高一函數(shù)學習中的認知障礙研究

王康

(呂梁學院汾陽師范分校，山西汾陽 032200)

高一函數(shù)學習中的認知障礙研究

王康

(呂梁學院汾陽師范分校，山西汾陽 032200)

從數(shù)學認知結構發(fā)展的角度，研究分析了高一學生函數(shù)學習過程中的認知障礙，主要有函數(shù)科學概念的認知和知識遷移兩個方面。日常教學中要將教師的“導”與學生的“悟”有機結合，以促進函數(shù)認知結構及相應圖式的動態(tài)生成。

數(shù)學認知結構;高一函數(shù);認知障礙

函數(shù)概念因其高度的抽象性成為高中生普遍感到最難把握的一個概念，也是老師普遍感到最難教的一個概念，而高一學生在經(jīng)歷了初中階段函數(shù)“變量說”之后，緊接著要從集合對應的角度重新理解函數(shù)，認知結構被重新定義，造成高一新生函數(shù)學習的不適應，具體表現(xiàn)為課堂上聽講似懂非懂，課后做題錯誤率很高。

現(xiàn)代認知學習理論認為，數(shù)學學習過程是學生作為教學活動的主體，在教師的主導和指導之下，動態(tài)構建數(shù)學認知結構，而不是在頭腦中進行數(shù)學知識的簡單堆砌?；诖耍覀儚臄?shù)學認知結構及其特征出發(fā)，具體分析研究高一學生函數(shù)學習中的認知障礙，以期從本質上解決函數(shù)教學中存在的問題。

1 數(shù)學認知結構

數(shù)學認知結構概念最早是由曹才翰先生提出的，其后的不少研究者結合自身理解提出了不同的表述，湖北大學劉斌老師在《數(shù)學認知結構及其建構》［1］一文中提出，數(shù)學認知結構既包含處于底層的數(shù)學、概念、定理等，又包含處于中間層次的數(shù)學方法和解題技巧，還有處于高層次的數(shù)學方法論和數(shù)學觀。同時，還是一個帶有能動性的、具有開放性的、立體多層次的、網(wǎng)狀的知識結構。此外，根據(jù)皮亞杰關于一般認知結構的學說，數(shù)學認知結構還具有整體性、轉換性和自我調(diào)整性。

2 函數(shù)認知障礙

2．1 概念認知的障礙

數(shù)學認知結構的整體性是指學習主體內(nèi)化相關概念、定理以及自身的理解成為一個有機整體，與原有的數(shù)學知識不斷溝通，使之同化在原有的認知結構之中，形成新的認知結構整體(“知識塊”)。初高中階段的函數(shù)概念是從兩個不同的角度分別描述的，高一學生對函數(shù)概念的認知是建立在初中階段函數(shù)“變量說”之上的，同時還要理解函數(shù)概念中辯證的哲學思想、數(shù)學方法、其他函數(shù)概念，進一步形成基于“對應說”的新的認知結構。

數(shù)學和哲學是兩個人類思維成就最高的領域，哲學思想指導著數(shù)學的發(fā)展，數(shù)學思想豐富了哲學的觀點，二者之間緊密聯(lián)系，函數(shù)概念本身蘊含著豐富而深刻的哲學思想。具體體現(xiàn)在如下幾個方面:第一，事物間聯(lián)系的普遍性，函數(shù)概念就是建立在大量現(xiàn)實世界中的實例之上，拋去個別非本質的因素而留下共性的自變量、因變量、對應關系，進而抽象成一個數(shù)學模型，揭示變量間的相互依存關系和對應關系，即但凡有聯(lián)系的兩個量，就很有可能存在某種函數(shù)關系，這種函數(shù)關系不一定必須用函數(shù)解析式來表達，也可以使用圖形、表格、或對應符號f等方式進行表達;第二，事物內(nèi)部的矛盾性，事物對立而又統(tǒng)一的矛盾雙方推動著事物的變化發(fā)展，對立統(tǒng)一規(guī)律是唯物辯證法的根本規(guī)律，函數(shù)中數(shù)與形的對立統(tǒng)一，變量與常量的對立統(tǒng)一，特殊和一般的對立統(tǒng)一等均是培養(yǎng)學生的辯證思維，多個方面不同角度更好的認知函數(shù)概念本身;第三，事物發(fā)展的否定之否定推動著事物不斷完善和發(fā)展自己，否定之否定是唯物辯證法的基本規(guī)律之一，函數(shù)概念的產(chǎn)生和發(fā)展即是如此［2］，函數(shù)概念的發(fā)展從最初幾何觀念下的研究到變量說，再到后來的對應說以及集合論觀點下的映射研究，推動著概念本身不斷完善，初高中學生對函數(shù)概念的認知過程就是在這樣一種否定之否定的過程中，認知結構得到不斷的完善和擴充，例如，初中生看待y=1只是一個普通常量或是某方程的解，而高中生要從集合對應的角度，它可以看做是一個多對一的函數(shù)，也可以是一次函數(shù)y=kx+b中系數(shù)k，b特殊化的結果。

然而，高一學生的思維發(fā)展水平尚處于一個關鍵的過渡時期，由具體形象思維水平逐步過渡到形式邏輯思維水平，并逐漸脫離對感性經(jīng)驗的依賴，側重邏輯推導。高中階段在繼續(xù)完善形式邏輯思維的前提下，逐步發(fā)展抽象邏輯思維，唯物辯證的看待事物的發(fā)展變化［3］。

可見，根據(jù)高一學生現(xiàn)有的思維水平，要求他們辯證的看待函數(shù)概念中數(shù)與形的緊密聯(lián)系、變量與常量的對立統(tǒng)一、具體與抽象的相互轉化、初中不成熟的概念認知等還為時尚早，需要在以后的學習中不斷體會。

2．2 知識遷移的障礙

前蘇聯(lián)著名的教育學家蘇霍姆林斯基曾說，教學是教給學生借助已有知識去獲取新知識的能力，并使學習成為一種探索活動。同時，學習也是一個連續(xù)的過程，新的學習總是建立在先前學習的基礎上，新問題的解決總是受到先前問題解決的影響，這就是知識遷移，遷移是人類認知的普遍特征，它廣泛存在于知識、技能與行為規(guī)范的學習中，貫穿于整個學習過程，是學習中最重要的現(xiàn)象之一，屬于教育心理學研究的范疇［4］。

首先，遷移的本質是抽象的過程，越是抽象的知識，可遷移的范圍就越廣，學習遷移的跨度也越大，比如函數(shù)思想貫穿于整個高中數(shù)學階段，并延伸至大學階段;其次，遷移的基礎是聯(lián)系，只有有聯(lián)系的知識才能產(chǎn)生遷移，比如，函數(shù)與不等式、函數(shù)與方程都可以用圖像聯(lián)系，從圖像上認識這些問題，也是數(shù)形結合思想的具體應用;第三，遷移的實現(xiàn)是聯(lián)想，只有從問題聯(lián)想到已經(jīng)掌握的知識和技能，才能找到解決問題的策略。以下從兩個方面指出學生在知識遷移時的障礙對函數(shù)認知結構建構的影響。

2．2．1 教學前概念和經(jīng)驗

在日常生活和以往的學習(初中)中，學生對一些數(shù)學問題和現(xiàn)象有了自己的看法和理解，這些看法和理解是新概念賴以建構的基礎，我們稱之為教學前概念(Pre-instruction)［5］。還有，Duit (1994)把學生在教學新概念之前就已持有的概念稱為教學前概念，主要包括錯誤概念(Mis-Conception)和前概念(Pre-Conception)，錯誤概念是指學生在長期的學習中形成的對概念錯誤的理解，前概念是指源于先前學習中對科學概念的一些淺層次的認識。

我們知道，函數(shù)概念的學習分為兩個階段，初中階段函數(shù)的定義是建立在“某個變化過程中”的兩個變量，并且他們在變化過程中有一個顯性的關系式，而高中階段的函數(shù)定義是建立在“A，B兩個非空的數(shù)集”之間某種確定的對應關系，即函數(shù)是兩個集合之間對應關系，并且有時的對應關系是隱性的，用f來表示，這樣就產(chǎn)生了認識上的不一致，造成了函數(shù)抽象性的根源。另外，學生的思想認識中基于初中函數(shù)概念的理解是淺顯的，有些甚至還是錯誤的。比如錯誤的以為函數(shù)就是變量y，y是經(jīng)過一個算式計算而來的，或者把函數(shù)理解為一個具體的算式，這樣的理解就把函數(shù)的三要素孤立的看待，是淺層次的認識。此外，對于高中形式化、符號化的表達方式也不能正確認識，如無法感受到f(x)=ax+b帶來計算和表述上的優(yōu)越感。此外，函數(shù)性質的學習之前，初中階段已經(jīng)對圖形的升降、對稱做過感性研究，有一定的認識經(jīng)驗，高中階段是從科學理性的角度做深層次的定性研究。

正確看待教學前概念對高中函數(shù)學習的影響，促進知識遷移，形成正確圖式。要求我們在日常教學中，要了解學生已有的知識經(jīng)驗，促進教學前概念向科學概念的轉變;也可以根據(jù)學生先前形成的錯誤認識引發(fā)認知沖突，辨清分歧所在，轉變重組自己的已有觀念;注重函數(shù)諸多概念間的相互聯(lián)系，在概念形成的網(wǎng)絡中全面理解函數(shù)對應說的本質，重視概念生成的凝聚，加快函數(shù)概念從“過程”向“對象”的轉化。

2．2．2 概括加工水平及意識

學習遷移的概括說是早期遷移理論中非常經(jīng)典的理論之一，是美國心理學家賈德提出的，他認為從經(jīng)驗中學到的原理是遷移發(fā)生的主要原因。學習者在前期學習A中所獲得的知識，之所以能夠遷移到后期的學習B中去，是因為在學習A時獲得了一般原理C，這種原理C可以部分或全部運用到A、B之中。遷移產(chǎn)生的關鍵是學習者在兩種學習中概括了他們的共同原理，這一理論可以形象地用下圖表示。

遷移概括說模型

對數(shù)學材料概括的幾種形式主要有強抽象概括模式、弱抽象概括模式、廣義抽象概括模式，所共同的心理過程有觀察、聯(lián)想、歸納、抽象、識別等，原理的概括過程即為思維的抽象過程，是一個構建網(wǎng)狀知識結構的過程，促進圖式的形成和認知結構的發(fā)展。長期的教學實踐表明，掌握原理的學習比機械學習的效果好，掌握原理的同時又了解原理應用的實際情境效果會更好。從近幾年高考試題可以看出，考查的基礎知識、基本技能、基本方法，強調(diào)的是通性通法，淡化解題特殊技巧，避免題海戰(zhàn)術!例如，比較兩個數(shù)值的大小關系，應該是抽象出一個函數(shù)通過單調(diào)性來討論之，此為站在理性思維的高度的通法。再如，函數(shù)的定義域問題關鍵是要找到與自變量x所處的位置，位置一樣即所對應的范圍也一樣，因為運算是函數(shù)的一個基本屬性，在解析式已知的情況下，y =與y=

3 結論

數(shù)學是思維的體操，學生思維層次的提高體現(xiàn)在認知結構的不斷完善，高一學生在函數(shù)學習過程中面臨的所有問題可以歸結為兩個方面:第一，高一學生現(xiàn)有的思維發(fā)展水平和辯證的函數(shù)概念之間的矛盾構成了概念學習、理解、甚至于應用的一切障礙;第二，解題者對數(shù)學問題的抽象和方法的歸納總結，能否從一般原理的角度認識看待函數(shù)問題，實現(xiàn)知識的正遷移。

我們要清醒的認識到學生掌握函數(shù)的科學概念絕非一朝一夕可以一蹴而就的，日常教學應該遵循中學生思維發(fā)展的客觀規(guī)律，學生理解函數(shù)概念是需要反復多次的，其認知結構的建立亦是一個螺旋上升、動態(tài)生成的過程，而對于學生思想中的錯誤認識，可以采用過度延伸策略，引發(fā)認知沖突，重組自己的已有觀念，促使學生認知結構的同化和順應;其次，解題教學中教師應注重思想方法、通性通法的介紹，注重知識間的前后聯(lián)系，避免題海戰(zhàn)術，如:方程x2=x0，|x|=x0，sinx=x0的根為什么都是兩個且具有某種對稱關系?不等式的基本性質和函數(shù)單調(diào)性之間的有何聯(lián)系等等?？傊?，將教師的“導引”與學生的“感悟”有機結合。循序漸進的理解函數(shù)概念的二重性，促進函數(shù)概念從“過程”向“對象”的轉變。

［1］劉斌．數(shù)學認知結構及其建構［J］．湖北大學學報(自然科學版)，1997，19(3)．

［2］王康．高一數(shù)學函數(shù)抽象性教學研究［D］．山西:山西師范大學，2014．

［3］朱文芳．函數(shù)概念學習的心理分析［J］．數(shù)學教育學報，1999，11，8(4)．

［4］吳慶麟．認知教學心理學［M］．上海:上?？茖W技術出版社，2000:209-233．

［5］周友士．基于建構主義的數(shù)學概念轉變學習［J］．數(shù)學教育學報，2004，8，13(3)．

［責任編輯:陳業(yè)強］

Analysis of the cognitive barriers instudying function for the first grade of senior high

WANG Kang

(Fenyang Teachers’School Branch，Lvliang University，F(xiàn)enyang，Shanxi，032200)

From the perspective of cognitive structural development，this paper analyzes the cognitive barriers in studying function for the first grade of senior high，which include the cognition of the concept of function and knowledge transference．The study suggests that teachers’“guidance”and students’“understanding”should be combined properly in the daily teachingto promote the cognitive structure of function and the dynamic generation of the corresponding schema．

Cognitive structure in mathematics;Function for the first grade ofsenior high students;Cognitive barrier

G633．6

A

1674-7798(2016)09-0082-03

10.13391/j.cnki.issn.1674-7798.2016.09.017

2016-08-29

王 康(1982-)，男，山西芮城人，講師，教育碩士，研究方向:基礎數(shù)學學科教學。