基于LINGO的傳動軸多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)

王俊

（中冶華天工程技術(shù)有限公司，江蘇南京210019）

基于LINGO的傳動軸多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)

王俊

（中冶華天工程技術(shù)有限公司，江蘇南京210019）

本文以移鋼鏈傳動軸為優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)，引入可靠性設(shè)計(jì)原理，建立以傳動軸截面積和外徑最小為目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，利用LINGO軟件編程優(yōu)化，求解目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解。結(jié)果表明，利用LINGO求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，能得到較好的優(yōu)化結(jié)果，算法簡單，數(shù)據(jù)可靠。

LINGO；可靠性；多目標(biāo)優(yōu)化；傳動軸

在機(jī)械設(shè)計(jì)過程中，常規(guī)設(shè)計(jì)經(jīng)常使用的是基于安全系數(shù)的設(shè)計(jì)，而在設(shè)計(jì)中許多物理量是隨機(jī)變量，也就是說在常規(guī)設(shè)計(jì)時，代入的變量只是隨機(jī)變量中的一個樣本值，那么仍然存在不安全、失效的可能性。若在常規(guī)設(shè)計(jì)中引入概率設(shè)計(jì)，這樣將會使設(shè)計(jì)結(jié)果更加符合實(shí)際，并能定量地給出機(jī)械零件或機(jī)構(gòu)不失效的概率，即可靠度。

多目標(biāo)優(yōu)化是現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法中重要部分，可以將多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)延伸到數(shù)學(xué)中的多目標(biāo)規(guī)劃問題上，即將設(shè)計(jì)中的物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，根據(jù)設(shè)計(jì)所追求的性能目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)，選取合適的設(shè)計(jì)變量，在滿足給定的各種約束條件下，尋求最優(yōu)化設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。通常情況下，將多目標(biāo)優(yōu)化根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的重要性進(jìn)行加權(quán)運(yùn)算構(gòu)造一個綜合的評價函數(shù)，即轉(zhuǎn)為單目標(biāo)優(yōu)化來解決問題。本文將通過LINGO軟件包來對傳動軸多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行求解。

1 LINGO模型形式

LINGO是求解運(yùn)籌學(xué)、數(shù)學(xué)建模的常規(guī)軟件，可以快速、有效地求解線性、非線性規(guī)劃模型問題，功能強(qiáng)大，操作簡潔，無需編制大量程序，易輸入，用戶界面良好。使用LINGO軟件求解多目標(biāo)優(yōu)化時，需將多目標(biāo)轉(zhuǎn)為單目標(biāo)問題。LINGO模型同樣是由設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件組成。

其多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)為單目標(biāo)模型基本形式如下：

式中，wi為加權(quán)因子；lb，ub為矢量；F（X），fi（x），gi（x）可為線性函數(shù)，也可為非線性函數(shù)。

2建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

2.1 初始條件

某軋鋼廠精整區(qū)移鋼鏈傳動軸設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。已知參數(shù)為：軸長L為定值，軸的材料選用45#鋼，剪切彈性模量G=81 GPa，許用剪切應(yīng)力[子]＝45 MPa，每米長的允許扭轉(zhuǎn)角為[φ]＝1°/m.軸所傳遞的功率為11 kW，轉(zhuǎn)速為58 r/min，需確定傳動軸可靠度達(dá)到0.999 9時的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)。

圖1 移鋼鏈結(jié)構(gòu)示意圖

2.2 設(shè)計(jì)變量選取

對于傳動軸而言，在長度一定的條件下，傳動軸的體積僅與軸徑有關(guān)，這樣可以采用軸徑作為設(shè)計(jì)變量，即外徑D，內(nèi)徑d，若d=0時，為實(shí)心軸。則：

2.3 目標(biāo)函數(shù)的建立

要建立好目標(biāo)函數(shù)，首先要明確優(yōu)化設(shè)計(jì)的要求，即在滿足可靠度以及其它約束條件的基礎(chǔ)上，使得傳動軸的體積最小，上文提到軸長是定值，那么性能目標(biāo)就應(yīng)調(diào)整為軸的截面積最小，軸的外徑最小。

由上述要求，目標(biāo)函數(shù)可建立如下：

其中：

式中：w1，w2為分目標(biāo)函數(shù)權(quán)重，可根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，分目標(biāo)函數(shù)的重要程度判斷給出。

2.4 約束條件

由于傳動軸只受扭矩，不受彎矩或彎矩很小，可不參與計(jì)算，應(yīng)按照扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度進(jìn)行設(shè)計(jì)。（1）扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件約束按照扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度要求，則：

演算后得：

式中：

τ為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力（MPa）；T為軸所受扭矩（N· mm）；W為軸的抗扭截面系數(shù)（mm3）；[τ]為許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力（MPa）.

（2）扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度可靠性約束

根據(jù)可靠性設(shè)計(jì)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型以及軸需達(dá)到可靠度要求，得出：

通過查正態(tài)分布表得：

式中：τˉ為工作扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力均值（MPa）；στ為工作扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差；[τ]為許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力（MPa）；σ[τ]為許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差。

考慮許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為定值，則σ[τ]＝0.

根據(jù)3σ原則以及軸徑制造公差統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)列出軸徑的標(biāo)準(zhǔn)差：

現(xiàn)需計(jì)算出工作扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力均值及其標(biāo)準(zhǔn)差στ.

抗扭截面系數(shù)：

抗扭截面系數(shù)均值：

抗扭截面系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差：

扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力均值：

扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差：

聯(lián)立式（6），（7），（8），（9），（10），（11）得：

（3）扭轉(zhuǎn)剛度條件約束

軸的扭轉(zhuǎn)變形是用每米長的扭轉(zhuǎn)角來表示，即：

經(jīng)演算后得：

式中：φ為工作扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)角；IP為軸截面的極慣性矩，IP＝π（D4-d4）/32；[φ]為每米允許扭轉(zhuǎn)角；G為軸的材料的剪切彈性模量。

（4）其余約束條件

考慮數(shù)值的非負(fù)性，以及軸的外徑大于內(nèi)徑，即：

綜上所述得出總體的數(shù)學(xué)模型如下：

3優(yōu)化設(shè)計(jì)程序與分析

3.1 LINGO程序編制

根據(jù)數(shù)學(xué)模型編寫LINGO源程序如下：

model：

Title Nonlinear Programing;

data：

weight1=0.4；!定義分目標(biāo)函數(shù)權(quán)重；

weight2=0.6；!定義分目標(biāo)函數(shù)權(quán)重；

enddata

init：

x1=80；!設(shè)置初始值；

x2=0;

endinit

min=weight1*0.78539*（x1^2-x2^2）

+weight2*x1^2；!目標(biāo)函數(shù);

@bnd（0，x1，170）；!定義上下限約束條件；

@bnd（0，x2，100）；

-x1+x2≤0；

-x2≤0；

（9224400*x1/（x1^4-x2^4））-45≤0；

（13050819/（x1^4-x2^4））-1≤0；

216379-（x1^4-x2^4）/x1≤0；

end

通過運(yùn)算得出如下結(jié)果：

Global optimal solution found.

Objective value：3143.708

Objective bound：3143.705

Infeasibiliwties：0.2910383E-10

Extended solver steps：10

Total solver iterations：617

Model Title：Nonlinear Programing

Variable Value Reduced Cost

WEIGHT1 0.400 000 0 0.000 000

WEIGHT2 0.600 000 0 0.000 000

X1 61.495 06 0.000 000

X2 31.579 84 0.000 000

即經(jīng)過617次迭代計(jì)算，找到全局最優(yōu)解，x1=61.495 06，x2=31.579 84；考慮有一側(cè)鍵槽，軸徑增大3%，經(jīng)圓整后得x1=64，x2=32；若采用實(shí)心軸，通過上述程序運(yùn)算得出：x1=60.104 84，x2=0.經(jīng)圓整后得x1=62，x2=0.

3.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果及分析

優(yōu)化前后數(shù)據(jù)對比如表1所示。通過數(shù)據(jù)對比，優(yōu)化后的傳動軸在滿足0.9999的可靠度下，軸徑下降了20%，在軸長定值情況下，重量下降了40%～50%，優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于原設(shè)計(jì)結(jié)果。

4結(jié)束語

優(yōu)化設(shè)計(jì)后的設(shè)計(jì)結(jié)果相對原設(shè)計(jì)，降低了制造加工成本，有一定的經(jīng)濟(jì)效益，如表1所示。

表1 優(yōu)化前后數(shù)據(jù)對比

由于現(xiàn)實(shí)中的設(shè)計(jì)變量大都是隨機(jī)變量，呈現(xiàn)一定的離散性，所以引入可靠性設(shè)計(jì)，能使設(shè)計(jì)結(jié)果更符合實(shí)際，有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

運(yùn)用LINGO模型算法優(yōu)化計(jì)算，操作簡單，易于輸入，設(shè)計(jì)人員不需要編寫大量繁瑣復(fù)雜的算法程序，同樣能得到合理的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)，大大提高了設(shè)計(jì)效率，對設(shè)計(jì)工作具有一定的指導(dǎo)意義。

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[3]謝金星，薛毅.優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[4]張鄂.現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法[M].北京：高等教育出版社，2013.

[5]陳志華，劉世峰，董朝盼.傳動軸多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].煤礦機(jī)械，2014，35（11）：26-28.

MultiObjective Reliability Optim ization Design of Transm ission Shaft Based on LINGO Language

WANG Jun
（Huatian Engineering&Technology Corporation，MCC.Nanjing Jiangsu 210019，China）

This paper takes the transmission shaft ofmoving steel chain as the optimization design objective，and drawing into the reliability design principle，the mathematical model with the objective of minimizing of the sectional area and outer diameter of the transmission shaft is established，and using lingo software programming optimization to solve the optimal solution of the objective function.The result shows that the optimization results can be obtained by using LINGO to solve multi-objective optimization problems，the algorithm is simple and the data is reliable.

TH122

A

1672-545X（2016）12-0017-04

2016-09-29

王?。?984-），男，安徽和縣人，工程師，碩士研究生，研究方向：冶金機(jī)械設(shè)計(jì)與研發(fā)。

Key w rods：LINGO；reliability；multi objective optimization；transmission shaft