糾錯過程也應(yīng)該是自然的和水到渠成的

●余建國(大廠高級中學(xué)江蘇南京210044)

很多時候，學(xué)生的解題錯誤往往被學(xué)生自己籠統(tǒng)地定性為“粗心大意”，不少教師也忽視從學(xué)生的錯誤中挖掘?qū)氋F的資源價值，不能發(fā)現(xiàn)學(xué)生潛在的對數(shù)學(xué)概念理解不透、對數(shù)學(xué)運算和推理掌握不牢等學(xué)情，從而失去了及時矯正的良機.而在糾錯環(huán)節(jié)，除了教師不平靜的教學(xué)態(tài)度和冗長的“弦外之音”影響學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒外，糾錯教學(xué)也是就事論事，沒有把糾錯自然地融入到正確理解數(shù)學(xué)概念、合理使用定理和公式、掌握計算技能等教學(xué)過程中,糾錯效果不佳，效益不高．

人教A版教科書在“主編寄語”中說：“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的．如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成過程、它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味．”因此，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯誤不僅與概念相悖，而且是不合情理的，而糾錯教學(xué)就是將不自然、不合理的錯誤變成自然、合乎情理的理解．教師要及時捕捉學(xué)生的錯誤，從中選取有價值的教學(xué)資源加以研究和利用，并及時調(diào)整教學(xué)流程，把學(xué)生的錯誤自然地、巧妙地融入自己的教學(xué)過程中，這樣,課堂會因為學(xué)生的錯誤而精彩．本文結(jié)合幾個案例，分享筆者的做法，以期拋磚引玉．

案例1為什么不能照搬函數(shù)的單調(diào)性

例1數(shù)列{an}的首項為a(其中a≠0)，前n項和為Sn，且Sn+1=tSn+a(其中t≠0)，設(shè)bn={Sn+}1．

1)求數(shù)列{an}的通項公式；

2)當(dāng)t=1時，若對任意n∈N*，|bn|≥|b3|恒成立，求a的取值范圍．

教師投影學(xué)生的錯誤解法：

由第1)小題得

bn=an+1，

即對任意n∈N*，有

|an+1|≥|3a+1|,

不等式2邊平方，得

a2n2+2an-9a2-6a≥0，

(-2a)2+4a2(9a2+6a)≤0，

化簡得

(3a+1)2≤0，

于是

圖1

師:這個解法考慮得非常全面，抓住了對稱軸對二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論．下面再看數(shù)列{cn}，其中cn=n2-{5n+}6，請同學(xué)們畫一畫它的圖像．

一會兒，大部分學(xué)生畫出圖1．

師:這個函數(shù)滿足對任意n∈N*，cn≥0嗎？

此時，學(xué)生意識到，投影上的解法錯了，原因也找到了——沒有考慮數(shù)列是“特殊的函數(shù)”．由于n∈N*，這就造成即使函數(shù)f(x)在某2個正整數(shù)之間函數(shù)值為負(fù)，但仍然有f(n)≥0(其中n∈N*)的特殊情形，而此時Δ>0．

經(jīng)過畫圖、辨析和討論，學(xué)生在錯解的基礎(chǔ)上，給出下面的正確解法：

正解1從|bn|≥|b3|知，當(dāng)n=3時取到等號，即f(3)=0，故函數(shù)f(x)的圖像恒過點(3，0)．

得

至此，糾錯工作似乎要結(jié)束了．但筆者看到一位學(xué)生看著黑板上的圖像發(fā)呆，想什么呢？

生:我覺得，由于圖像開口向上，當(dāng)n足夠大時，f(n)≥0肯定沒問題，出問題的可能就是前面幾個值，稍微歸納一下就能搞定了．

竊喜！他替筆者說出了新的思路．沿著他的想法，得到了用一次函數(shù)處理單調(diào)性的解法．

(an+1)2-(3a+1)2≥0，

從而[(n+3)a+2](n-3)≤0,

(1)

既然提到了一次函數(shù)，我們何不直接研究|bn|的圖像呢？在此啟發(fā)下，學(xué)生很快得到了更簡潔的解法．

正解3g(n)=|bn|=|an+1|，其圖像是折線(形似V)y=|ax+1|上離散的點，無論點(3，{g(3))}在折線的左邊，還是在折線的右邊，都有

|bn|≥|b3|,

即

從而

解得

學(xué)生總結(jié):要注意數(shù)列定義域的特殊性；要多結(jié)合數(shù)列圖像——離散的點考慮；也可以利用自然數(shù)的特點歸納；等等．

評析學(xué)生由于思維定勢，將連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性照搬到數(shù)列中，這是對數(shù)列概念理解不到位，而學(xué)生的錯誤中也有思維的亮點，如抓住對稱軸分類討論．筆者設(shè)置情境沖突，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯誤，并努力尋找錯因，探究正確方法，從而深刻理解數(shù)列的概念．

心理學(xué)家蓋耶認(rèn)為：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學(xué)生犯錯誤，就將錯過最富成效的學(xué)習(xí)時刻．”錯解也恰恰反饋了學(xué)生對數(shù)列概念的理解程度，學(xué)生在不斷糾正錯誤的過程中能逐漸領(lǐng)悟數(shù)列概念．筆者認(rèn)為，數(shù)列概念和性質(zhì)需要多次接觸，反復(fù)體會，螺旋上升，逐步加深理解，這樣才能真正掌握，靈活應(yīng)用．案例表明:錯誤不可怕，關(guān)鍵是教師對待錯誤的基本態(tài)度和方法．而筆者把它當(dāng)成最寶貴的課程資源之一，把它融入精心的教學(xué)設(shè)計內(nèi)容之中．

案例2為什么這樣找對稱中心是錯的

筆者批閱此題時發(fā)現(xiàn)，不少錯誤的答案是(2，0)．以下是講評的片段．

師(請一位犯這類錯誤的學(xué)生回答)：怎么看出來的？

師：能證明這個結(jié)論嗎？

師：對稱中心是(2，0)嗎？

師：那函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠2}，值域是{y|y≠0}嗎？

圖2

評析如果教師輕易否定學(xué)生的想法，那么也就錯失了絕佳的教學(xué)資源．試想，對稱中心的橫坐標(biāo)為什么一下子就能想到是2呢？如果沒有學(xué)生錯誤的“引子”，直接告知顯得生硬，那就得從對稱中心的定義f(a+x)+f(a-x)=2b入手了．顯然，這是個復(fù)雜的運算過程．從另一角度看，學(xué)生的錯誤正好為教師“解圍”了，教師抓住它，順勢而為，把函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、漸近線等融會貫通，既糾正了對稱中心，又將相關(guān)知識復(fù)習(xí)了一遍．這才是一個自然的融錯教學(xué)過程．

教學(xué)實踐證明:如果學(xué)生缺乏獨立思考、自我反省的時間和機會，被動接受經(jīng)驗和方法，那么這樣的認(rèn)知是模糊的、不穩(wěn)定的，他們對知識和方法的理解也很難由經(jīng)驗性上升到形式化、結(jié)構(gòu)化的程度，產(chǎn)生遺忘、混淆的現(xiàn)象也就不足為奇了．因此，通過這次糾錯之旅，筆者認(rèn)識到在函數(shù)概念和性質(zhì)的教學(xué)中，要舍得花時間，除了呈現(xiàn)概念或性質(zhì)的形成過程，還需要對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行充分地研磨，通過反例或啟發(fā)等途徑暴露矛盾，引發(fā)學(xué)生自我反省，從而找到錯誤的地方，分析錯誤的性質(zhì)；而作為錯解的對比、補救或糾正，引導(dǎo)學(xué)生自己找到正確的解法．

案例3為什么數(shù)列的通項2組解是一樣的

1)若數(shù)列{an+1+λan}是等比數(shù)列，求實數(shù)λ的值，并求出數(shù)列{an}的通項公式；

2)略．

學(xué)生通過待定系數(shù)法得(其中q為公比)

解得

師：這兒出現(xiàn)了2組解．接下來怎么求通項公式呢？

生(眾)：分類討論唄．

這時，所有學(xué)生都驚奇地發(fā)現(xiàn):2組解分別求出的通項公式是相同的，也就是說此數(shù)列的通項公式可以用一個式子表示．

師：為什么這2組解得到的通項公式是相同的？是碰巧嗎？

思考片刻．

生1：從初始條件和遞推關(guān)系來看，由a1，a2可以唯一確定a3；由a2，a3，可以唯一確定a4……依此推理，這個數(shù)列的各項都是唯一確定的，也就是說，通項公式的表達(dá)式可以只用一個式子．

師：那么解題時，應(yīng)該怎樣表達(dá)呢？

生2：用“同理可得”．

生3：不對，應(yīng)該先說“各項唯一確定”，然后只要選取一組(λ，q)的值求解．

眾人恍然大悟，驚嘆深刻思考后所得到的解題方法便捷．

評析嚴(yán)格地講，開始學(xué)生的解法并沒有錯誤，但暴露了他們對數(shù)列定義、遞推關(guān)系的不理解，因而需要教師的引導(dǎo)、優(yōu)化．經(jīng)歷過剛才復(fù)雜的運算，以及看似“多此一舉”的另一個解的求解過程，學(xué)生才能感受到生4解法的可貴之處．教師是主導(dǎo)，導(dǎo)演一幕融錯??；學(xué)生是主體，經(jīng)歷深刻理解數(shù)錯劇; 學(xué)生是主體，經(jīng)歷深刻理解數(shù)學(xué)概念的過程． 學(xué)生感覺到: 只有真正理解數(shù)學(xué)概 念，才能得到正確的、甚至是優(yōu)美的解法．

教育家蘇霍姆林斯基說過：“沒有自我教育，不是真正的教育．”真正的糾錯教學(xué)應(yīng)該是自然的、水到渠成的．教師不應(yīng)急于用自己的思想去同化學(xué)生的片面觀點、錯誤認(rèn)識，而應(yīng)站在學(xué)生的立場去順應(yīng)學(xué)生的思維，掌握其思維的軌跡，給學(xué)生一定的研究平臺、時間和空間，讓學(xué)生在深思中發(fā)現(xiàn)錯誤，尋找錯因，探究正解，在辨析中明理，在理解中內(nèi)化，在糾錯中升華．

葉瀾教授說：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情的旅程．”錯解是一種生成性教育資源，作為教師，應(yīng)珍惜這樣可遇而不可求的資源，努力提高自己駕馭課堂、教材和教學(xué)的能力，更新自己的課程觀，使糾錯之旅水到渠成、渾然天成，不僅合情合理，而且很有人情味．