文/黃安心 張葉亮

發(fā)動(dòng)機(jī)支架在經(jīng)過(guò)設(shè)計(jì)、鑄造、熱處理、加工和噴涂工序后，都要通過(guò)臺(tái)架疲勞試驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)設(shè)計(jì)和開發(fā)的有效性，使用壽命期中的可靠性分析是必不可少的步驟。它可以分析失效產(chǎn)生的機(jī)理，為改進(jìn)和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

可靠性分析是通過(guò)數(shù)量有限的臺(tái)架試驗(yàn)樣本來(lái)評(píng)價(jià)整批產(chǎn)品的可靠性、失效機(jī)理線索等。可靠性分析有很多種方法可用于統(tǒng)計(jì)分析和評(píng)價(jià)，常用的壽命分析分布形式有威布爾分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布等。其中，威布爾分布是除正態(tài)分布以外常用于可靠性分析的一種分布形式。機(jī)械零件失效具有明顯的耗損特征，威布爾分布通常被用于它們的壽命和可靠性分析。汽車發(fā)動(dòng)機(jī)支架隨汽車在行駛過(guò)程中承受隨路面的隨機(jī)載荷，峰值應(yīng)力遠(yuǎn)小于其屈服強(qiáng)度，其失效主要為疲勞斷裂。而發(fā)動(dòng)機(jī)支架作為承載動(dòng)力源的重要零件，必須確保其壽命大于汽車的安全壽命里程。因此，我們不但關(guān)心其在一定可靠度下的壽命，更關(guān)心其最小壽命，而基于三參數(shù)威布爾分布的可靠性分析恰恰能得到我們想要的結(jié)果。所以，三參數(shù)威布爾分布在汽車零件的可靠性分析中有很高的現(xiàn)實(shí)意義和實(shí)用價(jià)值。

一、三參數(shù)威布爾分布介紹

威布爾分布是瑞典科學(xué)家威布爾（W. Weibull）1951年在研究材料強(qiáng)度時(shí)，提出的一種概率分布函數(shù)。它具有適用性廣、覆蓋性強(qiáng)、在威布爾概率紙上表示直觀、能以較少的試驗(yàn)樣本得出較準(zhǔn)確的失效分析、能包容其他多種分布形式等特點(diǎn)。國(guó)內(nèi)外，威布爾分布已在強(qiáng)度、環(huán)境研究領(lǐng)域及以損耗為特征的機(jī)械零件壽命評(píng)估中得到廣泛的應(yīng)用。它有多種形式，包括單參數(shù)、二參數(shù)、三參數(shù)及混合威布爾。與其他威布爾分布相比，將三參數(shù)威布爾分布運(yùn)用于汽車發(fā)動(dòng)機(jī)支架具有多個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

?在威布爾概率紙上擬合精度更高，即一定可靠度下的壽命結(jié)果更準(zhǔn)確；

?能得出最小壽命，對(duì)維修保養(yǎng)甚至汽修廠備件儲(chǔ)備能提供重要依據(jù)。

由于威布爾分布參數(shù)的分析估計(jì)法較復(fù)雜，區(qū)間估計(jì)值過(guò)長(zhǎng)，故以前常采用概率紙估計(jì)法，參數(shù)的估計(jì)精度較低。現(xiàn)在，隨著計(jì)算機(jī)軟件的發(fā)展，能快速方便地輸出威布爾概率紙及其擬合直線，并輸出計(jì)算結(jié)果。

二、三參數(shù)威布爾分布理論

三參數(shù)威布爾分布函數(shù)為：

式中：b為形狀參數(shù)，b>0；

η為尺度參數(shù)，η>0；

γ為位置參數(shù)，也稱最小壽命，表示產(chǎn)品在γ以前不會(huì)失效。對(duì)于產(chǎn)品壽命有γ≥0，γ=0時(shí)退化為二參數(shù)威布爾分布；

t為產(chǎn)品工作時(shí)間，t≥γ。

對(duì)公式（1）兩邊取2次自然對(duì)數(shù)得：

設(shè)X= ln(t-γ)，Y= lnln [1-F(t)]-1，A=blnη，則公式(2)變成Y= bX-A。在t-F(t)坐標(biāo)系下的一條威布爾分布函數(shù)在X-Y坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)為一條斜率大于0的直線。斜率b是一個(gè)非常重要的參數(shù)，它可以提供一些失效的機(jī)理或線索：

若0

若b=1，說(shuō)明是隨機(jī)失效，可能是人為原因，外來(lái)偶發(fā)因素造成；

若b>1，說(shuō)明為損耗失效，可能是材料固有屬性限制，較大的斜率說(shuō)明失效前都有一個(gè)穩(wěn)定的安全期，產(chǎn)品質(zhì)量具有較高的一致性。

對(duì)于分布參數(shù)的估計(jì)有點(diǎn)估計(jì)法和區(qū)間估計(jì)法，其中，點(diǎn)估計(jì)法有很多種，如最小二乘法、平均法、線性估計(jì)法、極大似然估計(jì)法和相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法等；區(qū)間估計(jì)法有Monte-Carlo模擬法、回歸法等。本文主要采用求相關(guān)系數(shù)最大時(shí)對(duì)應(yīng)的位置參數(shù)，把三參數(shù)簡(jiǎn)化為兩個(gè)參數(shù)，在γ已知時(shí)利用最小二乘法或極大似然估計(jì)進(jìn)行回歸求出b和A， 進(jìn)而求出尺度參數(shù)η= e 。此法不僅最大限度地得到線性關(guān)系，而且得到的相關(guān)系數(shù)還可用于分布檢驗(yàn)。

x和y之間的相關(guān)系數(shù)R(x, y)為：

R(x, y)是衡量x和y兩變量之間的線性關(guān)系程度，相關(guān)系數(shù)總是在-1和+1之間，越接近于1，相關(guān)性越好。R(x, y)是位置參數(shù)γ的函數(shù)，γ應(yīng)是使R(x, y)最大位置參數(shù)，即dR(x,y)/dγ=0。

可靠性一般以兩種方式來(lái)表示：一種是以可靠度來(lái)表示，F(xiàn)(ti)為累計(jì)失效概率，可靠度用R(ti)=1-F(ti)，表示為第i個(gè)產(chǎn)品失效時(shí)的累計(jì)失效概率，可用中位秩算法或平均秩算法求得，在壽命數(shù)據(jù)中非均勻分布相當(dāng)常見。所以，中位秩算法比平均秩算法更為準(zhǔn)確些；另一種以（B+壽命）表示，如B0.1表示工作到壽命N時(shí)有0.1%的零件失效。

三、發(fā)動(dòng)機(jī)支架疲勞壽命分析

本文針對(duì)某型發(fā)動(dòng)機(jī)支座的疲勞試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)其進(jìn)行威布爾分布分析。

該發(fā)動(dòng)機(jī)支座為鑄造鋁合金結(jié)構(gòu)（見圖1）。其底座有3個(gè)螺栓孔A、B和C，用于固定其位置。座體材料為AS7，其彈性模量為74 000 MPa，泊松比為0.33，密度為2.7×103 kg/m3，屈服強(qiáng)度為190 MPa。試驗(yàn)樣品為從試制的批次中隨機(jī)抽取7件，載荷為正弦波形，大小為±8 000 N，按圖2所示方向加載。

圖1 發(fā)動(dòng)機(jī)支座三維結(jié)構(gòu)

圖2 載荷加載位置和方向

按照發(fā)動(dòng)機(jī)支架的實(shí)車安裝狀態(tài)和加載要求，搭建了試驗(yàn)臺(tái)架（見圖3），依次對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)支架進(jìn)行疲勞試驗(yàn)。記錄出現(xiàn)裂紋的位置（見圖4）和出現(xiàn)裂紋時(shí)的加載循環(huán)數(shù)，試驗(yàn)結(jié)果按照循環(huán)數(shù)由小到大的順序排序（見表1）：

圖3 加載試驗(yàn)臺(tái)架

圖4 裂紋發(fā)生位置

表1 發(fā)動(dòng)機(jī)支架疲勞試驗(yàn)結(jié)果（中位秩法）

圖5 威布爾分布擬合直線圖

采用nsoft軟件中的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析模塊，選擇采用行列中值回歸法作為威布爾分布參數(shù)估計(jì)方法，快速地輸出威布爾概率紙及其擬合直線，并輸出計(jì)算結(jié)果。本文使用該軟件輸出，結(jié)果見圖5。

從圖5可以看出，這些點(diǎn)可以比較好地?cái)M合成直線，說(shuō)明發(fā)動(dòng)機(jī)支架的壽命符合威布爾分布，它直觀地反映出支架疲勞壽命與累積失效概率的相互關(guān)系（見表2）。

表2 可靠度（累積失效概率）和支架疲勞壽命的關(guān)系

其中，特征壽命（B63.2）η= 49.633 6萬(wàn)次，形狀參數(shù)b=1.885 45，位置參數(shù)（最小安全壽命）γ= 20.413 5，相關(guān)系數(shù) r = 0.971 224。

形狀參數(shù)b大于1，說(shuō)明為疲勞失效形式，失效前有一個(gè)穩(wěn)定的安全期，失效率函數(shù)是單調(diào)增加的，意味著越到壽命后期失效率越高。產(chǎn)品質(zhì)量具有較高的一致性，提高產(chǎn)品可靠性的途徑主要可通過(guò)改進(jìn)設(shè)計(jì)和更換材料來(lái)實(shí)現(xiàn)。

四、結(jié) 論

根據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)支架的受載要求，合理搭建疲勞測(cè)試臺(tái)架，得出有限樣本情況下的發(fā)動(dòng)機(jī)支架疲勞壽命數(shù)據(jù)，并應(yīng)用威布爾分布理論，分析疲勞壽命結(jié)果，驗(yàn)證其壽命符合威布爾分布。

通過(guò)三參數(shù)威布爾分布疲勞分析工具，得出威布爾分布的特征參數(shù)、疲勞壽命與累積失效概率等關(guān)系，根據(jù)形狀參數(shù)，分析查找失效原因。若是早期失效則需從設(shè)計(jì)、制造、裝配等環(huán)節(jié)入手查找原因；若是損耗失效，則需從改進(jìn)結(jié)構(gòu)、更換材料、工藝入手來(lái)提升產(chǎn)品可靠性。

對(duì)于工程中常見的小樣本情況，樣本所服從分布的參數(shù)本身也是隨機(jī)變量，它服從一定的概率分布，在要求高置信度、高可靠度的條件下，僅僅用由參數(shù)點(diǎn)估計(jì)值得到的分布來(lái)進(jìn)行推斷還不夠，通常采用參數(shù)區(qū)間估計(jì)法得出置信限。威布爾分布作為試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析工具用于產(chǎn)品可靠性分析，可以提供更多的產(chǎn)品性能和質(zhì)量信息，為改進(jìn)和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

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