洪汪寶

證明數(shù)列型不等式是近年來(lái)各地高考真題和模擬題中的常見(jiàn)題型，因其方法靈活多變，技巧性強(qiáng)，具有一定難度和區(qū)分度，所以備受命題者的青睞.本文通過(guò)歸納總結(jié)數(shù)列型不等式的常見(jiàn)題型和解法，希望能拋磚引玉，啟迪同學(xué)們的思維.

直接求和型

如果所給和式能直接求和，則先求和再根據(jù)和式的結(jié)果特點(diǎn)進(jìn)行放縮.

招數(shù)：直接求和后放縮

由條件可知該數(shù)列是等比數(shù)列，可直接利用等

【方法點(diǎn)津】所給數(shù)列是等比數(shù)列，直接利用等比數(shù)列的求和公式先求和再進(jìn)行放縮.

先放縮后求和型

所給式子不能直接求和，但是可以利用所給式子的特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使其能求和，從而得到所證不等式.

招數(shù)一：借助均值不等式放縮

【方法點(diǎn)津】本題借助均值不等式把不能直接求和的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列從而得證.注意均值不等式成立時(shí)需滿(mǎn)足的條件，本題取不到等號(hào).

招數(shù)二：借助放縮后裂項(xiàng)相消

【方法點(diǎn)津】所給和式不能直接求和，可以縮小其分母使其值變大，再利用裂項(xiàng)相消可達(dá)到目的.若n≥2時(shí)，招數(shù)三：借助放縮后有理化

【方法點(diǎn)津】所給和式的左邊不能求和，共有n項(xiàng)，而右邊只有兩項(xiàng)，將分母放大，從而分母有理化達(dá)到相互抵消招數(shù)四：借助放縮成等比數(shù)列

【方法點(diǎn)津】因通項(xiàng)公式中減去1/2導(dǎo)致不能直接求和，于是考慮將其去掉，放大為等比數(shù)列，從而可求和.招數(shù)五：借助二項(xiàng)式定理放縮

【方法點(diǎn)津】對(duì)于冪的形式，借助二項(xiàng)式定理展開(kāi)，去掉某些項(xiàng)，或者將各項(xiàng)進(jìn)行變形，從而能得到所求.招數(shù)六：借助糖水不等式放縮不可約分轉(zhuǎn)化為可約分.注意前提是真分?jǐn)?shù)，真分?jǐn)?shù)的分子分母加上同一個(gè)正數(shù)后，值會(huì)變大，招數(shù)七：借助函數(shù)不等式放縮

【方法點(diǎn)津】找到需要的函數(shù)不等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在，而利用參數(shù)范圍的端點(diǎn)值往往又是破題的關(guān)鍵，

先構(gòu)造后求和型

構(gòu)造法是證明數(shù)列型不等式的又一把利器，有時(shí)可以考慮構(gòu)造新數(shù)列，研究其單調(diào)性；有時(shí)可以考慮構(gòu)造加強(qiáng)不等式來(lái)達(dá)到證明的目的.

招數(shù)一：構(gòu)造新數(shù)列

【方法點(diǎn)津】先構(gòu)造新數(shù)列，通過(guò)作差或者作商找出新數(shù)列的單調(diào)性.其中構(gòu)造新數(shù)列是難點(diǎn)所在.招數(shù)二：構(gòu)造加強(qiáng)不等式

例10 同例5.

綜上所述，原不等式成立.

【方法點(diǎn)津】這種證法的巧妙之處是對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s后并不能對(duì)其直接求和，而用整體代換得到要證不

數(shù)學(xué)歸納法求和型

數(shù)學(xué)歸納法是證明數(shù)列型不等式優(yōu)先考慮的方法，因其具有固定的模式而顯得比較簡(jiǎn)單.

招數(shù)：借助數(shù)學(xué)歸納法

例11 同例9.

【方法點(diǎn)津】證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題時(shí)不要忘記數(shù)學(xué)歸納法這把利器，數(shù)學(xué)歸納法實(shí)現(xiàn)了利用有限證明無(wú)限，一定要驗(yàn)證初始值，再利用歸納假設(shè)實(shí)現(xiàn)歸納遞推.