對(duì)數(shù)學(xué)變換方法在物理學(xué)中應(yīng)用的探索

李 燕

(雅安職業(yè)技術(shù)學(xué)院四川 雅安625000)

摘 要：在研究某些復(fù)雜的物理問題時(shí)，可用數(shù)學(xué)方法把復(fù)雜的物理問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問題.常用的數(shù)學(xué)變換方法有平均值法、微元分析法和非線性的線性化方法等.本文分類探討了這些數(shù)學(xué)變換方法在物理學(xué)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：平均值法微元分析法非線性的線性化方法

收稿日期：(2015-08-06)

作者簡(jiǎn)介：李燕(1970-),女,碩士,副教授,主要從事物理學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)是研究客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，也是進(jìn)行理論思維的有效手段.由于數(shù)學(xué)方法有抽象性、邏輯性和辯證性等特性，所以在物理學(xué)研究的各個(gè)領(lǐng)域得到了充分的運(yùn)用，物理學(xué)研究中的數(shù)學(xué)方法是解決和分析物理問題必不可少的理論工具.

1數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的作用

首先,數(shù)學(xué)方法為物理學(xué)提供了量化研究的工具.例如伽利略在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究時(shí)，就用了數(shù)學(xué)定量分析方法去整理歸納從實(shí)驗(yàn)獲得的感性材料，把實(shí)驗(yàn)方法和數(shù)學(xué)方法緊密地結(jié)合起來；德國(guó)天文學(xué)家開普勒運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究天體力學(xué)理論，成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)公式來表達(dá)關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的三大定律；麥克斯韋通過數(shù)學(xué)類比及推理，用一組偏微分方程系統(tǒng)地描述了電磁運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，把光學(xué)、電學(xué)和磁學(xué)結(jié)合在一起了，他采用了矢量分析這樣的數(shù)學(xué)方法，把靜電場(chǎng)推廣到一般電磁場(chǎng).

其次,數(shù)學(xué)方法導(dǎo)致物理新規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和新理論的建立.例如麥克斯韋在用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出電磁場(chǎng)方程組的基礎(chǔ)上預(yù)言了電磁波的存要；愛因斯坦在用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出質(zhì)能關(guān)系的基礎(chǔ)上預(yù)言可以研制原子彈和氫彈.

2數(shù)學(xué)中的變換方法

在研究某些復(fù)雜的物理問題時(shí)，有時(shí)可把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問題，也即是采用迂回手段來達(dá)到目的的數(shù)學(xué)方法稱為數(shù)學(xué)變換方法.常用的數(shù)學(xué)變換方法有平均值法、微元分析法和非線性的線性化方法等.

2.1平均值法

所謂平均值法就是把變化因素導(dǎo)致的復(fù)雜過程簡(jiǎn)化為常量因素的簡(jiǎn)單過程的方法.如在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，為了在描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律中獲得宏觀量如溫度、壓強(qiáng)、體積、內(nèi)能和熵等而采用統(tǒng)計(jì)平均的方法.這樣,統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的任務(wù)就是把微觀量Ai及系統(tǒng)的分布函數(shù)ρ(t)確定后，宏觀量A就可表示成微觀量Ai的統(tǒng)計(jì)平均值，即

又如碰撞過程研究也是應(yīng)用平均值方法估算沖力的平均值的，因?yàn)闆_力是個(gè)變力，它隨時(shí)間而變化的關(guān)系比較難確定，所以只能估算沖力的平均值，表示如下

這樣當(dāng)求得微觀粒子系統(tǒng)的波函數(shù)Ψ(r,t)，利用上式就可算出所有相關(guān)物理量在Ψ(r,t)描述的微觀狀態(tài)上的宏觀效應(yīng).例如以下是粒子坐標(biāo)的平均值和動(dòng)量的平均值

動(dòng)能以及角動(dòng)量的平均值也可如此表示.由此可見平均值思想在量子力學(xué)理論中具有非常重要的作用.

2.2微元分析法

如果研究的對(duì)象連續(xù)分布，例如分布于一定空間內(nèi)的彈性體(如細(xì)桿、細(xì)弦、膜等)或流體(一定量的液體或氣體),有一定空間分布的能量場(chǎng)(如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、流體速度場(chǎng)、物質(zhì)濃度場(chǎng)、溫度場(chǎng)等).由于連續(xù)體處于不同空間的部分，其運(yùn)動(dòng)狀況不同，所以我們可應(yīng)用微元分析法選取無窮多個(gè)不同空間位置的質(zhì)點(diǎn)作為研究對(duì)象.

對(duì)于連續(xù)體，建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)要采用微元分析法.微元分析法將系統(tǒng)中所有微元分為非邊界微元和邊界微元兩部分，我們要研究的是：

(1)系統(tǒng)中任一非邊界位置處的微元(例如空間的線元、面元、體積元、點(diǎn)電荷元或質(zhì)量元等)在某時(shí)刻的運(yùn)動(dòng).

(2)邊界面上所有微元在任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)(邊界條件)及初始時(shí)刻系統(tǒng)所有微元的運(yùn)動(dòng)(初始條件).

下面通過對(duì)弦振動(dòng)方程的推導(dǎo)說明微元分析法的應(yīng)用.

【例題】如圖1所示，一長(zhǎng)為l的柔軟、勻質(zhì)的細(xì)弦(重力忽略)，在切向應(yīng)力T的作用下做微小的橫振動(dòng)，求它的微小橫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程.

sinβ≈tanβsinα≈tanα

則微元在弦長(zhǎng)方向受力為T2cosα-T1cosβ，橫向受力為T2sinα-T1sinβ.

圖1　弦振動(dòng)方程推導(dǎo)用圖

由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，振動(dòng)位移運(yùn)動(dòng)方程如下

T2cosα-T1cosβ=0

因?yàn)槭俏⑿≌駝?dòng)，所以有

cosα≈cosβ≈1

(1)

若約定用下標(biāo)來表示求偏導(dǎo)數(shù)，則式(1)可簡(jiǎn)化如下

utt(x,t)=a2uxx(x,t)

(2)

若弦上每一微元還受到外力dF=f(x,t)dm作用，則弦橫向微小振動(dòng)方程為

utt(x,t)=a2uxx(x,t)+f(x,t)

(3)

定解條件略.

從上例可知微元分析法是在無窮多個(gè)微元中任選一個(gè)非邊界微元，應(yīng)用力學(xué)、流體力學(xué)、熱力學(xué)、電學(xué)、電動(dòng)力學(xué)等學(xué)科知識(shí)建立所選非邊界微元的運(yùn)動(dòng)方程達(dá)到描述系統(tǒng)中每一個(gè)微元運(yùn)動(dòng)的目的.

2.3非線性的線性化方法

物質(zhì)世界里反映物理量間的關(guān)系主要是非線性關(guān)系，在物理學(xué)理論及實(shí)驗(yàn)中可引入非線性物理系統(tǒng)的線性研究方法，即對(duì)有非線性關(guān)系的一對(duì)物理量，可在理論上或?qū)嶒?yàn)中限制其中一個(gè)物理量在一個(gè)宏觀小的范圍內(nèi)變化，則兩個(gè)物理量的關(guān)系可近似為線性關(guān)系，通過數(shù)學(xué)或其他手段確定出兩個(gè)量間的比例系數(shù)后就可確定這一對(duì)物理量在給定范圍內(nèi)的線性關(guān)系.

例如三極管的輸入特性和輸出特性都是非線性的，因此對(duì)放大電路進(jìn)行定量分析時(shí)，主要矛盾是解決三極管的非線性問題.常用微變等效電路法來解決此問題，其實(shí)質(zhì)是在靜態(tài)工作點(diǎn)附近一個(gè)比較小的變化范圍內(nèi)，近似地認(rèn)為三極管的特性是線性的，由此導(dǎo)出三極管的等效電路以及一系列的微變等效參數(shù)，從而將非線性問題轉(zhuǎn)換為線性問題，這樣便可以對(duì)三極管電路進(jìn)行求解.

下面用微變等效電路法分析晶體管在共發(fā)射極接法下的輸入特性和輸出特性.

由于三極管是在小信號(hào)(微變量)情況下工作，因此，在靜態(tài)工作點(diǎn)附近小范圍內(nèi)的特性曲線可用直線近似代替.如圖2(a)所示.在輸入特性的Q點(diǎn)附近，基極加入一個(gè)很小的變化量ΔuBE，便得到一個(gè)電流變化量ΔiB,可以認(rèn)為ΔiB隨ΔuBE作線性變化，其晶體管的動(dòng)態(tài)輸入電阻可按歐姆定律求得，即

rbe稱為晶體管的動(dòng)態(tài)輸入電阻，對(duì)于小功率三極管，小信號(hào)時(shí)rbe為常量.

從圖2(b)看，假定在Q點(diǎn)附近輸出特性曲線是水平的，則ΔiC與ΔuBE無關(guān)，只取決于ΔiB，而數(shù)量關(guān)系上ΔiC比ΔiB大β倍.所以從輸出端看進(jìn)去，可以用一個(gè)大小為βΔiB的恒流源來代替三極管.當(dāng)iB為常量時(shí)，ΔuBE與ΔiC之比為晶體管的輸出電阻.

圖2　三極管等效參數(shù)的求法

小信號(hào)條件下，rce為常量.若把晶體管輸出電路看作電流源，rce為電流源內(nèi)阻，在等效電路中與恒流源βib并聯(lián).rce阻值很高，約為幾十千歐到幾百千歐，微變等效電路中都把它忽略不計(jì).這樣圖3(a)所示的三極管可以用圖3(b)所示的電路去等效.當(dāng)ib=0時(shí)，ic=βΔib也為零，所以不是獨(dú)立電源，而是受輸入電流控制的受控電源，如圖3(b)所示.

圖3　簡(jiǎn)化的三極管等效電路

總之，數(shù)學(xué)是表述和論證物理概念和物理規(guī)律的最簡(jiǎn)練、最系統(tǒng)的語言，也是研究物理學(xué)不可缺少的工具，數(shù)學(xué)方法已成為人們探索物理世界秘密的“金鑰匙”.

參 考 文 獻(xiàn)

1王瑞旦，宋善炎．物理方法論．長(zhǎng)沙：中南大學(xué)出版社，2002