有關(guān)引力場高斯定理的探討*

李儒頌徐 芹葉文江

(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院天津300401)

*河北工業(yè)大學(xué)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目,項(xiàng)目編號：201303002;大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃省級重點(diǎn)資助項(xiàng)目,項(xiàng)目編號：201413584001

指導(dǎo)教師：葉文江(1976-)，男，博士，副教授，主要從事液晶物理及液晶器件物理的研究.

摘 要：基于牛頓的萬有引力定律與靜電場的庫侖定律相似，均滿足平方反比定律，對引力場的高斯定理進(jìn)行了探討.運(yùn)用類比思想，引入虛引力場強(qiáng)度，提出了一種巧妙推導(dǎo)引力場高斯定理的新方法，并用該方法推導(dǎo)出引力場高斯定理的兩種不同的表達(dá)形式，同時(shí)對此做出了相關(guān)的分析.理論表明該方法極其簡單明了，易于理解和掌握運(yùn)用，具有一定的推廣價(jià)值.

關(guān)鍵詞：引力場高斯定理平方反比定律類比思想

收稿日期：(2015-06-26)

作者簡介：李儒頌(1990-)，男，在讀本科生，主要從事大學(xué)物理和物理實(shí)驗(yàn)方面的創(chuàng)新研究.

Abstract:Based on the comparability between Newton’s law of gravity and Coulomb’s law in static electric field, which all follow an inverse-square law, the Gauss theorem in the universal gravitation field is discussed in this paper. Applying the idea of analogy, a clever new method to derive Gauss theorem in gravitation field is presented by introducing the virtual gravitational field strength. Two different expressions of Gauss theorem in the universal gravitation field are deduced using this method, and the relevant analysis is also given. It shows that the method is very simple and clear, and easy to understand and master, which has a certain popularization value.

1引言

高斯定理是物理學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它不僅在靜電場中有重要的應(yīng)用，而且也是麥克斯韋電磁場理論中的一個(gè)重要方程.近年來，國內(nèi)外學(xué)者側(cè)重于對高斯定理應(yīng)用方面的研究[1～4]，而從理論上對高斯定理分析并將其推廣的卻相對較少.庫侖定律和萬有引力定律都是與兩者距離的平方成反比的，而且數(shù)學(xué)形式高度一致,所不同的是：庫侖定律中電荷有正負(fù)之分，同性電荷之間是相互排斥的，異性電荷之間是相互吸引的；萬有引力中引力質(zhì)量始終認(rèn)為是正值，始終是吸引力.正是這種不同點(diǎn)，導(dǎo)致靜電場和引力場是性質(zhì)完全不同的兩種場，文獻(xiàn)[5]從能量守恒角度證實(shí)靜電場是實(shí)數(shù)場，而萬有引力場是虛數(shù)場.盡管文獻(xiàn)[6]曾將高斯定理在萬有引力場中進(jìn)行了推廣，但并沒有考慮到靜電場與萬有引力場上述性質(zhì)上的不同.鑒于此，本文通過引入虛引力場強(qiáng)度，并運(yùn)用類比電場線概念的思想引入引力線來描述引力場，進(jìn)而簡單、明了地闡述了高斯定理的深刻物理意義，從而巧妙地推導(dǎo)出萬有引力場高斯定理[7]兩種不同的表達(dá)形式，而將“高斯定理”這一理論研究形式在萬有引力場推廣，不僅可以加深對高斯定理含義的理解[8]、掌握和運(yùn)用，而且展示出高斯定理在大學(xué)物理中應(yīng)用研究的廣泛性，具有深刻意義.同時(shí)，把萬有引力場的高斯定理運(yùn)用到實(shí)際解題過程中，可以大大簡化運(yùn)算過程，具有很好的運(yùn)用價(jià)值，也揭示了萬有引力場如同電場一樣，是有源場，質(zhì)量為M的體系輻射萬有引力場.

2引力場高斯定理的推導(dǎo)過程

2.1虛引力場強(qiáng)度

通過比較靜電學(xué)中的庫侖定律

和牛頓萬有引力定律

(1)

文獻(xiàn)[5]報(bào)道了質(zhì)量球殼收縮場力做正功后場能增加，顯然這不滿足能量守恒定律，為此可引入虛引力質(zhì)量來解決矛盾，定義萬有引力質(zhì)量是虛引力質(zhì)量，即M′=iM，將式(1)改寫為

(2)

此時(shí)的萬有引力定律式(2)與庫侖定律從形式上看完全相似了.

類比電場中電場強(qiáng)度的定義，引力場中，我們把場中每一點(diǎn)的引力與質(zhì)點(diǎn)虛引力質(zhì)量的比值定義為引力場強(qiáng)度，則相應(yīng)的萬有引力場強(qiáng)度也變?yōu)樘摂?shù)矢量，即質(zhì)點(diǎn)的萬有引力虛數(shù)場強(qiáng)為

(3)

對于質(zhì)點(diǎn)系和質(zhì)量連續(xù)分布的物體產(chǎn)生的虛引力場強(qiáng)度，可分別根據(jù)疊加原理和積分計(jì)算，即虛引力場強(qiáng)度同樣具有可疊加性.

2.2引力場高斯定理的推導(dǎo)過程

有了引力場強(qiáng)定義后，對某面積微元的引力場強(qiáng)通量為

dΦg=g·dS=gdScosθ

(4)

其中θ是引力場強(qiáng)g與面積微元dS的夾角.因此，對某曲面S的總引力場強(qiáng)通量為

(5)

其中Φg為引力場強(qiáng)度g對曲面S的引力場通量，dS為曲面S上的矢量面元.定義了通量的概念后，通過引入的引力線即可以很巧妙地導(dǎo)出萬有引力場中的高斯定理.

上面我們已經(jīng)引入了萬有引力質(zhì)量是虛質(zhì)量，萬有引力場是虛場，為此設(shè)想有一個(gè)引力質(zhì)量為iM(虛引力質(zhì)量)的質(zhì)點(diǎn).現(xiàn)以質(zhì)點(diǎn)所在處為球心，任意r為半徑作一球面為高斯面，于是球面上任意點(diǎn)的萬有引力場強(qiáng)為

(6)

則通過該閉合曲面的萬有引力場強(qiáng)通量為

(7)

與半徑無關(guān).

(8)

這表明：通過任一閉合曲面S的萬有引力場強(qiáng)通量等于該閉合曲面內(nèi)包圍的所有引力質(zhì)量的代數(shù)和除以ε0，與閉合曲面外的引力質(zhì)量無關(guān).

如果真空中的引力場是由分布在一定體積內(nèi)的萬有引力質(zhì)量(虛質(zhì)量)產(chǎn)生，其密度為iρ，則式(8)可以寫成

(9)

將式(9)寫成相應(yīng)的微分形式為

(10)

2.3引力場高斯定理的簡化推導(dǎo)

靜電場的高斯定理為

(11)

這是庫侖平方反比定律的必然結(jié)論，由于萬有引力定律也是平方反比定律，一定也可以引入相應(yīng)的高斯定理.通過類比[9，10]思想，可做類似的推導(dǎo)：對于質(zhì)量連續(xù)分布的場源，其引力場強(qiáng)度為

(12)

其中er是從質(zhì)點(diǎn)m到場點(diǎn)的矢徑.

選包圍它的閉合曲面為高斯面，則穿過它的引力通量為

(13)

由此可見，引力通量同樣與半徑無關(guān)，只與閉合曲面內(nèi)的質(zhì)量有關(guān)，即有

(14)

這表明：通過任一閉合曲面S的萬有引力場強(qiáng)通量等于該閉合曲面內(nèi)包圍的所有質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量代數(shù)和的(-4πG)倍，而與閉合面外質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量無關(guān).將式(14)寫成相應(yīng)的微分形式為

(15)

3結(jié)論

值得一提的是，本文推導(dǎo)出萬有引力場高斯定理兩種結(jié)果式(8)和式(14)的表達(dá)形式完全不一樣.其中，式(8)在任何文獻(xiàn)和教材中并沒有出現(xiàn)過，但兩者并不相矛盾，其根本原因是式(8)中的質(zhì)量為引力質(zhì)量[11](虛引力質(zhì)量)，而式(14)中的質(zhì)量為物體實(shí)質(zhì)量即慣性質(zhì)量.并且假設(shè)引力質(zhì)量是虛質(zhì)量并不違反廣義相對論中的等效原理，因?yàn)橐|(zhì)量和慣性質(zhì)量是兩個(gè)不同的物理量，等效原理指出的是這兩者在數(shù)量上恰好相等，并不是物理意義上的等同.如果將引力質(zhì)量定義為虛質(zhì)量，而慣性質(zhì)量仍是實(shí)質(zhì)量，則引力質(zhì)量的模與慣性質(zhì)量在數(shù)值上仍是相等的，等效原理還是成立的，也不與物理學(xué)中原有的其他物理規(guī)律發(fā)生沖突.將引力質(zhì)量定義為虛質(zhì)量，相應(yīng)的引力場是虛數(shù)場，這種假設(shè)是有意義的也是必要的，它不僅使萬有引力定律與靜電場庫侖定律的本質(zhì)差別更加突出，而且在數(shù)學(xué)形式和規(guī)律上則顯示出更加相似與和諧.至于這種假設(shè)有什么更深刻的物理含義，還有待進(jìn)一步去研究，本文在此不做過多的探討.

參 考 文 獻(xiàn)

1李小月,吳鋒,劉德俊,等. 大型油罐入口管油品防靜電安全流速的確定. 當(dāng)代化工,2014,43(1): 146～148

2李顥. 引力場中的高斯定理在計(jì)算煤矸石重量方面的應(yīng)用. 山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,26(1):79～80

3王寧,孫彩霞,齊玉紅. 引力場中高斯定理的應(yīng)用. 山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2010,24(4): 78～80

4趙立龍, 孫婷婷, 裴世鑫, 等. 關(guān)于D的高斯定理應(yīng)用問題. 江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2012,28(1): 18～19

5吳永漢. 萬有引力場是虛數(shù)場. 云南大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版,2004,26(4): 335～337

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7劉大為. 關(guān)于引力場的高斯定理. 甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1998,12(1): 45～46

8沈晴,顧學(xué)文,徐筠,等. 關(guān)于推證高斯定理不同方法的討論. 物理通報(bào),2011(9): 18～20

9蔡香民. 萬有引力與高斯定理——類比在物理學(xué)中的作用. 安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,25(2): 147～150

10賈國榮. 高斯公式在農(nóng)林院校大學(xué)物理保守場中的推算. 山西農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013, 33(5): 454～457

11張子進(jìn). 關(guān)于引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量不相等假說及其推論. 自然雜志,1981,4(3): 171

Discussion on the Gauss Theorem in the Universal Gravitation Field

Li RusongXu QinYe Wenjiang

(School of Sciences, Hebei University of Technology, Tianjin 300401)

Key words: gravitation field; Gauss theorem; inverse-square law; idea of analogy