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      定義在R的奇函數(shù)可以任性使用f(0)=0

      2016-05-30 16:55:24孟維帥
      新課程·中學(xué) 2016年1期
      關(guān)鍵詞:反例奇函數(shù)定義域

      孟維帥

      利用f(0)=0求解奇函數(shù)中的待定系數(shù)已不是新鮮問題,眾所周知的是,如果函數(shù)在x=0處無定義,是不能用f(0)=0來求參的,如題目:函數(shù)f(x)+a為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值.

      就上述問題,不由讓筆者引起思考,倘若函數(shù)在x=0處有定義,一般的來說,定義在R上的奇函數(shù)難道就可以任性地使用

      f(0)=0來求參嗎?筆者認(rèn)為,結(jié)合具體實(shí)例來研究這個(gè)問題不失為一個(gè)好辦法.

      例1 已知函數(shù)f(x)=a-為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值.

      解:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以有f(0)=0,即a=0,解得a=.

      由此可知a=函數(shù)f(x)確實(shí)是奇函數(shù).

      通過例1,發(fā)現(xiàn)定義在R上的奇函數(shù)可以任性的使用f(0)=0來求出參數(shù)a,但是一個(gè)例子的佐證似乎顯得有些蒼白,因此筆者再選一例來討論定義在R上的奇函數(shù)是否任性的使用f(0)=0來求參.

      例2 已知函數(shù)y=為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值.

      解:顯然函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以有f(0)=0,即=0,解得a=±1.

      當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)=ex-e-x.

      此時(shí)f(-x)=e-x-ex,顯然f(x)+f(-x)=0.

      當(dāng)a=-1時(shí),函數(shù)f(x)=e-x-ex,

      此時(shí)f(-x)=ex-e-x,顯然f(x)+f(-x)=0.

      綜上,a=±1都會(huì)使得函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

      例2似乎進(jìn)一步鞏固了例1的說法,即定義在R的奇函數(shù)可利用f(0)=0來求解析式中的參數(shù),討論也仿佛到了尾聲,結(jié)論好像已如磐石那般堅(jiān)定,然而筆者卻始終心存疑慮,并開始尋找定義域?yàn)镽的反例,最終尋得一例,并予以說明:

      例3 已知函數(shù)f(x)=ax2+(a-1)x+a2-a(a∈R)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值.

      解法一:不難看出,函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),利用

      f(0)=0可得a2-a=0,解得a=0或a=1.

      當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-x,此時(shí)f(-x)=x,于是f(x)+f(-x)=0,

      由奇函數(shù)的定義可知,函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

      當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2,此時(shí)f(-x)=f(x),函數(shù)f(x)為偶函數(shù),而并非奇函數(shù).

      此例是以簡單的多項(xiàng)式函數(shù)來構(gòu)造成功反例,推翻了定義在R的奇函數(shù)可任性使用f(0)=0來求解析式中的參數(shù),例子雖然簡單但是足以說明問題,即使是定義在R上的奇函數(shù),也不可以任性地使用f(0)=0來求參數(shù).

      通過對三道例題的分析,例1和例2說明f(0)=0確實(shí)是為求定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)中的參數(shù)問題提供了便利,但同時(shí)例3警示此類做法的風(fēng)險(xiǎn),同時(shí)也指出此類方法檢驗(yàn)的必要性.

      例3的風(fēng)險(xiǎn)說明奇函數(shù)求參的保險(xiǎn)手段便是奇函數(shù)的定義,即f(x)+f(-x)=0.在具體問題中可利用賦值簡化,如例3函數(shù)在x=1處有定義,令x=1,即f(1)+f(-1)=0可得a=0,避免了風(fēng)險(xiǎn),而且此法還可利用到x=0處無定義的函數(shù)中,如文章開頭的例子就可以用此法求出a=.

      編輯 魯翠紅

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