楊鎖昌，張寬橋，李寶晨，張凱

(軍械工程學院 導彈工程系，河北 石家莊 050003)

導航、制導與控制

反坦克導彈帶落角約束滑模導引律研究*

楊鎖昌，張寬橋，李寶晨，張凱

(軍械工程學院 導彈工程系，河北 石家莊 050003)

為增大反坦克導彈終端落角，提高戰(zhàn)斗部的毀傷效能，基于終端滑模控制理論，及彈目相對運動模型，選取彈目相對速度偏角作為滑模面，同時引入落角約束項，結合快速冪次趨近律，推導出了一種帶落角約束的滑模導引律。采用有限時間控制理論對導引律的穩(wěn)定性和有限時間收斂特性進行了證明。最后基于彈道仿真，將該導引律與帶落角約束的偏置比例導引律進行了對比仿真分析，結果表明該導引律能夠滿足制導精度和末端落角約束的要求，脫靶量更小，落角控制精度更高，魯棒性更強。

導引律；落角約束；相對速度偏角；有限時間收斂；終端滑?？刂?；快速冪次趨近律

0 引言

反坦克導彈是用于打擊坦克、步兵戰(zhàn)車等裝甲目標的利器，為了提高反坦克導彈的毀傷效能，在確保對目標的精確打擊的情況下，要求彈頭以一定的落角擊中目標，因此，在反坦克導彈末制導律的設計中必須考慮落角約束的問題。

自Kim等人首次在導引律中考慮落角約束問題以來，一些學者基于不同的理論方法提出了許多帶落角約束的導引律，主要包括最優(yōu)導引律、滑模變結構導引律、改進的比例導引律以及其他類型的導引律[1]?；谧顑?yōu)控制理論推導出的最優(yōu)導引律不受性能指標和終端約束條件的限制，在理想情況下制導性能最佳，但依賴于各種假設和簡化，魯棒性較差[2-3]。改進的比例制導律，包括變系數(shù)比例導引律和偏置比例導引律等，結構形式簡單，對測距、測速信息等要求不高，易于工程實現(xiàn)，但對于導引信息準確度要求較高，抗干擾能力差[4-5]。

由于滑模變結構控制在滑動模態(tài)對系統(tǒng)參數(shù)攝動和外界干擾具有不變性，因此，被廣泛用于導引律的設計中。文獻[6]基于滑?？刂评碚摵蚅yapunov穩(wěn)定性理論，提出了一種帶落角約束的滑模變結構導引律，并對抖振現(xiàn)象進行削弱，但只對固定目標進行了仿真分析。

傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄟx取線性滑模面，當系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后會漸進趨近于平衡點，但不能保證有限時間收斂。終端滑?？刂品椒軌驅崿F(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂，且相比傳統(tǒng)滑模控制方法具有更好的收斂性能[7]。文獻[8-11]采用終端滑?？刂评碚撛O計了帶落角約束的滑模導引律，并實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂。上述文獻所設計的滑模導引律均選取彈目視線角速率或者彈目相對運動距離與視線角速率的乘積作為滑模面，但在制導末段，隨著彈目距離的減小視線角速率會急劇增大，進而會產生很大的控制指令。針對這個問題，文獻[12-13]選取彈目相對速度偏角作為滑模面，對導引律進行設計，取得了良好的制導效果，但沒有對落角約束問題進行研究。

本文基于終端滑?？刂品椒ǎx取包含彈目相對速度偏角和落角約束項的滑模面切換函數(shù)，結合快速冪次趨近律，設計了一種帶落角約束的滑模導引律，將目標機動視為有界干擾，采用有限時間控制理論對導引律的有限時間收斂特性進行了證明，并利用飽和函數(shù)法削弱抖振。仿真結果表明所設計導引律在命中精度、落角約束、抖振抑制等方面具有良好的制導性能。

1 問題描述

反坦克導彈的落角約束問題是在縱向平面內分析的，因此，本文僅對俯仰通道進行分析。假設導彈和目標均視為在平面運動的質點，圖1給出了導彈和目標的相對運動關系。

圖1 縱向平面內彈目相對運動關系Fig.1 Missile-target motion model in longitudinal plane

在圖1中，M表示導彈；T表示目標；vm為導彈的速度；θm為導彈的彈道傾角；am為導彈運動的法向加速度；vt為目標的速度；θt為目標的航跡傾角；at為目標運動的法向加速度；r為彈目之間相對距離；q為彈目視線角；vr為彈目相對運動速度，即vr=vm-vt；ar為彈目相對運動的法向加速度；ηr為彈目相對速度偏角，即彈目相對速度方向與彈目視線之間的夾角。規(guī)定所有角度逆時針方向為正，反之為負。

根據(jù)圖1中彈目相對運動幾何關系，可得彈目相對運動方程：

(1)

導彈的終端落角也稱為攻擊角，是制導末端導彈與目標速度矢量之間的夾角。對于具體的落角約束的制導問題，落角約束可以轉化為視線角滿足q(tf)=qd的問題[14]。在制導過程中，當彈目距離較小時，導引頭會進入盲區(qū)，導彈按照慣性飛向目標。設導引頭作用的最小距離為r0，則方程(2)中的時變參量r(t)應滿足r(t) ≥r0。

2 預備知識

為便于下文對導引律有限時間收斂特性的分析和證明，首先對有限時間控制理論進行簡要介紹。

考慮如下非線性系統(tǒng):

(2)

式中：f:U0×R→Rn在U0×R上連續(xù)；U0是原點x=0的一個開鄰域。

引理2[16]對于系統(tǒng)(2)，若存在連續(xù)、正定函數(shù)V(x)滿足

(3)

式中：a,b>0；0<γ<1。

則系統(tǒng)狀態(tài)到達穩(wěn)定點的時間t取決于初值x(0)=x0，且滿足不等式

(4)

3 帶落角約束滑模導引律的設計

3.1 導引律的推導

為增強制導系統(tǒng)的魯棒性，基于滑?？刂评碚搶б蛇M行設計，針對彈目視線角速率在制導末段變化劇烈的問題，同時考慮落角約束，選取如下終端滑模面

(5)

式中：k1>0；0<α<1；qd為期望落角。

由圖1可以看出，q=θr+ηr，若ηr= 0，即q=θr，則彈目相對速度方向和彈目視線方向一致，導彈能夠命中目標，且彈道較為平直。因此，滑模面第1項保證了導彈命中目標的要求，并且能夠獲得較為平直的彈道；滑模面第2項為落角約束項，能夠保證落角約束的要求。

導彈的末制導時間是有限的，因此需要使制導系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內快速趨近于滑模面。系統(tǒng)狀態(tài)快速到達滑模面，導彈就能夠及早的以較為平直的彈道飛行目標，能有效提高制導性能?；谏鲜隹紤]，選取快速冪次趨近律

(6)

式中：k3,k4>0；0<β<1。

由圖1彈目相對運動關系可知

ar=amcos(q-ηr-θm)-atcos(q-ηr-θt)，

(7)

且

(8)

結合式(7)和式(8)可得

(9)

對式(5)進行微分得

(10)

將式(9)代入式(10)，然后結合式(6)可得

(11)

將式(11)整理后可得帶落角約束的導引律

(12)

(13)

式(13)中存在分母項cos(q-ηr-θm)，對其非奇異性進行分析如下：

由圖1可知

vr=vmcos(q-θm-ηr)-vtcos(q-θt-ηr),

(14)

變換后得

vmcos(q-θm-ηr)=vr+vtcos(q-θt-ηr)≥vr-vt.

(15)

彈目交戰(zhàn)的過程中，導彈速度遠大于目標速度，則彈目相對速度要大于目標速度，即vr-vt>0，而vm≠ 0，因此式(12)是非奇異的。

式(13)中還有未知量vr和ηr，其計算過程如下：

由彈目運動方程(1)的第1式和第2式，可得

(16)

對式(16)求解后得

(17)

3.2 穩(wěn)定性和有限時間收斂特性分析

選取Lyapunov函數(shù)：

V=s2,

(18)

對式(18)求導后可得，并將導引律(13)代入得

(19)

由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。引理1可知，導引律(13)是有限時間收斂的，即在有限時間內系統(tǒng)狀態(tài)能夠收斂到滑模面s=0。式(19)可寫為如下形式:

(20)

由引理2可得到系統(tǒng)收斂時間

(21)

導引律(13)中含有符號函數(shù)sgns，會產生抖振現(xiàn)象，采用高增益連續(xù)函數(shù)s/(|s| +δ)代替符號函數(shù)可有效削弱抖振，因此，導引律的形式可變?yōu)?/p>

(22)

式中：δ> 0，為一個較小的數(shù)，一般稱為邊界層厚度或消顫因子[17]。

為方便敘述，將所設計帶落角約束的有限時間收斂終端滑模導引律(finite-time convergent terminal sliding mode guidance law,FCTSM)。

4 仿真分析

為驗證本文所提導引律的有效性，將其引入某型反坦克導彈模型中，進行數(shù)字仿真分析。導彈的落角約束要求是通過縱向彈道方案實現(xiàn)的，橫向彈道方案采用傳統(tǒng)的比例導引律。在慣性坐標系下，選取導彈發(fā)射點為坐標原點，導彈初始位置為(0, 0, 0)m，目標沿Ox軸負方向機動，初始位置為(2 500, 0, 0)m，初始速度為10 m/s。導彈在Ox方向運動至1 000 m時進入末制導段，并設該時刻為仿真開始時間t=0 s。t>0 s時，目標開始做加速運動，加速度為5 m/s2，目標速度達到20 m/s時開始做勻速運動。設定落角約束為-60°。

為更好地分析本文導引律的制導性能，在仿真中還引入了文獻[5]所提帶落角約束的偏置比例導引律(bias proportional navigation guidance law, BPN)

(23)

仿真實驗結果如表1和圖2～5所示。

表1 2種導引律制導效果比較Table 1 Comparisons of guidance performance between two laws

圖2 彈目縱向相對運動軌跡Fig.2 Missile-target longitudinal trajectories

圖3 導彈俯仰角曲線Fig.3 Pitching angle curves of missile

圖4 導彈攻角曲線Fig.4 Attack angle curves of missile

圖5 縱向平面內導彈法向過載曲線Fig.5 Normal overload curves of missile in longitudinal plane

由表1可以看出，在2種導引律作用下，末制導時間差別不大，但FCTSM的脫靶量、落角偏差和末端攻角都明顯小于BPN，并且BPN的脫靶量和落角偏差都較大。因此，可以說明在FCTSM作用下，導彈能夠滿足命中精度和落角約束的要求，并且FCTSM的制導性能要明顯優(yōu)于BPN。

由圖2可以看出，F(xiàn)CTSM的彈道軌跡在制導初段較為彎曲，且彈道高度高于BPN，在制導末端彈道較為平直，這是由于FCTSM能夠使導彈傾角較早的滿足期望落角要求，實現(xiàn)俯仰角在制導段結束前收斂到期望落角。從圖3可以看出，在FCTSM的作用下，導彈俯仰角能夠有效時間內收斂到期望落角。從圖4和圖5可以看出BPN的攻角和過載在末端逐漸增大，這說明導彈在制導末端需要產生大的攻角(過載)用來調節(jié)彈道成形。分析原因主要是BPN隨著剩余飛行時間的減少，期望落角沒有達到期望值，導致導引律中落角約束項急劇增大，使得控制指令增大，使得導彈法向過載逐漸增加。而FCTSM的末端攻角逐漸收斂至零，這是由于FCTSM能夠保證落角有限時間收斂到期望值，使導彈在末制導段結束前達到期望落角，并且由于滑模變結構的不變性，落角在末端基本保持不變，因此，導彈在末端彈道較為平直，大大減小了需用過載。從圖4和圖5中還可以看出，F(xiàn)CTSM對抖振進行了很好的抑制，沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，并且針對機動目標表現(xiàn)出了良好的魯棒性。

綜上所述，對于打擊機動目標，本文所設計的導引律FCTSM，能夠使制導系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內收斂到平衡點，系統(tǒng)沒有抖振，并且其制導性能明顯優(yōu)于BPN，驗證了所設計導引律的有效性和魯棒性。

5 結束語

本文針對反坦克導彈終端落角約束問題，選取終端滑模面，包含相對速度偏角和落角約束項，設計了一種帶落角約束的滑模導引律，對其有限時間收斂特性進行了分析和證明，并對抖振現(xiàn)象進行了削弱，引入導彈模型中進行對比仿真，檢驗了該導引律的有效性和優(yōu)越性。所提導引律制導形式簡單，易于工程實現(xiàn)，不僅可以運用于反坦克導彈，還能用于反艦導彈等制導武器，具有較廣的適用范圍。

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Sliding Mode Guidance Law with Impact AngleConstraint for Antitank Missile

YANG Suo-chang, ZHANG Kuan-qiao, LI Bao-chen, ZHANG Kai

(Ordnance Engineering College, Missile Engineering Department, Hebei Shijiazhuang 050003, China)

To increase the terminal impact angle to enhance the damage efficiency of the warhead, a sliding mode guidance law with impact angle constraint based on terminal sliding mode control theory and missile-to-target motion model is proposed. The guidance law selects relative velocity deflection angle and impact angle constraint as the sliding mode surface, and combines with the fast power reaching law. The stability and finite-time convergent feature of the guidance law is proved with the finite-time control theory. Finally, the law is compared with bias proportional navigation guidance law with impact angle constraint based on trajectory simulation. Simulation results show that the designed guidance law can meet the requirement of guidance precision and terminal impact angel constraint, and has less miss distance, higher impact angle control accuracy, and stronger robustness.

guidance law; impact angle constraint; relative velocity deflection; finite-time convergence; terminal sliding mode control; fast power reaching law

2015-09-10；

2016-04-30

楊鎖昌(1969-)，男，河北定州人。教授，博士，主要研究方向為精確制導理論與技術。

10.3969/j.issn.1009-086x.2016.06.007

TJ761.1+2;TJ765

A

1009-086X(2016)-06-0037-06

通信地址：050003 河北省石家莊市和平西路97號導彈工程系

E-mail：yangsuochang_jx@sina.com