胡祝齊

（江西師大附中）

熟練的解題方法 陌生的方法原理
——從北美數(shù)學(xué)教學(xué)再看數(shù)軸標(biāo)根法原理

胡祝齊

（江西師大附中）

高次不等式是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的重要不等式。在國(guó)內(nèi)中學(xué)里，教師主要介紹了一種簡(jiǎn)單的方法——數(shù)軸標(biāo)根法。這種方法簡(jiǎn)單且實(shí)用。筆者現(xiàn)在中美實(shí)驗(yàn)班教微積分預(yù)備，涉及多項(xiàng)式函數(shù)的教學(xué)和圖形計(jì)算器的使用。筆者將從多項(xiàng)式函數(shù)的角度來(lái)重新闡釋數(shù)軸標(biāo)根法，將原理剖析清楚。

一、方法回顧

對(duì)高次多項(xiàng)式不等式：a0xn+a1xn-1+a2xn-2+……+an＞0。

第一步，先將x最高次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，再通過(guò)因式分解將其分解成一次因式和不可再分解的二次因式的乘積，相同的一次因式寫(xiě)成冪指數(shù)的因式。

第二步，將其對(duì)應(yīng)方程的根在數(shù)軸上標(biāo)出來(lái)。

第三步，從右向左從上到下依次穿線，穿線時(shí)，遇到奇重根時(shí)，在其對(duì)應(yīng)的根處穿過(guò)，遇到偶重根時(shí)，在其對(duì)應(yīng)的根處，不穿過(guò)。

第四步，線在x軸上方部分對(duì)應(yīng)函數(shù)在這些區(qū)間值為正數(shù)，故是大于零不等式對(duì)應(yīng)的解，線下部分同理，從而找出原不等式的解集。

二、逐步釋疑

1.為何先將最高次項(xiàng)化為正數(shù)？一定要從右向左從上到下依次穿線嗎？

答：這兩個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是有內(nèi)在聯(lián)系的。我們以y=x4-3x3-2x+ 1為例。當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)值應(yīng)該趨近于正無(wú)窮。從函數(shù)圖像的角度，應(yīng)該是越來(lái)越向上的。所以當(dāng)我們從右邊向左邊穿時(shí)，應(yīng)該從上到下穿。

反之，例如y=-3x3-2x+3，當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)值趨向于負(fù)無(wú)窮。從函數(shù)圖像的角度，圖像走勢(shì)是向下走的。所以當(dāng)我們從右向左邊穿時(shí)，應(yīng)該從下到上穿。

在國(guó)內(nèi)教學(xué)中，教師為了方便識(shí)記，將兩種情況合成一種，方便記憶。

2.穿線時(shí)，為什么奇穿偶折？

答：我們可以用冪函數(shù)來(lái)看這個(gè)問(wèn)題。我們知道冪函數(shù)是奇次時(shí)，函數(shù)穿過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)冪函數(shù)是偶數(shù)時(shí)，函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱。對(duì)于任意一個(gè)高次函數(shù)，例如y=（x-3）（x+2）2（x-4）在x=-2這個(gè)點(diǎn)附近，我們?nèi)∵@個(gè)點(diǎn)附近很小的一個(gè)鄰域，在這個(gè)范圍內(nèi)，函數(shù)可以近似看成y=（x+2）2，此時(shí)函數(shù)是關(guān)于x=-2對(duì)稱，且不會(huì)穿過(guò)坐標(biāo)軸，所以偶次折回來(lái)。同理，奇次也可得到相應(yīng)的結(jié)論。

3.為什么線在x軸上方部分對(duì)應(yīng)不等式在這些區(qū)間值為正數(shù)？

答：數(shù)軸標(biāo)根法的線，實(shí)際上是多項(xiàng)式函數(shù)的一種簡(jiǎn)單的圖像，這根線僅表達(dá)出了高次不等式對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式函數(shù)的零點(diǎn)和在零點(diǎn)附近的取值情況，忽略了函數(shù)的極大值、極小值等其他性質(zhì)。根據(jù)函數(shù)圖像，在x軸上方部分即為函數(shù)值大于零的相應(yīng)圖像。

綜上所述，從多項(xiàng)式函數(shù)的角度闡釋數(shù)軸標(biāo)根法，更加清晰易懂。這樣我們不僅教授學(xué)生方法與口訣，更告訴了方法背后的原理，從而將陌生的原理變?yōu)槭煜さ脑?。即使學(xué)生忘記了數(shù)軸標(biāo)根法的步驟，他們也能從多項(xiàng)式函數(shù)很快推倒出來(lái)。

·編輯 孫玲娟