一類映射連續(xù)點集的結(jié)構(gòu)

一類映射連續(xù)點集的結(jié)構(gòu)

蒲 斌 斌

(隴西縣首陽中學(xué),甘肅 定西 748106)

摘要：基于Riemann函數(shù)的連續(xù)性及(0,1)∩Q的結(jié)構(gòu)，以度量空間的開子集為全集，研究開度量空間到度量空間映射的連續(xù)點集結(jié)構(gòu)，得到開集(X,d)到(Y,d1)的映射T的連續(xù)點集是(X,d)中的Gδ型集；若T定義在Rn中有內(nèi)點的子集I上，以I的任意內(nèi)點的一鄰域為全集，根據(jù)Baire定理反證得出I∩Qn不是I中的Gδ型集，進而得到映射T不可能僅在I∩Qn上連續(xù)。

關(guān)鍵詞：連續(xù)點；映射；Gδ型集；內(nèi)點；有理點

中圖分類號：O 174

基金項目：安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)研究重點

作者簡介：盛魁(1981-)，男,安徽渦陽人，講師，碩士，主要從事數(shù)據(jù)挖掘、智能信息檢索和電子商務(wù)研究。

Structure of Continuous Points Set of a Class of Mapping

PU Bin-bin

(Shouyang Middle School in Longxi County，Dingxi,Gansu 748106,China)

Abstract:Based on the continuity of Riemann function and the structure of(0,1)∩Q,the paper defines the open subset of a metric space as complete set.By researching the set structure of continuous points of mapping from open space of metric space to the metric space mapping,we obtain that the set of continuous points of the mapping named T from open settois a set(X,d) to(Y,d1)is a set of Gδ type on(X,d);if the T is defined on I?Rn with interior points,which is impossible only to be continuous on I∩Qn.And defining complete set point on I a neighborhood of interior point on I,accoeding to the Baire theorem we prove that I∩Qn is not the Gδ-type set on I,and then we get:the T is impossible only to be continuous on I∩Qn.

Key words:continuous point;mapping;set of Gδtype;interior point;rational point

1引言

Riemann函數(shù)

僅在(0,1)Q上連續(xù)。

根據(jù)f(x)、R(x)的連續(xù)性，試問：是否存在僅在Q的子集上連續(xù)的函數(shù)？或者更一般的，是否存在僅在Q的子集上連續(xù)的映射？

在文獻中，王家軍證明了f:R→R不可能在Q上連續(xù)，在RQ上間斷；在文獻中，張庚堯得出定義在度量空間中開集內(nèi)的實函數(shù)的連續(xù)點集是f定義域中的Gδ型集。在文獻中，劉立明得出Rn上第一類Baire函數(shù)的連續(xù)點集是Rn中的第二綱集?；谖墨I、、的研究成果，試問：定義在一般度量空間上的函數(shù)和映射的連續(xù)點集結(jié)構(gòu)是怎樣的?在怎樣的條件下映射的連續(xù)點集是其定義域中的Gδ型集?為了回答這些很有意思的問題，不妨先從應(yīng)用范圍最廣泛的開度量空間(X,d)入手研究，這樣或許能得出一些有用的結(jié)論。為了使敘述合理、簡潔，先引入必要的定義及一些記法。

2定義

定義1設(shè)T:(X,d)→(Y,d1)是兩度量空間間的映射，對?x0∈X，若x0為T的連續(xù)點，則對?ε>0，?δ>0，使得T(U(x0,δ))?U((Tx0,ε))。

定義2設(shè)X是度量空間，M是X的子集，若M是X中至多可數(shù)個疏朗集之并，則稱M是第一綱集，不是第一綱集的集合稱為第二綱集。

設(shè)(X,d)為開度量空間，若T為(X,d)到度量空間的(Y,d1)的映射，用C(T)表示T的連續(xù)點集，用D(T)表示T的非連續(xù)點集。下文通過對D(T)，C(T)的結(jié)構(gòu)研究，得到了幾個結(jié)論。首先引入幾個必要的引理。

3引理

引理1設(shè)G為度量空間(X,d)中的開集，f:G→R為實函數(shù)，則f的連續(xù)點集是X中的Gδ型集。

引理2有理點集Qn是Rn中的Fσ型集，不是Rn中Gδ型集。

引理3不存在定義在Rn上的實函數(shù)f，使得f在有理點集Qn上連續(xù)，而在(Qn)c上間斷。

引理4[4,5](Baire定理)若X是非空完備度量空間，則X是第二綱集；完備度量空間中的任何一個非空開集都是第二綱集。

下文對引理1、引理2和引理3進行推廣，得到更一般的結(jié)果。

4結(jié)論及證明

首先推廣引理1，即：

定理1設(shè)T為開集(X,d)到(Y,d1)的映射，則映射T的連續(xù)點集是(X,d)中的Gδ型集。

證明?x0∈X，對任意的x,y∈U(x,δ)，令

先證Zx0>0的充要條件是x0為T的不連續(xù)點。

若x0為T的不連續(xù)點，則對?δ>0，?ε0>0，y0∈U(x,δ)，使得d1(Tx0,Ty0)≥ε0>0，即supd1(Tx,Ty)≥ε0。根據(jù)上確界的定義得，當(dāng)δ→0+時，Zx單調(diào)遞減，則Zx0≥ε0>0。

另一方面，若Zx0>0，則?η>0，當(dāng)0<δ<η時，存在x1,y0∈U(x0,δ)，使得

Zx0≥d1(Tx1,Ty0)≥α>0

假設(shè)x0為T的連續(xù)點，則對任意的x,y∈U(x0,δ)，當(dāng)δ→0+時，有

即Zx0=0。這與Zx0>0矛盾，所以x0為T的不連續(xù)點。充要性得證。

于是可將D(T)分解為

下證En為閉集。

U(ν,δ1)?X,且?y1∈(U(ν,δ1)∩En)

根據(jù)De Morgan公式得

依據(jù)引理2，可對Qn的非空子集的結(jié)構(gòu)進行探討，不妨從定理1出發(fā)，對Rn的非空開子集I中的有理點I∩Qn的結(jié)構(gòu)進行研究，即得如下結(jié)果：

定理2設(shè)I?Rn且I為開集，則I∩Qn是S中的Fσ型集，不是S中的Gδ型集。(其中I?S?Rn，且S為開集)。

證明由于Q為可數(shù)集，則Qn為可數(shù)集，所以I∩Qn至多可列。由于

所以，I∩Qn為一列無內(nèi)點閉集之并，所以I∩Qn是S中的Fσ型集。

由于I∩Gk是開集，則

則U(x0,δ)∩Qn=?。這與有理數(shù)集的稠密性矛盾，所以I∩Gk為一列無內(nèi)點的閉集之并。由于無內(nèi)點的閉集是疏朗集，所以

為S中一列疏朗集之并。所以I為第一綱集(上述敘述中，全集為S)。又I為Rn的非空子集，根據(jù)Baire定理得I為第二綱集，矛盾。所以I∩Qn不是Gδ型集。綜上所述，得證。

那么，根據(jù)已得的結(jié)論定理1和定理2，研究實映射連續(xù)點集的結(jié)構(gòu)，也就是推廣引理3，即得如下結(jié)論：

定理3設(shè)映射T:I→(X,d)，若I?Rn,且I為開集，則T不可能在I∩Qn上連續(xù)，在IQn上不連續(xù)。

那么，定理3的限制條件I為開集是否還能夠減弱呢？根據(jù)映射連續(xù)性的逐點定義，不妨把I為開集的條件減弱為I有內(nèi)點，即：

定理4設(shè)映射T:I→(X,d)，若I?Rn,且I有內(nèi)點，則T不可能僅在I∩Qn上連續(xù)。

假設(shè)映射T僅在I∩n上連續(xù)，則映射T在U(x0,δ)內(nèi)僅在B上連續(xù)，由定理2得，B不是U(x0,δ)內(nèi)的Gδ型集。矛盾，所以映射T不可能僅在I∩Qn上連續(xù)。得證。

由于函數(shù)f(x)=c(x∈(0,1)∩Q)的連續(xù)點集是(0,1)∩Q，根據(jù)定理2可得，(0,1)∩Q不是(0,1)中的Gδ型集。所以，定理1的限制條件(X,d)是開集，定理4的限制條件I有內(nèi)點已經(jīng)是最弱的條件了，不能再減弱了。

根據(jù)Baire定理，可以用定理4中反證Qn∩U(x0,δ)不是U(x0,δ)中的Gδ型集的方法證明定理2，也可以用證明定理2的方法反證定理4中Qn∩U(x0,δ)不是U(x0,δ)中的Gδ型集。在此不再作重復(fù)敘述。

根據(jù)定理4，若T的定義域為R的子集，用(a,b)表示任意區(qū)間，可得到如下推論：

推論1設(shè)映射T:I→(X,d)，I?Rn，若I有內(nèi)點，則T的連續(xù)點集不可能僅為I中的有理點；任意區(qū)間(a,b)上不存在僅在其有理子集上連續(xù)的映射T。

證明假設(shè)T在I∩Q上連續(xù)，在IQ上間斷。設(shè)x0為I的內(nèi)點，則存在U(x0,δ)?I，使得T在U(x0,δ)∩Q上連續(xù)，在U(x0,δ)Q上間斷。由于U(x0,δ)為開集，根據(jù)定理1得T在U(x0,δ)內(nèi)的連續(xù)點集是U(x0,δ)中的Gδ型集，由定理2得，Q∩U(x0,δ)不是Gδ型集。矛盾，假設(shè)不成立。所以T不可能在Q∩U(x0,δ)上連續(xù)，在U(x0,δ)Q上間斷。所以T不可能在I∩Q上連續(xù)，在IQ上間斷。

由于任意區(qū)間(a,b)都有內(nèi)點，由上所述，T不可能在(a,b)∩Q上連續(xù)，在(a,b)Q上間斷。綜上，得證。

推論2設(shè)f:U→V的函數(shù)，若U有內(nèi)點，V?R，則f不可能僅在U中有理點連續(xù)；任意區(qū)間(a,b)上不存在僅在其有理子集上連續(xù)的函數(shù)。

推論3設(shè)f:U→V的函數(shù)，若U有內(nèi)點，V?R，則f不可能僅在U中有理點連續(xù)；任意區(qū)間(a,b)上不存在在(a,b)∩Q上連續(xù)，在(a,b)Q上間斷的實函數(shù)。

根據(jù)證明推論1的方法容易證明推論2、推論3；也可以根據(jù)定理4直接得到上述推論。

根據(jù)上文的結(jié)論，對引言中的問題可得到這樣的回答：若T為開度量空間到可度量空間的映射，則T的連續(xù)點集是Gδ型集。但若T定義在一般的度量空間上，T的連續(xù)點集的結(jié)構(gòu)還是不能確定。

若T定義在Rn中有內(nèi)點的子集I上，則T不可能僅在I∩Qn上連續(xù)；對于Riemann函數(shù)的反面情形，有如下敘述：定義在R中有內(nèi)點的子集上的函數(shù)，不可能僅在其有理子集上連續(xù)；定義在任意區(qū)間(a,b)上的函數(shù)不可能僅在(a,b)∩Q上連續(xù)。但存在定義在(0,1)∩Q上的函數(shù)僅在(0,1)∩Q上連續(xù)，如f(x)=0(x∈(0,1)∩Q)。

參考文獻：

[1]王家軍.實函數(shù)間斷點集的結(jié)構(gòu).高等數(shù)學(xué)研究,2012,15(01):53-54.

[2]張庚堯.實函數(shù)連續(xù)點集的結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2004,24(03):75-77.

[3]劉立明.第一類Baire函數(shù)的一個注記.廣西師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,23(02):5-7.

[4]程其襄，張奠宙，魏國強，等.實變函數(shù)函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ).3版.北京:高等教育出版社,2010:191-282.

[5]熊金城.點集拓撲講義.4版.北京:高等教育出版社,2010:247.

[6]陳海燕，戴牧明.A Note of a class ofGδsets..四川大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2005,42(01):19-22.

[責(zé)任編輯：鄭秀亮英文編輯：劉彥哲]