小意外剪出大定義

☉浙江省溫嶺市新河中學(xué) 江慶君 李巧敏

小意外剪出大定義

☉浙江省溫嶺市新河中學(xué) 江慶君 李巧敏

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）指出：提供積極主動(dòng)，勇于探索的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式.這些方式有助于發(fā)揮學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程.在新課程的倡導(dǎo)下，探索、創(chuàng)新逐漸成為教師課堂教學(xué)的重點(diǎn)，有意栽花花不開，無(wú)心插柳柳成蔭，在實(shí)際的課堂教學(xué)中往往有很多的“無(wú)心柳”，善于把握這些課堂中的意外，就會(huì)有意想不到的結(jié)果.

《二面角的平面角》第一課時(shí)，主要探索二面角平面角的定義，而本人在實(shí)際授課的探索過(guò)程中，卻出現(xiàn)了一點(diǎn)小意外，于是將錯(cuò)就錯(cuò)得出大定義.

一、二面角平面角的定義

1.自己動(dòng)手，發(fā)現(xiàn)疑問

師：在學(xué)習(xí)了異面直線所成角、直線和平面所成角之后，那么兩個(gè)平面相交也應(yīng)該有所成角.我拿出事先準(zhǔn)備好的長(zhǎng)方形硬紙板，沿中間線折成如圖1所示.

圖1

結(jié)合實(shí)物給出二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，記作α-l-β.

師：請(qǐng)問各位同學(xué)，二面角可以度量嗎？用什么進(jìn)行度量呢？就像前面曾經(jīng)學(xué)過(guò)的線線角和線面角.

生：既然稱為角，肯定可以度量，我想應(yīng)該轉(zhuǎn)化成平面角來(lái)度量.

對(duì)于一個(gè)確定的二面角，如何找到能度量此角大小的平面角是關(guān)鍵，但同時(shí)要讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)定義的同時(shí)要發(fā)現(xiàn)定義的本質(zhì)，知其然知其所以然.

師：既然二面角有大小也可以用平面角來(lái)度量，那么，請(qǐng)大家拿出教科書，并把它合成30°的二面角.

同學(xué)紛紛拿出書本，大部分同學(xué)基本上能感性的感覺出二面角平面角的初步思維，并比劃這個(gè)30°角，如圖2所示.

圖2

圖3

圖4 某同學(xué)殘缺的書頁(yè)

師：平面角的定義？

學(xué)生：一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所成的幾何圖形.

此時(shí)很多同學(xué)陷入了思考，感覺可望不可及.幾分鐘以后，大部分同學(xué)都能用手指出如圖3所示，接下來(lái)卻發(fā)生了一個(gè)小意外.我發(fā)現(xiàn)中間位置的幾個(gè)學(xué)生在激烈的討論，問其原因，原來(lái)其中的一個(gè)學(xué)生的一頁(yè)書是殘缺的，而他始終認(rèn)為邊緣的這個(gè)角就是二面角如圖4.

于是我就順著學(xué)生的意思，將錯(cuò)就錯(cuò)索性向同學(xué)借來(lái)一把剪刀把剛才硬紙板的二面角剪成如圖5所示的圖形，也殘缺.過(guò)程如下：

圖5

2.相互討論，“剪”出定義

剪掉以后，大部分同學(xué)開始茫然，在沒有給出二面角平面角定義的前提下，如何尋找到這個(gè)角確實(shí)有很大的困難.根據(jù)課后小調(diào)查如下：

贊成反對(duì)認(rèn)為∠AOB100%0認(rèn)為∠AOC40%50%

除了一些人猶豫不決以外，還有多同學(xué)認(rèn)為是∠AOC的.

師：能否用一個(gè)角來(lái)度量二面角的大小，關(guān)鍵在于此角具有唯一性，∠AOC可以嗎?

生甲：顯然不可以，就像直線和平面所成的角一樣，我們所找到的這個(gè)角必須具有唯一性，因?yàn)槲ㄒ徊拍艽_定.如果∠AOC可以，那么再剪一點(diǎn)進(jìn)去的∠AOD也可以的，有∠AOE，∠AOF等等.

生乙：不是∠AOC，因?yàn)檫@個(gè)角的兩邊與棱不成等角，不能唯一確定.

師：那我們能否按如圖6所示的剪？另一個(gè)半平面也剪掉，與棱成等角，如圖6.

圖6

生丙：其實(shí)剪的時(shí)候，等角是前提，我們能不能用剪刀平行地剪下去呢？如圖7.

圖7

師：同學(xué)甲分析得很有道理，要確定和唯一.而乙同學(xué)和丙同學(xué)所剪這只角本質(zhì)是一樣的，只具有確定性，不具有唯一性，那么請(qǐng)同學(xué)再思考一下，有沒有辦法再用剪刀剪出一個(gè)二面角的平面角呢？

生丁：要做到唯一，必須等角；要做到確定，等角須是直角.所以角的兩邊都在兩個(gè)半平面內(nèi)，并且兩條射線都垂直于棱就可以了.故只要剪刀垂直于棱剪下去就可以.

如此一來(lái)，大部分同學(xué)既能理解二面角的平面角的定義，又能作出簡(jiǎn)單二面角的平面角.此外剪刀可以看成一個(gè)平面，二面角的平面角就相當(dāng)于用一個(gè)垂直于棱的平面去截，所得的一個(gè)平面角，并且得到二面角平面角的特征：（1）平面角的兩條射線都在兩個(gè)半平面內(nèi)；（2）都垂直于棱.

二、過(guò)程簡(jiǎn)析，余音繞梁

1.在生活中探索，感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生探索思維

二面角在生活中是常見的，緩慢打開教室的門，門與墻面之間要形成一定的角度，修筑水壩時(shí)，為了使水壩堅(jiān)固耐久，必須使水壩面和水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌鹊?但這些只是初步的感性認(rèn)識(shí)，往往很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為這些問題很簡(jiǎn)單，但經(jīng)過(guò)啟發(fā)暴露問題的同時(shí)也提升了自己的認(rèn)識(shí).所有成功的理念都來(lái)源于最初的感性的想法，數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科，最基礎(chǔ)的往往是最枯燥的.而筆者認(rèn)為，要使學(xué)生獲得在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上持久的動(dòng)力，則必須使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有自信心和興趣.本案例就是從學(xué)生動(dòng)手、探索角度為切入點(diǎn)，使學(xué)生從“要我學(xué)”到“我想學(xué)”，不僅會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，而且“享受數(shù)學(xué)”，不僅學(xué)到了數(shù)學(xué)知識(shí)，而且培養(yǎng)了“數(shù)學(xué)審美”，整節(jié)課都圍繞二面角平面角的定義展開，通過(guò)探索-實(shí)驗(yàn)-再探索-再實(shí)驗(yàn)-得到正確的結(jié)論，學(xué)生完成一個(gè)完整的知識(shí)建構(gòu)過(guò)程.

2.在錯(cuò)誤中探索，在嘗試錯(cuò)誤中前進(jìn)，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展

桑代克是美國(guó)哥倫亞大學(xué)心理學(xué)教授，被認(rèn)為是聯(lián)結(jié)學(xué)派的首創(chuàng)者，他做過(guò)“餓貓開門取食”實(shí)驗(yàn)，餓貓?jiān)诨\里亂咬、亂撞，最后偶然打開門，取得食物.在嘗試過(guò)程中，錯(cuò)誤的反映逐漸減少，正確的反映逐漸增加，最終形成固定的反映.在授課過(guò)程中，學(xué)生的反映很多的時(shí)候是錯(cuò)誤的，比如上文提到的如何剪出二面角以及二面角的唯一性，都有錯(cuò)誤的嘗試，摸著石頭過(guò)河，最終就能到達(dá)對(duì)岸.

在對(duì)二面角平面角定義以后，說(shuō)明定義合理性、唯一性、確定性時(shí).學(xué)生丙提出能否用與棱都成等角的兩條射線定義二面角？如圖8.

圖8

圖9

我們知道根據(jù)等角定理，∠A′OB′是存在也唯一的.但我們用剛才的剪刀去剪出這個(gè)二面角平面角的時(shí)候，我們是定義垂直于棱，根據(jù)剛才的這位同學(xué)的意思，就是剪刀不與棱垂直可以嗎？不行，第一，它與實(shí)際情況不附，如圖9，當(dāng)兩平面垂直時(shí)，φ≠90°，第二，如圖9，我們用剪刀剪出兩個(gè)等角，設(shè)∠A′P′B′=θ，∠A′PB′=φ，A′P′= a，A′P=b，A′B′=x，由余弦定理，得

x2=b2+b2-2b2cosφ=2b2（1-cosφ），x2=a2+a2-2a2cosθ= 2a2·（1-cosθ），所以.在RT△A′PP′，sin=.假設(shè)φ為二面角的平面角，可以知道，兩個(gè)變量之間有一定的聯(lián)系，故如此定義不夠簡(jiǎn)潔，也不夠科學(xué).整個(gè)過(guò)程向?qū)W生充分展示了思維的形成過(guò)程，讓學(xué)生親身體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過(guò)程.通過(guò)數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)：剪紙，而在具體剪的過(guò)程的中有很多錯(cuò)誤的剪法，在很多錯(cuò)誤的剪法中尋找唯一正確的剪法，不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)和實(shí)踐過(guò)程，更大程度上是培養(yǎng)學(xué)生理念、科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度，合作學(xué)習(xí)精神的過(guò)程.通過(guò)“學(xué)”和“做”的整體活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的注意力、意志力.

本節(jié)課在意外的情況下獲得了意外的收獲，但其意義遠(yuǎn)不止于此，對(duì)以后的教學(xué)有著深遠(yuǎn)的影響.學(xué)生的想法永遠(yuǎn)是最初的想法，在“傳道、授業(yè)、解惑”中把握學(xué)生那些意外的最初的想法才能真正把握學(xué)生，讓學(xué)生能成為課堂，以至整個(gè)學(xué)習(xí)的主體，而這也是新課程要求和倡導(dǎo)的.讓學(xué)生去探索，教師自己必須具有創(chuàng)新精神，我們不應(yīng)該將學(xué)生的思維強(qiáng)行引入自己的思維模式，我們啟發(fā)的目的不是求同，著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)過(guò)“中學(xué)教師在課程知識(shí)獲得方面最大的缺陷正是主動(dòng)完成數(shù)學(xué)工作的獨(dú)創(chuàng)性經(jīng)驗(yàn)”.追求探索，不是“胡思亂想”，但應(yīng)該提倡“異想天開”，敢于質(zhì)疑，善于求異，是創(chuàng)新的基本品質(zhì).“我探索，因?yàn)槲抑驹谔剿鳎覄?chuàng)新，因?yàn)槲抑驹趧?chuàng)新”.讓這些意外最終不意外.

1.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2003.

3.鄭毓信.數(shù)學(xué)文化學(xué)［M］.成都：四川教育出版社，2000.

4.羅增儒.數(shù)學(xué)理解的案例分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2003（4）.

5.黃新民.初中數(shù)學(xué)課堂創(chuàng)新教學(xué)理論與實(shí)踐［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2002.

6.朱哲，張維忠.一節(jié)基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)課例：正四棱臺(tái)的體積公式［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004（3）.那么為什么會(huì)出現(xiàn)上述的錯(cuò)解，我們還是要來(lái)分析一下原因，避免下次再犯類似的錯(cuò)誤.對(duì)于基本不等式a+b≥ 2（a>0，b>0），若2為定值記作m，則對(duì)于任意的a>0，b>0，都有a+b≥m且存在a=b時(shí)a+b=m，這時(shí)候我們可以說(shuō)m即2是a+b的最小值，若2不是定值時(shí)，同學(xué)們還認(rèn)為就是在a=b時(shí)取到a+b的最小值2，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤了，雖然a+b≥2（ a>0，b>0）這個(gè)不等式還是存在，但是2現(xiàn)在是一個(gè)不斷變化的量了，所以有可能會(huì)出現(xiàn)比a=b時(shí)更小的a+b.例如：若a=x+1，b=2x，則當(dāng)a=b，即x+1=2x（x=1）時(shí)，a+b=2=4，利用一次函數(shù)的最值我們很容易看出應(yīng)該是當(dāng)x=時(shí)，a+ b=3x+1取到最小值.

設(shè)計(jì)思路：這種錯(cuò)誤也是這類最值問題中比較常見的類型，如果只是讓學(xué)生死記硬背“一正，二定，三相等”，一來(lái)是學(xué)生印象不深，容易忘記，二來(lái)也不夠具有說(shuō)服力，只有從本質(zhì)上指出學(xué)生錯(cuò)誤的根源，即對(duì)最值概念的理解及對(duì)基本不等式的理解不夠透徹，提出來(lái)并解釋清楚才能讓學(xué)生信服并真正理解.

在上述糾錯(cuò)過(guò)程中我們可以發(fā)現(xiàn)，只有基于概念和知識(shí)本質(zhì)去探究“為什么錯(cuò)”，才能抓住問題的本質(zhì)，不只是訓(xùn)練解題的機(jī)器，而是切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生一直受用的方法和能力.

三、思考

最后，筆者談?wù)勛约簩?duì)如何在日常教學(xué)中提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的幾點(diǎn)想法：第一，數(shù)學(xué)素養(yǎng)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著決定性作用，因此，在教學(xué)中關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高至關(guān)重要，執(zhí)行刻不容緩；第二，在數(shù)學(xué)教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一項(xiàng)長(zhǎng)期而系統(tǒng)的工作，不可能一蹴而就；第三，教師努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的前提是需要自身具有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此，教師自己首先需要多學(xué)習(xí)多研究，遇到問題多挖掘其本質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

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