2道函數(shù)零點(diǎn)高考題的比較與思考

●張立建(建湖高級(jí)中學(xué)江蘇建湖224700)

1試題再現(xiàn)

例1設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax,其中a為實(shí)數(shù).

1)若f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且{g(x)}在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范圍；

2)若g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

(2013年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第20題)

例2已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(其中b∈R).

1)試討論f(x)的單調(diào)性；

(2015年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第9題)

2分析比較

例2第1)小題考查含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)區(qū)間的討論，第2)小題因?yàn)榱泓c(diǎn)個(gè)數(shù)已知，從而極值個(gè)數(shù)和圖像形態(tài)已知，故只需確定哪個(gè)是極大值，哪個(gè)是極小值以及需要極大值大于0，極小值小于0即可.

2道題的相同點(diǎn)：都需要討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.不同點(diǎn)：2道題可以看作是逆向問題.例1是在參數(shù)a的不同條件下，作函數(shù)圖像確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；例2是已知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖像(得到參數(shù)滿足的不等式)求參數(shù)的范圍(但這樣的設(shè)計(jì)作為第19題選拔性的試題過于簡(jiǎn)單，故在此基礎(chǔ)上，給出一個(gè)參數(shù)的范圍.增加另外的參數(shù)，將問題延伸到不等式恒成立的問題).

3試題解答

例1的第2)小題分析g′(x)=ex-a≥0在{(-1,}+∞)上恒成立，則a≤(ex)min，故

且f(e-1)=-1-ae-1<0,據(jù)零點(diǎn)存在性定理知{f(x)}在(e-1,a-1)上有1個(gè)零點(diǎn)；又當(dāng)x∈(a-1,{+∞)}時(shí),需證

f(ea-1)=a-1-aea-1=a(a-2-ea-1)<0,

②若a=0，則f(x)=lnx，易得f(x)有1個(gè)零點(diǎn).

f(x)=x3+ax2+1-a=

(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],

由題意知方程x2+(a-1)x+1-a=0有2個(gè)異于{-1}的不等實(shí)根，即

Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,

且

(-1)2-(a-1)+1-a≠0，

4求真

例1用通法解題思路清晰明了，學(xué)生一般都能想到，但對(duì)分類討論能力要求高，易出錯(cuò).在使用零點(diǎn)存在定理找函數(shù)值時(shí)，需要一定的知識(shí)、方法儲(chǔ)備,還要有靈活廣闊的思維力.難點(diǎn)是零點(diǎn)存在性定理，難度太大，大部分學(xué)生不能完成.

5思考

看過高考試題，感覺高三一年復(fù)習(xí)下來(lái)，費(fèi)力不討巧.2015年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了基礎(chǔ)知識(shí)和創(chuàng)新應(yīng)用.知識(shí)與能力并重，簡(jiǎn)單題更加偏重基礎(chǔ)知識(shí)的理解，中檔題更加重視相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用，難題不再是單純利用繁瑣的計(jì)算和復(fù)雜的推導(dǎo)過程來(lái)增加難度，而是逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)方法的思考和靈活運(yùn)用.

幾點(diǎn)啟發(fā)：1)數(shù)學(xué)正在回歸本源.更加重視知識(shí)是什么、為什么、怎么用.數(shù)學(xué)教學(xué)要放低起點(diǎn)，重視概念教學(xué)、回歸理解、應(yīng)用.對(duì)于雙基教學(xué)，基礎(chǔ)知識(shí)要回歸課本，而不是加大難度和深度.基本技能要更加重視其形成，多進(jìn)行橫向延伸.2)少一些題目堆積，多一些知識(shí)點(diǎn)綜合、遷移、轉(zhuǎn)化.重視知識(shí)間的聯(lián)系，加強(qiáng)其綜合應(yīng)用.不一定是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的整合，2個(gè)知識(shí)點(diǎn)也可以，重要的是聯(lián)系、遷移，是學(xué)生的認(rèn)識(shí)與感悟，鍛煉學(xué)生學(xué)習(xí)及思考的能力、綜合解決問題的能力和思維.難題實(shí)際上是綜合性強(qiáng)的題目，“會(huì)者不難”，考查學(xué)生對(duì)于方法的認(rèn)識(shí)和理解，是對(duì)學(xué)生思維的考查.3)注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用.特別是與實(shí)際問題的聯(lián)系，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活.這是數(shù)學(xué)的初衷和“來(lái)龍去脈”.