余建國(guó)

什么是函數(shù)不等式？先看一個(gè)問(wèn)題.

例1 已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2）=1，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）>x1，則不等式f（x）<1/2x? -x+1的解集為_______________.

我們并不知道問(wèn)題中的函數(shù)f（x）的解析式，只知道它滿足兩個(gè)條件：①f（2）=1，②導(dǎo)函數(shù).f'（x）>x-l，求解不等式f（x）<1/2x?-x+1.這樣的問(wèn)題稱為“求解函數(shù)不等式”.注意到（1/2x?-x+1）'=x-1，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-（1/2x?-x+1），本質(zhì)就是解不等式g（x）<0.

g'（x）=f'（x） -x+1.由條件②知，g'（x）>o，所以g（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù).又由條件①，知g（2）=f（2）-1/2×4+2-1=0，故由g（x）

由此可見，解此類函數(shù)不等式的步驟是：

Sl結(jié)合題設(shè)中的導(dǎo)數(shù)條件和所要求解的函數(shù)不等式，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)；

S2確定新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，以確定新函數(shù)的單調(diào)性；

S3利用新函數(shù)的單調(diào)性及圖象中的特殊點(diǎn)，得到函數(shù)不等式的解集.

例2 函數(shù)f（x）的定義域是R，f（o）=2，對(duì)任意x∈R，f（x）+f'（x）>1，則不等式ex·f（x）>ex+1的解集為__________.

解析記函數(shù)g（x）=ex·f（x）-ex1，則g'（x）=ex（f（x）+f'（x）-1）.

因?yàn)閷?duì)任意x∈R，f（x）+'（x）>1，所以g '（x）>0恒成立，所以g（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，因?yàn)間（0）=f（o）-11=0，所以不等式ex·f（x）>ex+1，即g（x）>g（0）的解集是x>o，所以不等式e·f（x）>ex+1的解集為（o，+∞）.

評(píng)析最簡(jiǎn)單的構(gòu)造函數(shù)方法是“g（x）一左邊-右邊”，這樣目標(biāo)就是解不等式g（x）>o.

例3 已知f（x），g（x）（g，（x）≠0）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f'（x）g（x）

解析

當(dāng)x<0時(shí)，由題設(shè)得h'（x）

由f（-3） =0，得h（-3）=-h（3）=0.

由h（x）3.

不等式的解集為（-3，0）∪（3，+∞）.

評(píng)析對(duì)照導(dǎo)數(shù)條件f'（x）g（x）

例4 己知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），滿足f'（x）

解析因?yàn)閒（x+2）為偶函數(shù)，所以f（x+2）的圖象關(guān)于直線x=o對(duì)稱，所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以f（0）=f（4）=1.

因?yàn)閒'（x）

因?yàn)?/p>

不等式f（x）

評(píng)析導(dǎo)數(shù)條件“f'（x）

例5 已知函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意的x滿足f'（x）cosx+f（x）sinx>0（其中'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式不一定成立的是

（）

解析 設(shè)故B正確.A，C同理.故選D.

評(píng)析導(dǎo)數(shù)條件中的“+”未必是兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，本題中，（cosx）'=-slnx，所以，我們?nèi)匀皇菢?gòu)造商函數(shù).

例6 已知函數(shù)f（x）滿足x>o時(shí)，有則下列結(jié)論一定成立的是

（）

解析 由f'（x）=2X?，得f（x）=2/3x?+C.

當(dāng)x>o時(shí)，由f'（x）=2x?>得

評(píng)析關(guān)鍵是確定常數(shù)C的取值范圍.導(dǎo)數(shù)條件f'（x）>變形為xf'（x）-f（x）>o，這樣就能聯(lián)想到構(gòu)造什么樣的新函數(shù)了.

小結(jié)聯(lián)系已知導(dǎo)數(shù)條件和要求解的函數(shù)不等式，構(gòu)造輔助函數(shù)是求解這類問(wèn)題的常用方法.構(gòu)造方法無(wú)非是兩個(gè)函數(shù)的和、差、積和商，通過(guò)研究輔助函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)得到函數(shù)不等式的解.特別注意函數(shù)ex、Inx，前者的導(dǎo)數(shù)永遠(yuǎn)不變，后者的導(dǎo)數(shù)變成多項(xiàng)式，弄清楚它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，有助于我們聯(lián)想得更快、更準(zhǔn).