陳建華
(揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇揚州225002)
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依托面積為載體的幾個不等式的直觀證明及思考
陳建華
(揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇揚州225002)
[摘要]依托面積為載體,在給出Young不等式的幾何直觀證明的基礎(chǔ)上,繼續(xù)討論幾何直觀在幾個相關(guān)不等式證明中的運用.探討了數(shù)學(xué)教學(xué)中如何發(fā)揮幾何直觀的作用.
[關(guān)鍵詞]不等式; 幾何直觀; 面積
1Young不等式
(1)
(1)式被稱為Young不等式.
Young不等式是證明H?lder不等式、閔科夫斯基不等式的基礎(chǔ),也是定義向量(矩陣)P-范數(shù)的關(guān)鍵.關(guān)于該不等式的證明,矩陣論和泛函分析課程中都是構(gòu)造輔助函數(shù)來證明的.如:史榮昌等構(gòu)造
求導(dǎo)取特殊值證明[2];文獻[3]和[4]中,戴華與程其襄、張奠宙等都是構(gòu)造的輔助函數(shù)是f(x)=xα-αx,這里x>0,0<α<1,然后證明函數(shù)在x=1時取得最大值1-α.教學(xué)中,我們發(fā)現(xiàn)構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式是有效的,但均較為抽象,特別是后兩個輔助函數(shù)不易想到,從教學(xué)角度看,這些輔助函數(shù)就像“天上掉下來的林妹妹”,給人的感覺就是突然.如何改變知識形態(tài),讓學(xué)生易于接受,有利于學(xué)生學(xué)習(xí)呢?本文以平面圖形面積為載體,從幾何直觀的角度作了一些思考.
2直觀證明
圖1 (p>2) 圖2 (1
教學(xué)實踐表明較之于照本宣科使用輔助函數(shù)講解,學(xué)生們對基于面積的幾何直觀證明方法更感興趣,更容易接受.我的感受是:抽象的知識會加大學(xué)生的認知難度,而教師將抽象的知識以形象化的狀態(tài)呈現(xiàn)出來,教學(xué)中就會使得教師授課輕松,學(xué)生對知識的理解透徹、記憶深刻,掌握牢固.正像斯蒂思曾經(jīng)說過的:如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形,那么,思想上就整體地把握了問題,并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法[5].
3特殊化分析
由Young不等式,有
推論1當(dāng)p=q=2時,得基本不等式
(2)
當(dāng)a=x,b=1時,得
(3)
圖3
數(shù)學(xué)教學(xué)中,關(guān)于挖掘不等式中固有的幾何直觀因素,創(chuàng)造貼切的幾何直觀來理解不等式的經(jīng)典案例有許多.譬如第21屆全蘇數(shù)學(xué)競賽八年級試題:
命題1設(shè)a,b,c,A,B,C為正實數(shù),且滿足關(guān)系a+A=b+B=c+C=k,則有不等式
aB+bC+cA 成立. 分析由條件a+A=b+B=c+C=k>0,結(jié)論中aB,bC,cA,k2,引領(lǐng)我們將“面積”納入思考的范圍,而三組數(shù)的和相等,讓正三角形或正方形浮現(xiàn)在我們面前.如圖4,構(gòu)造邊長為k的正三角形,則有大三角形的面積為 圖4 另外含三角形頂點的三個小三角形的面積分別為 而它們的關(guān)系S1+S2+S3 這里一圖抵百語,幾何直觀圖形把不等式反映的數(shù)量關(guān)系,簡明直觀地呈現(xiàn)出來.用到的幾何知識只有三角形的面積公式,問題解決的關(guān)鍵是構(gòu)造正三角形.獲得的幾何證法簡潔明快,直觀有趣,學(xué)生易于理解.如果局限在代數(shù)范圍內(nèi)考慮問題,則需要較好的因式組合、不等式放縮的基本功.下面是一種代數(shù)證法: k3=(a+A)(b+B)(c+C) =abc+Abc+acB+ABc+abC+AbC+aBC+ABC =abc+ABC+aB(c+C)+cA(b+B)+aC(b+B) >aBk+cAk+aCk=(aB+cA+aC)k. 因為k>0,故不等式成立. 4一般化探討 Young不等式一般化,有下列結(jié)論: 定理2設(shè)函數(shù)f(x)在[0,+∞)上可導(dǎo),嚴(yán)格單調(diào),且f(x)→ +∞(x→+∞),f(0)=0,則對任意實數(shù)a≥0,B≥0,有下列不等式 (4) 成立,其中g(shù)(y)是f(x)的反函數(shù). 證對任意給定的實數(shù)a,B,設(shè)A=f(a),f(b)=B(這里b唯一確定). (i) 當(dāng)b>a時,有B>A,如圖5,當(dāng)y≥A時,g(y)≥a,于是 所以 (ii)當(dāng)b≤a時,有B≤A,如圖6,當(dāng)x≥b時,f(x)≥B,于是