多射擊模式下防御效率分析與計(jì)算

李龍躍， 劉付顯， 趙慧珍

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 陜西 西安 710051)

多射擊模式下防御效率分析與計(jì)算

李龍躍， 劉付顯， 趙慧珍

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 陜西 西安 710051)

針對(duì)紅方(防御方)防御藍(lán)方(進(jìn)攻方)目標(biāo)的射擊戰(zhàn)斗過(guò)程，研究了多射擊模式下紅方射彈分配和防御效率計(jì)算方法。首先，在“射擊—射擊”策略下，基于給定的射彈數(shù)和目標(biāo)數(shù)，給出了紅方獲得最大防御效率時(shí)射彈分配方法；其次，在“齊射—觀察—齊射”策略下，考慮射擊次數(shù)和齊射彈數(shù)等因素，給出了紅方多次射擊防御效率迭代遞推生成方法；最后，通過(guò)實(shí)例分析對(duì)射彈分配和防御效率計(jì)算方法進(jìn)行了驗(yàn)證，并對(duì)內(nèi)含規(guī)律進(jìn)行了討論。

射擊模式；齊射—觀察—齊射；防御效率；生成函數(shù)

很多軍事作戰(zhàn)問(wèn)題可以抽象為紅方(防御方)防御藍(lán)方(進(jìn)攻方)的射擊戰(zhàn)斗問(wèn)題，如：地空導(dǎo)彈射擊空氣動(dòng)力目標(biāo)或彈道目標(biāo)的防空戰(zhàn)斗過(guò)程，或高炮對(duì)空射擊、陸軍坦克交戰(zhàn)和水面艦艇編隊(duì)防空等類似的防御性對(duì)抗過(guò)程[1-2]。防御效率可以理解為紅方對(duì)達(dá)成防御戰(zhàn)斗目標(biāo)程度的度量，與單發(fā)殺傷概率、可射擊次數(shù)和藍(lán)紅方攻防實(shí)力等因素密切相關(guān)。射擊模式直接影響防御效率，本文設(shè)定射擊模式包括2層內(nèi)容：一是單次射擊攔截彈數(shù)量，如對(duì)目標(biāo)進(jìn)行單發(fā)射擊或多發(fā)齊射；二是射擊策略，如選擇采用“射擊—射擊”策略或“射擊—觀察—射擊”策略。由于不同射擊模式對(duì)紅方防御效率有較大影響，因此研究射擊策略、射彈數(shù)量、殺傷概率、射擊次數(shù)、目標(biāo)類型等與防御效率之間的內(nèi)在影響規(guī)律至關(guān)重要。文獻(xiàn)[3-9]作者等對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了研究，但這些研究將“射擊—射擊”策略或“射擊—觀察—射擊”策略分開，且以單因素研究為主，對(duì)“齊射—觀察—齊射”策略的研究不充分。針對(duì)以往研究的局限性，筆者在多種射擊模式下研究紅方射彈分配和防御效率計(jì)算方法，旨在為一類藍(lán)紅射擊對(duì)抗問(wèn)題在射擊模式選擇和防御效率計(jì)算上提供借鑒。

1 “射擊—射擊”策略

在“射擊—射擊”策略下，假設(shè)紅方共有N枚射彈，若藍(lán)方目標(biāo)之間無(wú)差別，令紅方單發(fā)殺傷概率為p，則防御效率(EffectivenessofDefense,ED)E=1-(1-p)N。若藍(lán)方目標(biāo)共有k種類型，紅方對(duì)第i種類型藍(lán)方目標(biāo)的單發(fā)殺傷概率為pi(i=1,2,…,k)，則ED可記為

(1)

(2)

式(2)兩邊求微分后，得到

以射擊3類藍(lán)方目標(biāo)(k=3)為例，可得到以下方程：

-ln(1-p1)(1-p1)n1[1-(1-p1)n1]-1E=λ。

(3)

-ln(1-p2)(1-p2)n2[1-(1-p2)n2]-1E=λ，

(4)

-ln(1-p3)(1-p3)n3[1-(1-p3)n3]-1E=λ。

(5)

式(3)除以(4)得到

(6)

解式(6)可得

推廣可得[10]

(7)

其中i=2,3,…,k-1。由式(7)可以看出：在已知?dú)怕实那闆r下，只需要確定n1便可以計(jì)算得出ni。

式(5)可以寫成

-ln(1-p3)(1-p3)N-n1-n2[1-(1-p3)N-n1-n2]-1E=λ，

(8)

式(3)除以式(8)可得

F(n1)=ln(1-p1)(1-p1)n1[1-(1-p3)N-n1-n2]-

ln(1-p3)(1-p3)N-n1-n2[1-(1-p1)n1]=0，

(9)

式(9)中n2可以通過(guò)式(7)求得，因此式(9)中的未知量只有n1，由此可以解出n1。將式(9)進(jìn)行推廣得到

F(n1)=ln(1-p1)(1-p1)n1[1-(1-pk)N-n1-n2-…-nk-1]-

ln(1-pk)(1-pk)N-n1-n2-…-nk-1[1-(1-p1)n1]=0，

當(dāng)00時(shí),有

(10)

由式(10)可見：0

2 “齊射—觀察—齊射”策略

將對(duì)t個(gè)目標(biāo)進(jìn)行i次射擊后，i個(gè)目標(biāo)突防成功的概率表示為

(11)

(12)

為求得“齊射—觀察—齊射”策略下的最大ED，根據(jù)遞推關(guān)系建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型：

(13)

式中：i=0,1,…,n，邊界條件為

E(n,t=0,s)=1，

(14)

(15)

由式(14)、(15)可見：若藍(lán)方目標(biāo)數(shù)量為0，則紅方ED為100%；若藍(lán)方目標(biāo)數(shù)量不為0，但射擊次數(shù)為0，則紅方ED為0。式(12)中的γ為變量，為方便研究，假定“齊射—觀察—齊射”策略下的γ是定值，即紅方每次對(duì)目標(biāo)齊射的射彈數(shù)γsalvo是一定的，則有nsalvoγsalvo=N,其中γsalvo≥0，nsalvo為可齊射的次數(shù)。定義剩余s次射擊機(jī)會(huì)、射擊t個(gè)目標(biāo)的殺傷成功概率分布P(0≤x≤t)可由遞推生成函數(shù)

Gs(nsalvo,t)=

(16)

表示，式中：1次齊射的失敗概率qsalvo=(1-p)γsalvo，成功概率psalvo=1-(1-p)γsalvo；

剩余射擊次數(shù)的遞歸算子定義為

如果用P(x=j)表示殺傷j個(gè)目標(biāo)的概率，則有

射擊機(jī)會(huì)只有1次(s=1)時(shí)，根據(jù)式(16)有

G1(nsalvo,t)=(qsalvo+psalvo)min(nsalvo,t)；

(17)

射擊機(jī)會(huì)有2次(s=2)且nsalvo>t時(shí)，第2次齊射的生成函數(shù)為

b(t,qsalvo)(α1)；

(18)

(19)

式中：α1、α2分別為第1、2次射擊后突防成功的目標(biāo)數(shù)量。由此可以推廣射擊機(jī)會(huì)有s次且nsalvo>t時(shí)，第s次齊射的生成函數(shù)為

psalvo)βs-1b(βs-2,qsalvo)(αs-1)，

(20)

式中：β0=t

(21)

式中：cij為相應(yīng)的多項(xiàng)式系數(shù)。

3 實(shí)例仿真

紅方共有6枚射彈，藍(lán)方來(lái)襲目標(biāo)共有2個(gè)，紅方對(duì)2個(gè)目標(biāo)的殺傷概率分別為0.6和0.4。在“射擊—射擊”策略下，圖1為ED隨射擊目標(biāo)1的攔截彈數(shù)量的變化曲線，可以看出：在n1=2.55時(shí)ED最大，且僅有一個(gè)最大值，取整后結(jié)果為向2個(gè)目標(biāo)分別射擊3枚彈。圖2為F(n1)隨射擊目標(biāo)1的攔截彈數(shù)量的變化曲線，可以看出：F(n1)為單調(diào)遞增函數(shù)，在n1=2.55時(shí)F(n1)=0。可見：圖1、2求得的n1結(jié)果一致，驗(yàn)證了采用第1節(jié)方法求解n1的魯棒性。

圖1 ED隨射擊目標(biāo)1的攔截彈數(shù)量的變化曲線

圖2 F(n1)隨射擊目標(biāo)1的攔截彈數(shù)量的變化曲線

在“齊射—觀察—齊射”策略下，當(dāng)目標(biāo)無(wú)差別時(shí)，假設(shè)藍(lán)方目標(biāo)有3個(gè)，紅方最多有6次齊射機(jī)會(huì)，即nsalvo=6，紅方剩余可射擊次數(shù)s=3。圖3為在“齊射—觀察—齊射”策略下，紅方單發(fā)殺傷概率、齊射次數(shù)、齊射彈數(shù)和防御效率之間的關(guān)系仿真結(jié)果。

圖3 “齊射—觀察—齊射”策略下仿真結(jié)果

從圖1-3可以看出：在紅方有多次射擊機(jī)會(huì)的前提下，“射擊—觀察—射擊”策略優(yōu)于“射擊—射擊”策略；在“射擊—觀察—射擊”策略下，選擇多次、多發(fā)齊射能有效提高防御效率。原因在于：如果給定紅方射彈數(shù)和藍(lán)方目標(biāo)數(shù)，選擇“射擊—射擊”策略時(shí)，紅方防御效率是凹函數(shù)[10]，具有一個(gè)極大值，可直接根據(jù)二分法求出射彈的分配方案；選擇“齊射—觀察—齊射”策略時(shí)，紅方的防御效率隨著射擊次數(shù)和齊射彈數(shù)的增加而單調(diào)遞增。

4 結(jié)論

在多種射擊模式下，筆者基于數(shù)學(xué)歸納法給出了“射擊—射擊”策略下紅方射彈分配方法和“齊射—觀察—齊射”策略下紅方防御效率的迭代遞推計(jì)算方法，結(jié)果表明：上述方法能輔助理解類似問(wèn)題中射擊策略、射彈數(shù)量、殺傷概率、射擊次數(shù)等與防御效率之間的關(guān)系，且計(jì)算簡(jiǎn)單、結(jié)果可靠，具有工程應(yīng)用推廣價(jià)值。然而，紅方齊射彈數(shù)和射擊次數(shù)不能無(wú)限增加，下一步將結(jié)合成本、資源等因素研究紅方射擊模式優(yōu)化問(wèn)題。

[1] 李龍躍, 劉付顯, 趙麟鋒. 對(duì)多波次目標(biāo)直接分配到彈的反導(dǎo)火力規(guī)劃方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2014, 36(11): 2206-2211.

[2] 李龍躍, 劉付顯, 梅穎穎. 末段反TBM火力-目標(biāo)匹配優(yōu)化及APSO求解算法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2013, 35(5): 993-999.

[3] Soland R M. Optimal Terminal Defence Tactics when Several Sequential Engagements are Possible [J]. Operations Research, 1987, 35(4): 537-542.

[4] Huma N, Asif M. An Optimal Dynamic Threat Evaluation and Weapon Scheduling Technique [J]. Knowledge-based Systems, 2010, 23: 337-342.

[5] Glazebrook K, Washburn A. Shoot-Look-Shoot: A Review and Extension [J]. Operations Research, 2004, 52(3): 454-463.

[6] 李龍躍, 劉付顯, 田振浩, 等. 雙層反導(dǎo)協(xié)同模式分析與距離度量?jī)?yōu)選法[J]. 裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報(bào), 2016, 30(4): 57-61.

[7] Aviv Y, Kress M. Evaluation the Effectiveness of Shoot-Look-Shoot Tactics in the Presence of Incomplete Damage Information [J]. Military Operations Research, 1997, 3(1): 78-89.

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[9] Armstrong M J. The Salvo Combat Model with Area Fire [J]. Naval Research Logistics, 2013, 60(8): 652-660.

[10] Nguyen B, Miah S. Analysis of Maritime Air Defence Scenarios[R]. Ottawa: Defence Research and Development Canada, 2014.

(責(zé)任編輯：尚彩娟)

Analysis and Calculation of Defense Efficiency in Multiple Shooting Mode

LI Long-yue, LIU Fu-xian, ZHAO Hui-zhen

(Air and Missile Defense College, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

Considering the shooting process of the red (defensive side) shooting the blue (offensive side), a calculation method of interceptor allocation and Effectiveness of Defense (ED) in multishooting mode is proposed. Firstly, for shoot-shoot strategy, the interceptors’allocation method to gain maximum effectiveness of defense is proposed under given number of red interceptors and blue targets. Secondly, for salvo-look-salvo strategy, in consideration of the factors such as shooting times and salvo size, the iterative recursive generation method is given for multi shooting ED of the red. The simulation examples are carried out to verify the method of interceptor allocation and ED, and the inherent law is discussed.

shooting mode; salvo-look-salvo; effectiveness of defense; generating function

1672-1497(2016)05-0050-04

2016-07-18

全軍軍事類研究生課題

李龍躍(1988-)，男，博士研究生。

E83

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2016.05.010