李　博, 謝　巍

(華南理工大學自動化科學與工程學院, 廣東 廣州 510641)

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基于自適應分數(shù)階微積分的圖像去噪與增強算法

李博, 謝巍

(華南理工大學自動化科學與工程學院, 廣東 廣州 510641)

摘要：針對傳統(tǒng)的圖像去噪算法容易忽視圖像紋理細節(jié)的問題,首先提出一種全局自適應分數(shù)階積分去噪算法。該算法可以在去除圖像噪聲的同時,對圖像的紋理進行一定的保留。其次在全局自適應分數(shù)階算法的基礎上,針對一類低強度椒鹽噪聲提出另一種基于小概率策略的自適應分數(shù)階微積分圖像去噪與增強算法,該算法將圖像中噪聲點的出現(xiàn)視為小概率事件并進行分割,然后再采用自適應分數(shù)階積分對噪聲點進行處理的同時,采用自適應分數(shù)階微分對圖像的紋理進行增強和保留。實驗結果表明,兩種方法都可以達到較好的去噪效果,其中基于小概率策略的自適應分數(shù)階算法在去噪的同時更具有增強圖像的邊緣的效果。

關鍵詞：分數(shù)階; 自適應; 圖像去噪; 圖像增強; 梯度; 階次

0引言

數(shù)字圖像在采集和傳輸?shù)倪^程中不可避免的受到噪聲的影響,導致后續(xù)的分割和識別等圖像處理過程中出現(xiàn)一定的困難,因此圖像去噪算法的研究是數(shù)字圖像處理中的一項重要內容。國內外學者已經提出了幾種經典的圖像去噪算法,如文獻[1]中的非局部均值濾波、文獻[2]中的卡爾曼濾波、文獻[3]中的小波圖像去噪,以及由中值濾波、低通濾波、維納濾波衍生而來的其他方法等[4-5]。上述方法雖然都能在不同程度上去除圖像的噪聲,但是這些圖像去噪算法都直接或間接地在去噪模型的構建中采用了整數(shù)階積分,這樣會在去除噪聲的同時損失圖像的邊緣和紋理等細節(jié)信息。近年來,將分數(shù)階微積分[6-8]引入圖像處理成為了一個新穎的研究方向[9-10]。分數(shù)階微分(分數(shù)階的階次為正數(shù)時)具有增強圖像邊緣的同時保留一定的圖像弱紋理等特點[11-13],分數(shù)階積分(分數(shù)階的階次為負數(shù)時)能夠在去除圖像噪聲的同時保留一定的圖像紋理信息。文獻[14-15]將分數(shù)階引入全變分模型以在去噪的同時更好地消除圖像階梯效應,文獻[16-17]提出的基于Riemann-Liouville和Grunwald-Letnikov定義的分數(shù)階積分去噪算法,能夠在去除噪聲的同時保留一定的圖像邊緣和紋理,但是由于該算法對全局圖像都是采用人為指定的同一積分階次,因此在處理不同強度的噪聲和圖像紋理時,都只能依據(jù)同一階次的頻率響應曲線,難以達到較好的去噪效果。

本文基于分數(shù)階微積分理論提出了兩種圖像去噪與增強算法。首先,是一種全局自適應分數(shù)階積分去噪算法(該算法針對幾類常見的噪聲圖像),該算法對圖像中的每一個像素點都進行分數(shù)階積分運算,每個像素點的最佳積分階次由該點8個方向上的平均梯度來確定,然后根據(jù)最佳階次的頻率響應曲線對該像素點進行處理,從而達到較好的去噪效果。其次,由全局自適應分數(shù)階積分去噪算法的實驗結果發(fā)現(xiàn)該算法對一類椒鹽噪聲圖像去噪效果較好,所以本文在全局自適應分數(shù)階積分去噪算法的基礎上進一步提出另一種基于小概率策略的自適應分數(shù)階圖像去噪算法(該算法只針對一類較低強度的椒鹽噪聲圖像),該算法將圖像中出現(xiàn)的椒鹽噪聲點定義為小概率事件并進行分割,然后采用自適應分數(shù)階積分對分割出來的噪聲點進行處理的同時,采用自適應分數(shù)階微分對圖像的邊緣和紋理進行增強與保留,從而使處理后的圖像同時具有較好的去噪效果和增強效果。

1相關理論引導及分析

1.1分數(shù)階微積分定義

至今為止,分數(shù)階微積分還沒有統(tǒng)一的定義表達式,數(shù)學家們從各自不同的角度去分析問題,得到了不同的定義?，F(xiàn)階段主要的3種分數(shù)階微積分定義:Grunwald-Letniko定義(G-L)、Riemann-Liouville定義(R-L)和Capotu定義[18-20],G-L定義由整數(shù)階微分的差分定義推導而來,而R-L和Capotu定義由整數(shù)階積分的柯西公式推導而來。

利用Gamma函數(shù)Γ(x)可以將微積分階次從整數(shù)推廣到分數(shù),[·]表示整數(shù)部分,f(x)的變化區(qū)間為[a,b], G-L定義的v階次分數(shù)階微積分為

(1)

R-L定義的v階次分數(shù)階積分為

(2)

1.2分數(shù)階掩模的實現(xiàn)

將分數(shù)階積分理論引入圖像去噪是一個新的發(fā)展方向,若一元信號f(t)的持續(xù)期為t∈[a,t],將信號持續(xù)時間按間隔h=1等分,那么n=[(t-a)/h]=[t-a]。當v<0時,在G-L定義下一元信號f(t)的分數(shù)階積分的近似表達式:

(3)

R-L定義下一元信號f(t)的v階次積分的近似表達式:

(4)

分別沿著二維數(shù)字圖像像素點的8個方向(0°, 45°,90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°)做偏分數(shù)階積分,構造出8個3×3掩模,并把它們疊加后得到如圖1所示的5×5掩模。

圖1　將8個方向偏積分疊加后的掩模

1.3分數(shù)階微積分對信號的作用

已知對于任意平方可積的能量信號s(t)∈L2(R),當v>0時,Dv表示v階微分乘性算子;D-v=Iv表示v階積分乘性算子[11]。分數(shù)階微分的Fourier變換為

(5)

根據(jù)分數(shù)階算子理論,分數(shù)階微分和分數(shù)階積分互為逆運算,D-=I表示分數(shù)階積分算子,設v′=-v,那么由式(5)可以得到分數(shù)階積分的Fourier變換:

(6)

由式(5)和式(6)畫出各階次分數(shù)階微分和積分的頻率響應圖。

由圖2(a)可知,分數(shù)階微分運算對信號的高頻部分具有增強作用,并且隨著分數(shù)階微分階次和頻率的增加,增強的幅度呈非線性急速增長。同時分數(shù)階微分對信號的低頻部分進行了一定程度的非線性的保留。由圖2(b)可知,分數(shù)階積分運算對信號的高頻部分具有衰減作用,并且隨著分數(shù)階積分階次和頻率的增加,衰減幅度逐漸增長。同時分數(shù)階積分對信號的低頻部分進行了較大程度的增強。因此,分數(shù)階微分對圖像邊緣和紋理有一定的增強和保留作用,而分數(shù)階積分對圖像有一定的去噪作用。

圖2　各階次分數(shù)階微積分頻率響應圖

2基于分數(shù)階微積分的圖像去噪與增強算法

2.1全局自適應分數(shù)階積分圖像去噪算法

對于一幅含噪圖像而言,其中存在著各種強度的噪聲,如果只采用同一的分數(shù)階積分階次來處理噪聲,難以達到較好的去噪效果。所以本文提出一種全局自適應分數(shù)階積分圖像去噪算法,該算法對每一個像素點都進行了不同階次的分數(shù)階積分運算。設圖像f(i,j)中每一個像素點8個方向上的梯度幅值的平均值為M(i,j),并進行歸一化,從而求出與該像素點對應的積分階次。取M(i,j)的最大值為Y,最小值為X,將像素點的梯度幅值進行歸一化后,可以求出動態(tài)的分數(shù)階積分階次:

(7)

從而可以實現(xiàn),在梯度均值較大處(看做噪聲點)具有較小的負階次,該階次的分數(shù)階積分對噪聲具有較大的衰減作用;對于梯度幅值中等和較小處(看做圖像紋理點)具有相應大小的積分階次,對圖像紋理具有一定的增強和保留作用。將式(7)求出的積分階次代入圖1中的掩模模板,然后再與噪聲圖像進行卷積運算,就可以實現(xiàn)全局自適應分數(shù)階積分算法對整幅圖像的處理。對幾類常見的噪聲圖像如高斯噪聲、泊松噪聲、乘性噪聲和椒鹽噪聲圖像進行仿真實驗,去噪效果如第3.1節(jié)所示。

2.2基于小概率策略的自適應分數(shù)階微積分去噪與增強算法

將全局自適應分數(shù)階積分圖像去噪算法進行仿真實驗后,發(fā)現(xiàn)該算法相較于文獻[16-17]方法的整體圖像去噪效果更好,特別是針對于椒鹽噪聲圖像的去噪效果最好。所以本文在全局自適應去噪算法的基礎上,進一步提出一種基于小概率策略的自適應分數(shù)階微積分算法(只針對于一類較低強度的椒鹽噪聲圖像),該算法能夠在利用自適應分數(shù)階積分去除噪聲的同時,利用分數(shù)階微分來增強和保留圖像的紋理,從而能夠使整幅圖像更加清晰。

2.2.1自適應分數(shù)階微積分函數(shù)

根據(jù)分數(shù)階G-L定義,當分數(shù)階的階次是負數(shù)時為積分運算,當分數(shù)階的階次是正數(shù)時為微分運算,同時依據(jù)分數(shù)階的階次可以連續(xù)變化的特點,制定了相應的自適應分數(shù)階微積分階次的函數(shù),在圖像的噪聲處具有負階次,在圖像的邊緣處具有較大的正階次,在圖像的弱紋理和平滑區(qū)域具有較小正階次。由圖2(b)可看出當分數(shù)階積分階次-1≤vnoise≤-0.5時對高頻的圖像噪聲有較好的衰減效果,根據(jù)這些特性,設計自適應階次v的函數(shù)如下:

(8)

上述函數(shù)中,t是由小概率策略求取的噪聲的梯度閾值,v是每一個像素點對應的分數(shù)階階次。分割出的每個噪聲點的平均梯度為Mnoise(i,j),設Mnoise(i,j)中的最小值為噪聲點的最優(yōu)閾值t=Xnoise,最大值為Ynoise。

對于分割出的噪聲點,當分數(shù)階積分階次為-1≤vnoise≤-0.5時,可以達到較好的去噪效果。同時通過式(8)使不同強度噪聲點對應不同的積分階次,就可以實現(xiàn)強噪聲處具有較小的負階次(負值),較弱噪聲處有較大的負階次,從而獲得更好的去噪效果。

當像素點的平均梯度幅值M(i,j)小于噪聲閾值t時,該像素點被認為是圖像紋理處,對該像素點進行相應正階次的分數(shù)階微分處理可以達到增強圖像紋理的效果。對紋理點的平均梯度進行歸一化處理,可以得到不同強度的紋理點對應的微分階次vtexture=(M(i,j)-2)/(t-2)。從而實現(xiàn)在圖像邊緣處具有較大的分數(shù)階微分階次(正值);在圖像弱紋理處具有較小的微分階次;在梯度基本不變化的區(qū)域微分階次為0。根據(jù)人眼的視覺特性,取梯度基本不變化的門限值為2,此時人們在視覺上會覺得圖像基本無變化。

2.2.2基于小概率策略求取噪聲的梯度閾值t

針對較低強度的椒鹽噪聲圖像而言,可以把噪聲點的出現(xiàn)看作是一種小概率事件。小概率事件是指發(fā)生概率極小的事件[21],一般多采用事件發(fā)生的概率在0.01~0.05之間。

一般情況,圖像邊緣和噪聲點的梯度幅值均值都較大,但是邊緣像素點大多都是連續(xù)的,所以,邊緣像素點8個方向上的梯度最小值一般都較小。而噪聲點一般都是隨機的孤立的點,那么它8個方向上的梯度最小值一般都較大,所以將像素點8個方向上的最小梯度幅值按降序排列,再根據(jù)全圖噪聲概率將椒鹽噪聲點分割出來。現(xiàn)定義噪聲點的出現(xiàn)為隨機事件x,那么x發(fā)生的概率為Pnoise,設圖像f(i,j)的分辨率為A×B,則圖像中噪聲點數(shù)量的期望值為

(9)

將像素點8個方向的梯度最小值Mmin(i,j)按降序排列為H(k),那么當k∈[1,E]時,對應的f(i,j)為噪聲點,即滿足式(10)的像素f(i,j)為噪聲點。

(10)

此時,求取分割出的噪聲點的平均梯度Mnoise(i,j),以Mnoise(i,j)的最小值為噪聲點的最優(yōu)閾值t=Xnoise,那么當Mnoise(i,j)越大時候,噪聲點越強,對應的積分階次越小(負值),對噪聲的衰減幅度也越大,自適應去噪效果越好。

為了驗證小概率策略針對于椒鹽噪聲圖像的有效性,取0.03強度的椒鹽噪聲為例,去噪效果如圖3所示。

原噪聲圖3(a1)、圖3(b1)、圖3(c1)的PSNR為20.363 8、19.709 4、20.136 5,那么由圖3和表1可以看出對于較低強度的椒鹽噪聲圖像,基于小概率策略的自適應分數(shù)階去噪算法可以達到較好的圖像去噪效果。選取總體效果較好的0.03概率作為該算法的概率參數(shù)。

表1　基于小概率策略圖像去噪后圖像的PSNR

圖3　小概率去噪后的圖像

3實驗與分析

3.1基于全局自適應分數(shù)階積分的圖像去噪算法的實驗與分析

將本文首先提出的全局自適應分數(shù)階積分去噪算法與文獻[16-17]方法進行圖像去噪效果的比較實驗,同時加入均值濾波、高斯低通濾波、中值濾波、維納濾波去噪算法。以圖4和圖5中的原圖為對象,加入的噪聲分別以均值為0、方差為0.01的高斯噪聲、泊松噪聲、強度為0.04乘性噪聲和強度為0.03的椒鹽噪聲為例,圖像的分辨率均為256×256。其中文獻[16-17]中使用的是指定階次的分數(shù)階積分算法,以取0.5階次為例。實驗結果如圖4、圖5和表2、表3所示。

表2　圖4中各噪聲圖像經算法處理后的PSNR

圖4　各個去噪算法處理后的圖像(1)

圖5　各個去噪算法處理后的圖像(2)

去噪算法PSNR(圖5原圖中加入各類噪聲)高斯噪聲泊松噪聲乘性噪聲椒鹽噪聲含噪原圖20.069026.516520.001120.5339均值濾波25.464027.043125.399126.0543高斯低通23.686229.893323.582525.5661中值濾波24.942127.841023.869829.9631維納濾波26.291728.477425.746224.9215文獻[16]23.461626.822123.628324.1179文獻[17]24.621829.666724.515726.2081全局自適應25.653329.063825.503930.4702

由圖4、圖5和表2、表3可以看出去噪算法對圖像都有一定的去噪效果。Wiener維納濾波根據(jù)局部方差來調整濾波器效果,所以對于去除高斯噪聲和乘性噪聲效果較為明顯。中值濾波對于去除椒鹽噪聲效果較好。文獻[16-17]分別采用R-L定義和G-L定義的分數(shù)階積分去噪算法,并對整幅圖像都采用的同一的積分階次,對這幾類基于分數(shù)階積分的去噪方法之間進行比較可以發(fā)現(xiàn),本文和文獻[17]的算法相比于文獻[16]有較好的圖像去噪效果,從表2、表3可以看出以本文的去噪算法比較其他方法具有更高的峰值信噪比,其中針對于椒鹽噪聲圖像的去噪效果最佳。

3.2基于小概率策略的自適應分數(shù)階的圖像去噪與增強算法的實驗與分析

本文進一步提出的基于小概率策略的自適應分數(shù)階算法只針對一類較低強度的椒鹽噪聲圖像,該算法將分數(shù)階積分與分數(shù)階微分同時用于處理同一幅圖像,所以該算法可以使圖像中的椒鹽噪聲被去除的同時,圖像的紋理也得到較大程度的增強。以強度為0.03的椒鹽噪聲圖像為例,將該算法與維納濾波、中值濾波、文獻[16-17]方法進行圖像去噪與增強效果的比較實驗。

圖6　各個去噪算法處理后的圖像(3)

圖7　各個去噪算法處理后的圖像(4)

去噪算法評價參數(shù)平均梯度信息熵對比度原圖10.90347.58961.0000中值濾波6.63027.54350.6488文獻[16]11.34987.71520.7871文獻[17]6.08907.45830.5600全局自適應7.72257.53870.7468小概率自適應23.76727.59371.8111

表5　圖7中各圖像的評價參數(shù)

圖8　本文方法與其他方法的差分圖像

首先,對圖像直接觀察來進行主觀評價,由圖6、圖7可以發(fā)現(xiàn),中值濾波和全局自適應去噪算法對椒鹽噪聲都具有較好的去噪效果,但是和原圖比較,圖像的邊緣和紋理被弱化,視覺上較模糊。這是由于分數(shù)階積分對圖像高頻部分具有一定的衰減作用。如圖6(h)和圖7(h)所示,經過基于小概率策略的自適應分數(shù)階算法處理后的圖像雖然還存在零星的噪聲點,但是濾除了大部分的圖像噪聲,并且明顯增強了圖像的邊緣和紋理,使圖像更加清晰,視覺效果更好。

如圖8所示,將圖6(h)和圖7(h)分別與原圖、中值濾波圖、全局自適應去噪圖做差分運算,以比較本文算法對圖像邊緣的增強效果。圖8中的圖像邊緣的輪廓清晰可見,從而說明基于小概率的自適應分數(shù)階算法在去除噪聲的同時,能較準確地增強圖像的邊緣信息,達到較好的圖像增強效果。

其次,通過圖像數(shù)據(jù)分析來進行客觀評價,通過去噪后圖像的平均梯度、信息熵和對比度來比較去噪算法對圖像邊緣的增強和圖像弱紋理的保留能力。其中,對比度的定義為Co=Cprocessed/Coriginal,在圖像中以3×3為單位求取對比度,C為所有3×3單位對比度的均值。Coriginal和Cprocessed分別代表原始和增強后圖像的對比度。

經過對表格的數(shù)據(jù)分析可以發(fā)現(xiàn):平均梯度可以表示圖像紋理被增強的程度,由表4和表5可以看出,經過基于小概率策略的自適應分數(shù)階算法處理后的圖像的平均梯度明顯提高,圖像邊緣和紋理信息被加強。通過對比表格中的信息熵數(shù)據(jù),可以看出各去噪算法處理后的圖像與原圖的信息熵都比較接近,說明上述算法在圖像去除噪聲的過程中都保留了一定的紋理信息。對比度表征圖像的清晰度,對比度過小,整個圖像就會是灰蒙蒙的,從表4和表5中可以看出,除了基于小概率策略的自適應算法提高了圖像對比度,其他算法的對比度相對于原圖都有所降低,所以在視覺效果上本文的去噪算法更佳。因此,基于小概率策略的自適應分數(shù)階算法在去除椒鹽噪聲、增強圖像邊緣、保留紋理細節(jié)、提高圖像對比度等方面具有較好的性能,比較其他方法可以達到更好的圖像增強效果。

4結論

基于分數(shù)階的圖像去噪是一個新的發(fā)展方向,本文提出的全局自適應分數(shù)階積分能在去除噪聲的同時保留一定圖像紋理信息,但是會使邊緣弱化,圖像視覺模糊。所以,在全局自適應分數(shù)階去噪算法的基礎上，本文進一步提出了一種基于小概率策略的分數(shù)階算法,該算法只針對一類強度較低的椒鹽噪聲圖像。對于一整幅圖像而言,該算法實現(xiàn)了在噪聲點處采用分數(shù)階積分算法處理,在紋理處采用分數(shù)階微分算法處理,使得圖像去噪的同時圖像紋理也得到了增強,圖像更加清晰,視覺效果更好。

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李博(1982-),男,博士研究生,主要研究方向為圖像處理、機器視覺。

E-mail:l.bo15@mail.scut.edu.cn

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Image enhancement and denoising algorithms based on

adaptive fractional differential and integral

LI Bo, XIE Wei

(AutomationScienceandTechnology,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou510640,China)

Abstract:Due to the problem that traditional algorithms would be easy to ignore the texture of the image while image denoising, a new image denoising algorithm based on global adaptive fractional integral is proposed, which preserves image texture information while removes the noises of image. Secondly, the image enhancement and denoising algorithm based on adaptive fractional differential and integral using small probability strategy is proposed for low intensity salt and pepper noise image. The appearance of salt and pepper noise points is regarded as a small probability event, and the adaptive fractional integral algorithm is used to process the image’s noises while the adaptive fractional differential algorithm is used to enhance the texture of the image. Experimental results show that both the two presented methods have good image denoising effect, and the second algorithm has better effect than other methods on enhancing the image edges.

Keywords:fractional calculus; adaptive; image denoising; image enhancement; gradient; order

通訊作者謝巍(1974-),,男,教授,博士,主要研究方向為魯棒控制、圖像處理。

作者簡介：

中圖分類號：TP 391

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.01.29

基金項目：國家自然科學基金面上項目(61174098,60673178)資助課題

收稿日期：2014-12-31；修回日期：2015-05-26；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2015-07-06。