許欽彪

課堂生成是指教師在課堂教學(xué)過程中，針對(duì)教學(xué)實(shí)際、學(xué)生學(xué)習(xí)狀況和學(xué)生中出現(xiàn)的新思維、新方法以及存在的問題等，在原有的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行及時(shí)補(bǔ)充、調(diào)整、完善課堂教學(xué)計(jì)劃、方式的一種教學(xué)應(yīng)變方法.

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目的是在教師主導(dǎo)下讓學(xué)生主體學(xué)習(xí)、理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，練習(xí)提高運(yùn)用知識(shí)解決問題的方法能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，形成數(shù)學(xué)思想.

從數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量和有效教學(xué)的要求來說，教學(xué)的主體是學(xué)生，教師的主導(dǎo)是為了引導(dǎo)學(xué)生高效地進(jìn)行學(xué)習(xí). 課堂教學(xué)效果是教與學(xué)的綜合結(jié)果，需要主導(dǎo)和主體的共同參與和密切配合. 因而課堂教學(xué)必須符合課堂過程實(shí)際，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，重視學(xué)習(xí)反映出來的問題，及時(shí)進(jìn)行有針對(duì)性地補(bǔ)充、調(diào)整、完善教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)方法，這就需要課堂生成.

從數(shù)學(xué)教師的要求來說，除了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)專業(yè)功底，扎實(shí)的教學(xué)基本功，還需要豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和有效的教學(xué)方法. 而經(jīng)驗(yàn)、方法需要在具體的課堂教學(xué)實(shí)踐中豐富、提煉、完善. 課堂生成教學(xué)方法就是一種良好的途徑.

本文限于篇幅，僅以兩個(gè)具體實(shí)例，來闡述如何進(jìn)行課堂教學(xué)生成，以期拋磚引玉.

一、 三角函數(shù)求值的課堂生成

從課堂上的學(xué)生反應(yīng)情況可見，這類三角函數(shù)求值問題，除了公式運(yùn)用和解題方法需要練習(xí)掌握外，有關(guān)所給的條件，特別是隱含條件的處理和利用，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說明顯是個(gè)難點(diǎn)和弱點(diǎn)，而這恰恰是得到正確解答的重點(diǎn)和要點(diǎn). 所以必須及時(shí)深入教學(xué)和延伸拓展. 意識(shí)到這一點(diǎn)，筆者隨即調(diào)整了教學(xué)計(jì)劃，把本來作為作業(yè)的兩個(gè)題目作為講練題在課堂中和學(xué)生一起研討透徹，以利學(xué)生對(duì)這類三角函數(shù)的條件能充分重視并掌握正確解法.

先對(duì)以上問題給以完整解答.

可見，三角函數(shù)求值時(shí)，條件的利用，不能只看明顯的條件，還要注意隱含條件，并且要不斷挖掘，逐漸精確，直至準(zhǔn)確解答.

教師對(duì)這類問題應(yīng)重點(diǎn)指出：三角函數(shù)求值時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一類符號(hào)及多值的取舍情況，取舍的依據(jù)是所給的條件，條件分為明顯條件和隱含條件兩種，如果只看明顯條件而忽視了隱含條件，就會(huì)難以取舍，產(chǎn)生遺漏、多值或者多加討論，使問題變得殘缺、復(fù)雜甚至陷入困境. 因而，仔細(xì)審題，發(fā)現(xiàn)和利用好隱含條件，正確判斷和取舍，在三角函數(shù)求值中尤其重要.

進(jìn)一步給出類似的講練題.

可見，隨著隱含條件的正確發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，可以判斷出、-是增根，正確的答案只有2α-β=-.

筆者認(rèn)為，如果當(dāng)時(shí)沒有重視學(xué)生在解答題1中的錯(cuò)漏問題，繼續(xù)按照原有的教學(xué)設(shè)計(jì)把教學(xué)重點(diǎn)只放在三角函數(shù)式變形、角度變換、公式的靈活運(yùn)用上， 表面上看，掌握知識(shí)，靈活應(yīng)用，方法能力上得到了提高加強(qiáng). 但由于忽視了條件的挖掘和應(yīng)用，問題的解決是不會(huì)正確完整的，也不符合數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)思維的要求.而通過發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)漏，及時(shí)彌補(bǔ)、生成新的教學(xué)設(shè)計(jì)，輔以相關(guān)的問題，讓學(xué)生充分注意到條件特別是隱含條件對(duì)于準(zhǔn)確解題的重要性，通過練習(xí)和講解，使學(xué)生在挖掘利用隱含條件方面得到鍛煉和鞏固，對(duì)于今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提高問題解決能力和培養(yǎng)正確嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，都是必須和必要的.

二、利用基本不等式求最值的課堂生成

基本不等式應(yīng)用這節(jié)課原來的設(shè)計(jì)重點(diǎn)在于不等式的變形利用技巧. 筆者上課開始時(shí)為了讓學(xué)生回顧上節(jié)課在介紹利用基本不等式求最值時(shí)強(qiáng)調(diào)的“一正、二定、三取到”的基本規(guī)范，給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的訓(xùn)練題.

解法三：∵ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取最大值，而a=b時(shí)，代入a2=3b2=12解得：a=b=±，ab的最大值是3.

原來預(yù)計(jì)大多數(shù)學(xué)生應(yīng)該會(huì)用解法一，但課堂統(tǒng)計(jì)的情況是：解法一占50%，解法二占30%，解法三占20%. 這個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果使筆者認(rèn)識(shí)到學(xué)生的注意力或許重在不等式的變形利用上，而對(duì)于如何保證取到最大值即等號(hào)成立，是模糊不清的，而這恰恰是求最值的關(guān)鍵和重點(diǎn)，也反映出了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的紕漏和失誤. 所以，筆者認(rèn)為需要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，調(diào)整教學(xué)計(jì)劃，充實(shí)如何保證取到最值的問題講練.

先讓學(xué)生對(duì)以上三種解法進(jìn)行對(duì)錯(cuò)辨析，尋找思維誤漏，形成嚴(yán)謹(jǐn)正確的數(shù)學(xué)思維. 經(jīng)過分析，學(xué)生基本上形成了統(tǒng)一認(rèn)識(shí).

解法一過程嚴(yán)謹(jǐn)，解答正確.

解法二的錯(cuò)誤在于推理ab≤6的過程中出現(xiàn)了兩個(gè)“≤”，而兩個(gè)“=”號(hào)要同時(shí)取到的條件是a=b=0，與a2=3b2=12矛盾，因此6是取不到的. 所以求最值時(shí)必須驗(yàn)證等號(hào)能否取到.

教師指出：這是忽視了最值必須切實(shí)取到的常見錯(cuò)誤，一般在推理過程中出現(xiàn)了兩個(gè)或以上的“≤”，要幾個(gè)“=”號(hào)同時(shí)取到的機(jī)會(huì)就比較少.

解法三的錯(cuò)誤是a=b時(shí)取最大值的前提是a2+b2或a+b要定值，沒有定值這個(gè)前提，“a=b時(shí)取最大值”是不正確的.

教師指出：這是忽視了“和一定，積最大”的前提條件的典型錯(cuò)誤，解題時(shí)應(yīng)該充分重視.

為了進(jìn)一步讓學(xué)生糾正利用基本不等式求最值的失誤，正確認(rèn)識(shí)和掌握解決問題的方法，筆者補(bǔ)充了幾則講練題與學(xué)生進(jìn)行正誤辨析，以下是學(xué)生得出的正解和常見的典型錯(cuò)誤.

題5：設(shè)x>0，y>0，且+=1，求x+y的最小值.

錯(cuò)解：由+≥，∴≤1，xy≥36，∴x+y≥2≥12，∴x+y的最小值為12.

錯(cuò)誤的原因還是因?yàn)楹鲆暳蓑?yàn)證最值能否切實(shí)取到，事實(shí)上這里的兩個(gè)等號(hào)是不能同時(shí)取到的.

正解：x+y=（+）·（x+y）=1+9++≥10+6=16. 當(dāng)=即x=4，y=12時(shí)，x+y取最小值16. 這里巧用了+=1，這是常用和有效的的“1代換”技巧.

也有學(xué)生給出了以下解法：由+=1，得=，x=∴x+y=+y===（y-9）+=（y-9）++10≥16，當(dāng)y-9=即y=12時(shí)，取到最小值.

這里用到了由已知x，y的關(guān)系，將所求式的雙變量代換成單變量后，將其“湊合”成了可以用基本不等式的形式. 在肯定了這些學(xué)生解法的同時(shí)，也指出了應(yīng)引起注意的問題，就是在利用基本不等式（y-9）+≥2·3時(shí)需要的條件：y-9>0. 在解答時(shí)必須予以嚴(yán)謹(jǐn)說明：由x>0，y>0，x=>0得y>9，∴y-9>0.

對(duì)于解法涉及的“湊合”也可以利用基本不等式的技巧，筆者及時(shí)生成了關(guān)于這方面的教學(xué)，并舉例進(jìn)行講練.

題6：當(dāng)x>1時(shí)，求y=的最小值和y=的最大值.

有了上面關(guān)于式子變形拆解“湊合”的提示，大部分學(xué)生比較順利地得到了以下正確解答，并注意到了“一正、二定、三取到”的完整性.

對(duì)于初次應(yīng)用基本不等式求最值的學(xué)生來說，此題不但有一定的變?cè)?、變式和技巧上的難度，而且當(dāng)思維主要在技巧上時(shí)，也容易忽視“一正、二定、三取到”的基本規(guī)范而產(chǎn)生上述常見的錯(cuò)漏，因而這是一題理想的方法能力及辨析題.

學(xué)生得到的方法主要有以下兩種.

解法一過程嚴(yán)謹(jǐn)，解答正確完整，方法是“1”代換.一般地，如果已知條件式是常數(shù)，經(jīng)常可以把所求式“湊合”成條件式用常數(shù)代換，以簡(jiǎn)化所求式. 如果令t=，則0≤t≤，所求式將化成s=4t2+2t-1，更容易解決. 這是減元（把雙變量或多變量化成單變量）的方法.

解法二表面上看沒有問題，在后半部分用到了“減元”方法，化為二次問題解決，思維方法是好的，但前后兩個(gè)過程產(chǎn)生了兩個(gè)不等號(hào)，還是兩個(gè)等號(hào)能否同時(shí)取到，即最大值能否取到的問題. 事實(shí)上第一個(gè)4x2+y2≥4xy要取等號(hào)，須2x=y=，這時(shí)t=.而第二個(gè)s≤要取等號(hào)，須t=，這與t=矛盾. 這就說明，s是取不到的.

至此，本節(jié)課在原來的教學(xué)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上，由學(xué)生解第一個(gè)問題反映出來的錯(cuò)漏，生成了既切合學(xué)生主體學(xué)習(xí)實(shí)際而又符合教學(xué)目標(biāo)的新教學(xué)過程. 在師生講練探討中，很好地解決了利用基本不等式求最值的重點(diǎn)、難點(diǎn)，認(rèn)識(shí)糾正了典型常見的易錯(cuò)問題. 從課后的練習(xí)反饋情況看，教學(xué)效果明顯提高.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)方法經(jīng)驗(yàn)來源于課堂教學(xué)實(shí)踐，教學(xué)的主體是學(xué)生，教師要根據(jù)學(xué)生主體參與的實(shí)際情況來主導(dǎo)教學(xué)過程. 也就是說，教師要在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)難點(diǎn)等預(yù)設(shè)教案的基礎(chǔ)上，關(guān)注教學(xué)過程細(xì)節(jié)，有意識(shí)地主動(dòng)積極發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中反映出來的普遍、常見、典型的問題，及時(shí)調(diào)整、補(bǔ)充、完善，生成符合課堂教學(xué)和學(xué)生實(shí)際，行之有效的教學(xué)方案，應(yīng)用于教學(xué)過程.這樣才能真正做到數(shù)學(xué)教與學(xué)的相互促進(jìn)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)，提高教學(xué)質(zhì)量.