張婧馨

(哈爾濱市第九中學，哈爾濱 150040)

斐波那契數(shù)列在優(yōu)化計算中的應(yīng)用

張婧馨

(哈爾濱市第九中學，哈爾濱 150040)

簡要分析了斐波那契數(shù)列的定義及特點，結(jié)合極值與導數(shù)初步的概念。基于初等數(shù)學理論，從優(yōu)化角度出發(fā)，設(shè)計一類能解決實際優(yōu)化問題中極值求解的的高效可行方法，此方法可以推廣求解相應(yīng)的多維非線性問題。

斐波那契數(shù)列；優(yōu)化算法；極小值；極限與導數(shù)

1 斐波那契數(shù)列定義

1202年，意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契(Leonardo Fibonacci，1170-1240)撰寫了《珠算原理》(Liber Abacci) 。書中他以兔子繁殖為例，引入一個數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21……這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和，即：

a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3)，

2 斐波那契數(shù)列的性質(zhì)

隨后的幾個世紀里，人們不斷研究這個數(shù)列，又發(fā)現(xiàn)了許多奇特的性質(zhì)，如：

A．fm+n=fn-1fm+fnfm+1。

D．fn/fn+1是一個連分數(shù)。

F．1884年法國數(shù)學家拉姆開辟了應(yīng)用斐波那契數(shù)列作為有力工具的先河，他用斐波那契數(shù)列證明了：應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法的步數(shù)不大于較小的那個數(shù)的位數(shù)的5倍。

實際上斐波那契數(shù)列還有很多重要性質(zhì)，這些性質(zhì)不僅在幾何、代數(shù)、概率等數(shù)學研究領(lǐng)域有重要的應(yīng)用，而且在很多實際問題中也有涉及，如：植物生長方式、動物行為和鋼琴鍵盤設(shè)計等。

3 斐波那契數(shù)列與優(yōu)化方法

一維搜索是求一元函數(shù)在某區(qū)間上的極值點的方法。斐波那契搜索法的一維搜索過程是建立在一個被稱為斐波那契數(shù)列的基礎(chǔ)上進行的。從理論上來說，斐波那契法的精度比黃金分割法要高。這類方法不僅有實用價值，而且是多維最優(yōu)化方法的一個基礎(chǔ)。設(shè)f是定義在閉區(qū)間[a,b]上具有一個極值點x*的一元實函數(shù)，如圖。

圖1 搜索過程示意圖Fig.1 Search process diagram

(1)

(2)

例1：用斐波那契搜索法求函數(shù)f(t)=t2-6t+2的近似極小點和極小值，要求縮短后的區(qū)間不大于區(qū)間[0，10]的0.05倍。

4 實際問題計算中的應(yīng)用

在現(xiàn)實生產(chǎn)生活中，有很多問題的解決可以轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的極大極小值。例如，如何投入資本使得收益最大，如何設(shè)計產(chǎn)品使得成本最小及如何分配產(chǎn)品銷售和倉儲才能獲得最大利潤等。以一個實際問題說明斐波那契數(shù)列在優(yōu)化計算中的應(yīng)用。

例2：工業(yè)項目建設(shè)污染排放要進行嚴格控制，一般要求對污染測定與污染源的距離至少要2km，在污染源相對集中的情況下，空氣受污染水平與排污量成正比，與到污染源的距離成反比，工廠A與B相距20km，分別釋放的污染為85μg/mL與300μg/mL，若想在A，B間建造一個居民小區(qū)，試問居民小區(qū)建在何處所受污染最??？

通過matlab編寫程序計算得到：x=6.9476，此時最大污染值為35.2178μg/mL。

因此，居民區(qū)建在離工廠A6.9476km處所受污染最小。

例子是函數(shù)極值問題在實際中的應(yīng)用，實際上極值問題在經(jīng)濟生活及工程技術(shù)等方面應(yīng)用廣泛，但如何求得函數(shù)極值是解決上述問題的關(guān)鍵。這里從斐波那契數(shù)列出發(fā)，為進一步融合極值的概念，在初等數(shù)學的基礎(chǔ)上研究了一種可以解決一大類實際問題的搜索方法。

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Theapplication of Fibonacci sequence in optimization algorithm

ZHANG Jing-xin

(The No.9 Middle School of Harbin, Harbin 150040, China)

Combining the concepts of extremum and derivative, the definition and characteristics of Fibonacci sequence are briefly analyzed. Based on the theory of elementary mathematics, an efficient and feasible method to solve the extremum in practical optimization problem is designed from the viewpoint of optimizing. This method can be used to solve the multidimensional nonlinear problem.

Fibonacci sequence; Optimization algorithm; Minimal value; Limit and derivative

2016-09-15

張婧馨(1999-)，女，學生。

G642

A

1674-8646(2016)23-0020-03