wèn)題,使得對(duì)于時(shí)間有限信號(hào)和復(fù)雜多分量信號(hào)的瞬時(shí)參數(shù)的提取成為可能，所以它在信號(hào)處理中有著極其重要的作用。

3 結(jié)論

利用傅立葉變換及其性質(zhì)研究希爾伯特變換頻譜特征，一個(gè)實(shí)因果信號(hào)的傅立葉變換的虛部通過(guò)希爾伯特變換被實(shí)部唯一確定，反過(guò)來(lái)也一樣。一個(gè)信號(hào)和它的變換式能構(gòu)成一個(gè)解析信號(hào)，解析信號(hào)的實(shí)部就是原信號(hào)，其虛部是原信號(hào)的希爾伯特變換。變換可以巧妙地應(yīng)用解析表達(dá)式中的實(shí)部與虛部的正弦和余弦關(guān)系,定義出任意時(shí)刻的瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)相位及瞬時(shí)幅度,從而解決了復(fù)雜信號(hào)中的瞬時(shí)參數(shù)的定義及計(jì)算問(wèn)題,使得對(duì)于時(shí)間有限信號(hào)和復(fù)雜多分量信號(hào)的瞬時(shí)參數(shù)的提取成為可能，所以它在信號(hào)處理中有著極其重要的作用。

[1] 劉慧婷，程家興，張 旻．利用Hilbert變換提取信號(hào)瞬時(shí)特征的算法實(shí)現(xiàn)[J]．微機(jī)發(fā)展，2003，13(6)：82-85．

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TheapplicationofthepropertiesofFouriertransformininstantaneousfrequencystructure

WEIYong-mei，ZHAOFa-yong

(SchoolofPhysicsandElectronicEngineering,FuyangAnhui236037,China)

ThispaperstudiesspectrumcharacteristicsoftheHilberttransformationbythepropertiesoftheFouriertransformation.Infrequencydomain，realpartandimaginarypartofacausalsignalspectrumaretheHilberttransformationeachother.AsignalanditsHilberttransformcanconstituteaanalyticalsignal,therealpartoftheanalyticalsignalistheoriginalsignal,theimaginarypartistheHilberttransformationoftheoriginalsignal;TheFourierspectrumofanalyticalsignalcontainsonlythepositivefrequencypart,whichisjusttwotimesoftheoriginalsignal,andtheanalyticsignalamplitudeandphasewillrepresenttheoriginalsignalamplitudeenvelopeandinstantaneousfrequencyvariationcharacteristics,sotheinstantaneousfrequencyandinstantaneousamplitudehaveclearphysicalmeaning,whichisveryimportanttostudynonlinearunsteadysignal.

Hilberttransformation;causalsignal;analyticsignal;instantaneousfrequency

2015-10-15

基于北斗定位及物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的農(nóng)情監(jiān)測(cè)系統(tǒng)研發(fā)與示范(1501031114)；阜陽(yáng)師范學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目(2013ZYSD05)資助。

韋永梅(1971-)，女，碩士，講師，研究方向：信號(hào)處理。

TN-9

A

1004-4329(2015)04-045-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)04-045-04