恰當使用數學工具 有效組織物理教學*

張國坤

(曲靖市第一中學云南 曲靖655000)

*云南省十二五教育科學規(guī)劃課題“高中新課程數學與其他學科教學整合研究”研究成果之一,項目編號：BE14017

摘 要：在正確理解與把握數學與物理關系的基礎上，恰當地使用數學工具，可以達到有效組織物理教學的目標.

關鍵詞：數學物理使用有效組織

收稿日期：(2015-06-17)

作者簡介：張國坤(1967-),男，云南省特級教師，云南曲靖市學術技術帶頭人，2012年云南省教育科研先進個人，從事高中數學和物理教學與研究工作．

早晨在學校足球場上跑步，聽到有幾位學生在足球場邊上大聲背誦物理公式，“牛頓第二定律……，F=ma”，也有學生在背誦數學定理、公式.筆者覺得這么大好的時光用來背誦定律和公式，有點可惜，盡管不是我教的學生，作為“好事者”、“好心人”，筆者還是停下腳步去奉勸這幾位學生，“建議你們早晨大聲朗讀、背誦語文或者英語，物理、數學這種課程，要重視分析理解，把道理想通了，公式自然就容易記憶了，再做一些習題訓練一下，也就更容易理解更記得住了！”筆者心中暗想，這些學生的數理化成績一定不是優(yōu)秀的，他們也夠認真的，可惜方法不當，效率就不高了.

數學是物理學科探尋和表征的工具.數學對物理學科的學習和教學非常重要.物理教師在教學中要善于將數學與物理作教學的整合，要啟發(fā)引導學生用數學知識分析、解決物理問題，將物理實際問題化歸為數學問題處理.但是，在學生對物理的學習中和教師對物理教學中存在著一些誤判誤用的情形.盡管數學對于物理的教與學非常重要，但不能過分強調數學的作用.物理教學必須教出物理味道來，物理教學一定要體現出物理的規(guī)律和方法，例如猜想假設、實驗探究、觀察分析、數據采集分析、數學表征、物理解題等.如何恰當用好數學工具來有效組織物理教學，提高物理教學效率，下面給出一些思考.

1把物理概念規(guī)律的感悟理解放在首位(物理第一數學第二)

1.1關于物理概念教學

物理概念就是客觀事物(包括物理現象)的物理屬性和本質特征在人們頭腦中的反映，是對事物物理屬性的抽象，是觀察、實驗、思維相結合的綜合產物.物理概念是物理學大廈的基石，闡述物理學，就要從剖析一個個物理概念開始.

每一個物理概念都有一個特有的“名字”，如壓強、速度、加速度、力、向心力、電場、電場強度等，往往用“……叫做……”的形式來取“名字”(下定義).

物理概念的學習需要恰當的情景、過程和思考，物理實驗就可以提供(或再現)這種情景和過程，這種過程包括物理現象的產生、發(fā)展過程，也包括人們動腦思考和分析的過程.教師只有引導學生經歷這種“情景、過程和思考”，并注意數學的恰當使用，使學生真正感悟概念的物理屬性和本質特征，然后引導學生對概念作出界定(定義).磨刀不誤砍柴工，這樣的教學才是富有實效的，富有后勁的.

1.2關于物理規(guī)律的教學

物理規(guī)律就是物理現象和物理過程在一定條件下發(fā)生、發(fā)展和變化的必然趨勢及其本質聯系的反映，它反映的是物理現象或過程中的各相關概念之間的相互聯系，通常用文字語言來描寫，用數學工具來表述(如物理公式)，在書籍文本中被歸納、抽象為物理定律、定理、原理或公式.譬如，萬有引力定律，揭示了自然界物體之間隱藏著的物理現象：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比，用數學工具(等式方程)表征為

其中的比例系數G叫做萬有引力常量.這個物理現象體現為兩個物體的引力、質量、距離等物理概念之間的量的關系，引力常量G是這種關系的橋梁和紐帶.

許多物理規(guī)律的探索發(fā)現，道路是曲折的，過程是艱辛的，時間是漫長的！有的規(guī)律的發(fā)現，需要經過幾代人接力式的探索研究.學生學習物理規(guī)律，重復前人的探索歷程是不可能也不必要的，但需要學習、了解前人研究物理現象、探索物理規(guī)律的成功經驗和思想方法.物理教學需要體現過程，體現物理知識的產生、發(fā)展過程，體現學生的認識思維過程.從學生過程性地學習物理規(guī)律來講，不外乎兩類途徑：一類是歸納法，從特定的具體物理情景(包括實驗)歸納出一般性的結論；另一類就是通過演繹的途徑，通過若干項物理原理(以假設的方式提出)或已經總結出來的物理定律，進行邏輯推演，得出新結論.教師需要清楚地把握這兩種途徑，根據教學內容特點，選用設計哪種途徑組織學生學習探究，思路必須清晰.不管選擇哪種途徑，都要“重結果，更要重過程”，讓學生體驗“猜想、實驗、數據采集、數據分析、歸納、分析思考”的某些必要過程，讓學生自己得出結論.對于難以做到的“實驗或過程”，也要組織學生認真閱讀教材(甚至科普讀物)，必要時教師作一些故事性的介紹，了解前人的探索歷程，學習“規(guī)律”一步步被發(fā)現、被揭示的經過.

案例：人教版普通高中物理教材必修2第六章“萬有引力定律”的發(fā)現，教材采用的是演繹模式的途徑(首先源于天文學中星體間關系的研究，但要具體通過實驗測量星球質量、距離、引力是辦不到的，即使在現代的高科技條件下也難辦到).

必修1已經安排了位移、速度、加速度、相互作用(力)、牛頓第一、二、三定律的學習，必修2第五章安排了圓周運動、向心加速度、向心力的學習.

第6.2小節(jié)編排“太陽與行星間的引力”， 在前面學習的基礎上，利用已經學習過的物理規(guī)律進行邏輯的、數學化的演繹推算(這是讓學生思考、聯系、推導的過程訓練的最典型素材，建議教師不要把結論直接拋給學生，一定要組織引導學生親手慢速地推導演算).

推導：行星非常近似地做以太陽為中心的勻速圓周運動，令行星質量為m，運行線速率為v，圓周軌道半徑為r，則行星運行的向心加速度為

據牛頓第二定律知向心力

(1)

其中m，v，r，a都是理論值，天文觀測難以測量.

設行星公轉周期為T(各行星的T不同，設而不求，用來代換和傳遞)，則

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

(4)

將式(4)代入式(3)得

(5)

換位思考，設太陽質量為M，太陽與行星之間力的作用是相互的，太陽吸引行星的力的反作用力F′就是行星吸引太陽的力，應該有

(6)

由式(5)、(6)可知，行星與太陽之間存在著相互作用的力，其大小與太陽質量、行星質量都成正比，與兩者距離的平方成反比，即

引入比例系數G，將這個規(guī)律用數學公式(等式)表征出來就是

比例系數G叫做引力常量，適合于任何兩個物體.讓學生閱讀教材知道，100多年后，英國物理學家卡文迪什在實驗室里通過實驗較準確地測量求出G的數值，目前普通計算中通常取G=6.67×10-11N·m2/kg2．

然后及時安排應用性練習，加深理解.

“不經歷風雨，怎能見彩虹”，物理規(guī)律(定律、公式等)的教學，不能“重結果輕過程”，也不能走另一個極端“重過程輕結果”，而是要“既重結果也重過程”，要“先體驗過程后導出結果”，要讓學生“曾經經歷過”“酸甜苦辣”，要讓學生看到物理規(guī)律的數學公式就會聯想到公式產生的過程和環(huán)節(jié)，聯想到物理學家的探索經歷.要使物理教學的過程變成學生理性思維、科學精神、人文情懷的培養(yǎng)陶冶過程.

2把數學作用滲透在物理概念的認識理解中

凡是具有大小高低屬性的物理概念，譬如質量、重力、壓力、彈力、摩擦力、壓強、比熱、重力勢能、電勢能、電壓、電流、電容、電阻、電場強度、動能、功、磁場強度等等都有大小強弱的屬性，都需要用數量來表征刻劃，顯然與數學相關，學生對這些概念的學習理解也就需要用數學知識和數學思想方法來支撐.學生對某些數學化的物理概念較難理解(譬如圓周運動的加速度)，物理教師就要引導學生分析物理情景,定性分析與定量分析相結合，恰當地利用數學知識和方法來剖析概念，對概念學習的關鍵和困難之處要“慢速度”處理，做好“慢鏡頭特寫”的解剖分析工作，必要時先弄清楚相關數學，再用之分析物理概念.這不僅是突破難點的需要，更是培養(yǎng)學生理性思維能力的有效途徑.譬如，前述對壓強概念教學的微課設計.

再如，關于圓周運動的向心加速度，學生理解是有較大困難的，要認真對待教材開頭提供的問題情境：第20頁例2，光滑桌面上一個小球由于細線的牽引，繞桌面上的圖釘做勻速圓周運動.小球受到幾個力的作用？這幾個力的合力沿什么方向？教師引導學生做“慢鏡頭”分析，光滑桌面對小球的摩擦力忽略不計，小球僅僅受到重力G、水平面支持力N、細繩拉力T共3個力的作用，重力G和支持力N大小相等方向相反,G+N=0，從而3個力的合力恰好等于細線對小球的拉力T,即小球受到的合力恰好等于T，T的方向始終指向圓心．小球做勻速圓周運動時盡管速度的大小(速率)保持不變，但方向隨時改變，速度矢量也必然隨時改變，小球的運動必然有加速度的作用，根據牛頓第二定律，這個加速度a必然是合力T所導致的，a與T的方向一致，都指向圓心，因此把小球此時所受的外力叫做小球做勻速圓周運動的向心力，把加速度a叫做向心加速度.再讓學生舉一些類似的例子進行分析.這樣，就可以使學生定性地認識向心加速度這個概念了.

3把數學作用貫穿在物理規(guī)律的假設探尋中

物理規(guī)律反映的是物理中概念與概念、量與量之間的依賴關系.人們對這種關系的發(fā)現，往往是根據物理現象和趨勢進行推測、猜想、假設，然后再設法檢驗、驗證或推算而獲得結果的.學生的學習也需要這樣的某些必要的過程，教師最好的作用之一就是將學生引上這樣的過程.作為示例，下面分析對圓周運動的“向心加速度”與相關概念間的數量關系的探究學習(必修2第5.5節(jié))，這也是學生學習難點的教學突破.

情境設置：用一根細繩一端系著一個有一定重量的物體，手執(zhí)細繩另一端，旋轉，讓小球做勻速圓周運動(保證安全)，繩長不變時，讓運動加快，感覺到繩子拉力如何變化？(變大).向心力如何變化？(變大).如果保持一定的運動速度，讓繩子長度變大(手持繩子讓其逐漸梭動)，感覺到拉力如何變化？(變小).向心力如何變化？(變小). 教師先示范，然后安排兩三個學生體驗，把感受說給大家聽.

猜想：質點做圓周運動，速率越大，則向心力越大，向心加速度也越大；運動速率不變時，半徑越大，則向心力越小，向心加速度也越小.推測，向心加速度的大小可以用速率v和半徑r表示？如果能表示，這個表達式是什么呢？

探尋：(回想)質點在Δt時間內轉過的弧長等于Δs，則質點在Δt時間內的平均線速度

勻速圓周運動的速度是矢量，其方向始終沿質點所在位置處圓周的切線方向.

圖1 圖2

記∠AOB=Δθ，Δt較小時，∠AOB與∠A′O′B′都是銳角,由數學平面幾何知識知∠A′O′B′=∠AOB=Δθ，弦A′B′的長度即為Δv．

設勻速圓周運動的速率為v.當Δt充分小時，認為

Δv=A′B′=vΔθ

則

物理規(guī)律反映的是物理概念之間的量與量間的等量關系或其他關系，需要并可以用等式、方程、函數、圖像或其他數學知識來刻畫和表征.但是，這種表征，數學知識體現了它對于物理的工具作用，這種表征需要以物理過程的體驗感悟作為基礎.物理教學的重心首先還是要幫助學生真正理解物理現象的實質，理解物理規(guī)律中各概念間的本質聯系，要感悟物理知識產生、發(fā)展、聯系的過程.死記硬背物理公式是低效的，要堅持“物理第一數學第二”意識.只有這樣，對數學所表達的物理公式才想得透、玩得轉、用得活.

4把數學作用貫穿在物理實驗數據收集分析中

5把數學作用恰當地貫穿于物理問題的求解過程

物理問題的教學，是整個物理教學的重要組成部分.通過物理問題的求解訓練，鞏固和深化對物理概念和規(guī)律的理解，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.幫助學生逐步提高分析、解決問題的能力，是最重要的教學目標之一.許多物理概念(標量、矢量)是用數學表征的，幾乎所有發(fā)現的定量性的物理規(guī)律都是用數學表征的，因此，數學的知識和思想方法對于物理解題就顯得十分重要.正因為如此，有的學生就會本末倒置，以為記住物理公式后套用物理公式就可以求解物理題了，形成“上課聽得懂，書上的習題也會做，可就是拿到別的題就不會做”的無助的局面.

求解物理問題，數學重要，但不要急于套用公式，該出手時再出手.題不在多，善于分析則靈.物理解題教學，建議訓練學生遵循如下基本程序：

(1)(前提)真正理解課本中的相關物理概念和規(guī)律；

(2)認真審題，必須清楚條件是什么(在哪里)，目標是什么(哪里去);

(3)做好物理特性的實質分析，譬如運動問題，首要的不是套用運動學、力學公式，而是確定研究對象，分析運動過程，準確做好受力分析，準確聯系物理規(guī)律(如牛頓運動定律、動量定理、動能定理等)；

(4)把物理問題轉化為數學問題，注意各種因素的協調整和，設計解題途徑，解決數學問題；

(5)回答物理問題．

解題訓練還要堅持解題后的總結反思，用到哪些物理概念、規(guī)律和思想方法？用到怎樣的數學手段？能優(yōu)化改進嗎？有何得失？總結反思是提高解題能力的重要環(huán)節(jié).

【例題】質量為m的木塊與水平面間的動摩擦因數為μ，某人用拉力F使木塊沿地面勻速直線運動，請你確定拉力F的最小值和它的方向．

解題程序：

(1)讀題審題：……

(2)運動狀態(tài)：勻速直線運動.

(3)受力分析：研究對象是木塊，木塊受4個力的作用，即重力G，地面的支持力N，地面摩擦力f和拉力F，作出如圖3所示的受力分析．

圖3

(4)物理規(guī)律：問題涉及摩擦力與壓力的關系，牛頓第一、二、三定律.木塊做勻速直線運動，所受合外力等于零.

Fcosθ=f

Fsinθ+N=G=mg

f=μN

聯立解得

利用三角函數輔助角公式得

當且僅當sin(θ+φ)=1 時，F取得最小值

當sin(θ+φ)=1時

則θ=arctanμ(反正切)．

6恰當地發(fā)揮數學圖形在物理學習探究中的作用

物理學科中許多作圖問題，都是以平面幾何知識或函數圖像知識作為基礎，教師要引導學生做有心人，把平面幾何知識和函數圖像知識應用到物理學習探究中去.用好平面幾何知識可以使作圖規(guī)范準確；函數圖像也是物理的有力工具，用好函數圖像知識，可以形象直觀地分析、研究某些物理規(guī)律.

物理教學中要用好教材中典型的圖像問題，幫助學生學會用圖像表達、解決某些物理問題.

圖4

7謹防數學對物理學習產生消極抑制作用

數學是物理學的重要工具，定量物理都離不開數學，但過分依賴數學就容易產生負遷移，產生消極抑制作用.物理是具體的，數學是抽象的，物理問題不是純數學問題，用數學方法處理物理問題，必須注意物理概念的基本屬性和物理規(guī)律的本質意義，要謹防數學的負遷移消極作用發(fā)生.列舉一些例子分析如下：

(1)小學、初中數學和物理都只有標量計算，高一學習位移、力等矢量的加減法計算，學習困難學生受標量計算的定勢影響太深，對矢量加減運算感到“不可思議”，教師要做好富有針對性的引導、分析、示范工作，此處設計“示錯糾錯“的教學是有實效的.

圖5

(4)一個質點做直線運動，運動的v-t圖像如圖5所示.圖像是一條射線，則質點做勻加速直線運動，由圖可知，加速度

這個結論是錯誤的，正確答案是

在物理的v-t圖像中，t軸表示時間，v軸表示速率，兩者的物理意義不同，兩軸所取的單位長度不同，初速度為零的勻速直線運動的加速度一般不等于v-t圖像(射線)傾角的正切值，除非橫軸、縱軸單位長度相等.