一道數(shù)學中考題的變式與探究

●黃新民(溫州市教育教學研究院浙江溫州325000)

●劉臻(甌北街道第一中學浙江永嘉325100)

作為數(shù)學教師，每天都要與數(shù)學題接觸，一些精彩的好題，往往蘊含著豐富的數(shù)學思想.在欣賞的同時，有必要對其進行深入地探究.

1原題再現(xiàn)與解析

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(2015年浙江省溫州市數(shù)學中考試題)

分析該題以勾股圖為背景，引進3個新元素：半圓、MP及NQ，并利用它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，設置問題.整個設計構思巧妙、新穎，圖形美觀，題設簡潔對稱，結(jié)構嚴密，求解過程所用知識均為初中數(shù)學核心知識，所用方法也是初中數(shù)學重要方法之一——整體思想.這是一個不可多得的好題！

圖1 圖2

2試題變式與探究

若將原題中“MP+NQ=14，AC+BC=18”這2個條件去掉,則MP-NQ，AC-BC存在以下關系：

證明如圖2，設AC=b，BC=a,圓的半徑記為r,則

從而

故

分析數(shù)學試題的探究過程遵循從簡單到復雜、從特殊到一般的規(guī)律.變式分別從具體的數(shù)量關系，過渡到了一般的數(shù)量關系，并揭示了2種幾何對象：數(shù)量關系(線段)與位置關系(角度)之間的內(nèi)在依存和轉(zhuǎn)化關系.這就要求教師平時在教學過程中，要有意識地引導學生去探究幾何圖形在一般位置關系下的特殊數(shù)量關系，也就是幾何不變量.

圖3 圖4

引入一些記號，如圖4，設AC=2b,BC=2a，設AC,BC的弦心距分別為n，m，設弓形APC，BQC的高分別是h1，h2，并設圓的半徑為r.

引理1結(jié)論中的k<1.

證明如圖4，不妨設AC>BC，即b>a，于是h1>h2.又h1=2b-MP,h2=2a-NQ，得

2b-MP>2a-NQ，

從而

即

k<1.

引理2結(jié)論中的k滿足關系：

引理3結(jié)論中的∠ACB滿足關系：

圖5

因為OM⊥AB，MH⊥AC,∠ALH=∠BLM,所以

∠BAC=∠M,

從而

BC=EF,

故

OG=OK,KQ=PG.

因為MF為直徑，所以∠FEM=90°.又{∠MHC=}∠OTH=90°,從而四邊形EHTG為矩形，因此EH=GT=OG-OT=OK-OT=m-n,即

AH=AT-HT=AT-EG=AT-BK=b-a,

因此

結(jié)論的證明由引理2和引理3可得

即結(jié)論成立.

3結(jié)論應用與創(chuàng)新

應用該結(jié)論，還可以編出許多新題：

分析新題1與新題2分別從正反2個互逆的角度運用了結(jié)論.一方面體現(xiàn)了該結(jié)論的實用價值，另一方面也揭示了命題的一個常用方法——賦值法.

一個好的數(shù)學試題，可以在檢測學生的數(shù)學思維過程中起到事半功倍的效果.而對試題進行變式和探究，更是教師在課堂之外應該潛心專研的內(nèi)容，這將有助于我們更加深刻地理解問題，發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)，從而為促進更高效的數(shù)學課堂打下堅實的基礎.