定義在R的奇函數(shù)可以任性使用f（0）=0

孟維帥

利用f（0）=0求解奇函數(shù)中的待定系數(shù)已不是新鮮問題，眾所周知的是，如果函數(shù)在x=0處無定義，是不能用f（0）=0來求參的，如題目：函數(shù)f（x）+a為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.

就上述問題，不由讓筆者引起思考，倘若函數(shù)在x=0處有定義，一般的來說，定義在R上的奇函數(shù)難道就可以任性地使用

f（0）=0來求參嗎？筆者認(rèn)為，結(jié)合具體實(shí)例來研究這個(gè)問題不失為一個(gè)好辦法.

例1 已知函數(shù)f（x）=a-為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.

解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以有f（0）=0，即a=0，解得a=.

由此可知a=函數(shù)f（x）確實(shí)是奇函數(shù).

通過例1，發(fā)現(xiàn)定義在R上的奇函數(shù)可以任性的使用f（0）=0來求出參數(shù)a，但是一個(gè)例子的佐證似乎顯得有些蒼白，因此筆者再選一例來討論定義在R上的奇函數(shù)是否任性的使用f（0）=0來求參.

例2 已知函數(shù)y=為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.

解：顯然函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以有f（0）=0，即=0，解得a=±1.

當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=ex-e-x.

此時(shí)f（-x）=e-x-ex，顯然f（x）+f（-x）=0.

當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=e-x-ex，

此時(shí)f（-x）=ex-e-x，顯然f（x）+f（-x）=0.

綜上，a=±1都會(huì)使得函數(shù)f（x）為奇函數(shù).

例2似乎進(jìn)一步鞏固了例1的說法，即定義在R的奇函數(shù)可利用f（0）=0來求解析式中的參數(shù)，討論也仿佛到了尾聲，結(jié)論好像已如磐石那般堅(jiān)定，然而筆者卻始終心存疑慮，并開始尋找定義域?yàn)镽的反例，最終尋得一例，并予以說明：

例3 已知函數(shù)f（x）=ax2+（a-1）x+a2-a（a∈R）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.

解法一：不難看出，函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，利用

f（0）=0可得a2-a=0，解得a=0或a=1.

當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-x，此時(shí)f（-x）=x，于是f（x）+f（-x）=0，

由奇函數(shù)的定義可知，函數(shù)f（x）為奇函數(shù).

當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x2，此時(shí)f（-x）=f（x），函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，而并非奇函數(shù).

此例是以簡單的多項(xiàng)式函數(shù)來構(gòu)造成功反例，推翻了定義在R的奇函數(shù)可任性使用f（0）=0來求解析式中的參數(shù)，例子雖然簡單但是足以說明問題，即使是定義在R上的奇函數(shù)，也不可以任性地使用f（0）=0來求參數(shù).

通過對三道例題的分析，例1和例2說明f（0）=0確實(shí)是為求定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)中的參數(shù)問題提供了便利，但同時(shí)例3警示此類做法的風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)也指出此類方法檢驗(yàn)的必要性.

例3的風(fēng)險(xiǎn)說明奇函數(shù)求參的保險(xiǎn)手段便是奇函數(shù)的定義，即f（x）+f（-x）=0.在具體問題中可利用賦值簡化，如例3函數(shù)在x=1處有定義，令x=1，即f（1）+f（-1）=0可得a=0，避免了風(fēng)險(xiǎn)，而且此法還可利用到x=0處無定義的函數(shù)中，如文章開頭的例子就可以用此法求出a=.

編輯 魯翠紅