侯英

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州貴陽550025）

本科教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)

侯英

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州貴陽550025）

學(xué)生數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)是提高本科數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵，關(guān)系到學(xué)生對知識的掌握和運(yùn)用。文章根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，從知識的遷移和運(yùn)用、多角度探討公式定理、自主探索與合作交流及優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)四個(gè)方面分析如何建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。

數(shù)學(xué)知識；知識的建構(gòu)；遷移；自主探索：合作交流

建構(gòu)主義認(rèn)為，新知識的學(xué)習(xí)是以已有知識經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的一個(gè)主動(dòng)意義的建構(gòu)過程。［1］是學(xué)習(xí)者通過自身原有的知識經(jīng)驗(yàn)與外界環(huán)境進(jìn)行交互活動(dòng)的獲取新知識的過程。本科數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)是基于學(xué)生已有知識及生活經(jīng)驗(yàn)，通過模仿、對比、反思等方式，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中將新知識內(nèi)化為其自身的知識。

數(shù)學(xué)是最具探索性的學(xué)科之一，如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，掌握數(shù)學(xué)的思維方法是很多教師一直思考的問題。在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往按照大綱的要求講解新知識，通過課堂上的例題介紹基本的解題方法，學(xué)生模仿所學(xué)的內(nèi)容記憶和練習(xí)。這種方法產(chǎn)生的結(jié)果是：學(xué)生把應(yīng)用非常靈活的數(shù)學(xué)知識學(xué)成了只會死記硬背照抄照搬的內(nèi)容，遇到?jīng)]見過的問題不知如何分析解決，變得束手無策。

為了改變教學(xué)中不利于學(xué)生思維發(fā)展的教學(xué)模式，現(xiàn)在越來越多的學(xué)校在探索新的教學(xué)方式，想方設(shè)法提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。具體就是教師“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會，幫助他們在自主探索與合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！保?］如何讓學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)知識和技能，是研究學(xué)生數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的關(guān)鍵。文章就教學(xué)改革中所進(jìn)行的思考和探索對學(xué)生數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)談幾點(diǎn)想法。

一、通過對知識的遷移和運(yùn)用構(gòu)建新知識

遷移就是學(xué)生把在一個(gè)情境中學(xué)到的知識運(yùn)用到新的情境中的能力。本科數(shù)學(xué)的內(nèi)容往往以原有數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，知識點(diǎn)之間聯(lián)系密切，如何利用原有知識促進(jìn)新知識的學(xué)習(xí)，是教師在課程設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)考慮的問題。首先，教師要了解學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，根據(jù)實(shí)際情況確定課程引入所選實(shí)例的難易程度，要保證學(xué)生熟悉所涉及的知識點(diǎn)，以此引出新的內(nèi)容才能做到水到渠成。如，線性代數(shù)中關(guān)于矩陣的初等變換的內(nèi)容，可以讓學(xué)生先回憶行列式的性質(zhì)及計(jì)算方法，學(xué)生對此比較了解，然后再介紹矩陣初等變換的三種形式，借助于知識之間的共性將已學(xué)方法遷移到后續(xù)課程中，形成矩陣初等變換的計(jì)算方法。其次，在對知識的運(yùn)用中建構(gòu)新知識。比如在學(xué)習(xí)正態(tài)分布這節(jié)內(nèi)容時(shí)，教材中給出引理：若N（0，1）。那么這個(gè)結(jié)論有什么用途，我們可以通過下面的練習(xí)加以說明。

練習(xí)：某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績分布近似于正態(tài)分布N（72，σ2），96分以上的占考生總數(shù)的2.3％，求考生的外語成績在60-84分之間的概率。

分析：由題意得P｛X＞96｝=2.3％，即P｛X≤96｝=0.977。這時(shí)就需要用引理將X先化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，再進(jìn)一步通過查表求值。

學(xué)生在做題的過程中會發(fā)現(xiàn)，這個(gè)引理實(shí)際上是解有關(guān)正態(tài)分布問題時(shí)常用的方法，思路就是將一般的正態(tài)分布問題化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布去解決。教學(xué)中，只有將所學(xué)的公式、定理等用于實(shí)際問題，學(xué)生才能真正抓住數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性，形成個(gè)人知識。

二、發(fā)揮學(xué)生的想象力，多角度探討公式定理

對數(shù)學(xué)知識的掌握不僅需要記公式定理，更要深刻理解定義、定理、公式的含義，抓住其內(nèi)在本質(zhì)。教學(xué)中，教師要提倡在理解的前提下記憶，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言說明定義和定理的含義，真正把所學(xué)概念構(gòu)建成自身的知識。比如記可逆矩陣的定理，可以讓學(xué)生自己寫一個(gè)可逆矩陣，并說明為什么是可逆矩陣。這樣比背矩陣可逆的充要條件是其行列式不等于零效果好。由于數(shù)學(xué)公式的運(yùn)用靈活性非常大，而學(xué)生習(xí)慣于照著教材中的形式來記憶，因此教師在設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度將所學(xué)公式進(jìn)行一些變形。如由矩陣A的逆矩陣的公式就可以得到，在此基礎(chǔ)上求：“已知A為三階矩陣，|A|=2，求|（3A）-1-2A*|的值是多少？”這樣的題目就不會感到太難。而對于象微分公式d（ex）= exdx，如果讓學(xué)生從左到右和由右到左兩個(gè)方向記，不僅使學(xué)生會求微分，還能使他們?nèi)菀桌斫夂竺鎸W(xué)習(xí)不定積分這章的湊微分法求有關(guān)積分的一些問題。所以如果學(xué)生對定理、公式運(yùn)用得靈活，就能很大程度上提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。教學(xué)中要逐步培養(yǎng)學(xué)生深入研究定理、公式含義的習(xí)慣，教師可以適當(dāng)拓展教材上的內(nèi)容，豐富知識點(diǎn)；也可通過習(xí)題讓學(xué)生進(jìn)一步理解定理的條件和結(jié)論所表達(dá)的意思。如概率中的獨(dú)立同分布中心極限定理，學(xué)生對此定理的內(nèi)容理解起來感覺困難，如果給出問題：某種電器元件的壽命服從均值為100h的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命總和大于1920h的概率。［3］首先，讓學(xué)生分析題目中的條件是否滿足定理的要求。這16只元件的壽命Xi（i=1，2，…，16）是相互獨(dú)立的，且都服從指數(shù)分布，屬于獨(dú)立同分布。由均值為100h，可得E（xi）=100，D（xi）= 10000。其次，分析：如果滿足定理?xiàng)l件應(yīng)該用什么方法去解決。由定理的結(jié)論）為其極限分布，即轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布來處理。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)會幫助學(xué)生真正理解定理所給的結(jié)論和蘊(yùn)含的解決問題的方法，促進(jìn)新知識的建構(gòu)。

三、在自主探索與合作交流中建構(gòu)知識

本科學(xué)生已經(jīng)具備了一定的學(xué)習(xí)能力，教師在課堂上要充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，對每個(gè)知識點(diǎn)以探索問題的方式引出所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，自始至終引導(dǎo)學(xué)生自主探索，調(diào)動(dòng)他們的積極性，盡量讓學(xué)生自己動(dòng)腦去思考。即使他們的思路、方法不完全正確，也可使之從中吸取經(jīng)驗(yàn)。在自主探索過程中，不同的學(xué)生由于各自的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、思考問題的角度不同，所取得的效果也會存在差異。因此，學(xué)生之間進(jìn)行合作交流是非常必要的。學(xué)生單獨(dú)無法解決的問題，通過合作交流，綜合不同的想法，對原有的思考進(jìn)行補(bǔ)充，就可能得以解決。課堂上，教師根據(jù)情況讓學(xué)生互相研究討論，各抒己見，發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)，盡量自己想辦法解決。對實(shí)在解決不了的問題，教師不要直接給出答案，應(yīng)做適當(dāng)?shù)奶崾?。?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不能只靠課堂上老師的講解，想學(xué)好數(shù)學(xué)必須課后花時(shí)間去消化理解，這就需要通過解決一些具體問題來實(shí)現(xiàn)。教師可以適當(dāng)布置一些有難度的練習(xí)題，讓學(xué)生課后查找資料，小組討論研究。由于每個(gè)學(xué)生解決問題的方法、途徑會有差別，讓他們互相交流，交換思想，研究討論，可以形成一個(gè)互相學(xué)習(xí)的氛圍。在這里，學(xué)生既可以看到自己的不足，也可以學(xué)到別人好的思想和方法，從而拓展思考問題的空間，提升自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，這將有利于學(xué)生在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)方式。

四、把握知識體系，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

本科數(shù)學(xué)的各門課都有其完整的知識體系。而學(xué)生原有的知識經(jīng)驗(yàn)往往是沒有經(jīng)過加工的某個(gè)定理、公式等非整體的內(nèi)容，這些知識不會自動(dòng)形成一個(gè)完整的體系。學(xué)生在建構(gòu)知識的過程中，不一定能意識到以前學(xué)習(xí)的知識點(diǎn)或某種方法和新的內(nèi)容之間有什么聯(lián)系。如果教師在教學(xué)中只是按部就班地遵循教學(xué)進(jìn)度講授，學(xué)生就會盲目地接受一個(gè)個(gè)知識點(diǎn)，結(jié)果是邊學(xué)邊忘，形成了零散的片段。因此，教師在講授每一門課之前應(yīng)先說明這門課的知識結(jié)構(gòu)，各章之間的聯(lián)系；在講每一章之前介紹它的主要內(nèi)容，及在整個(gè)教材中處于什么地位；在學(xué)完一章的內(nèi)容后再讓學(xué)生歸納總結(jié)所學(xué)的重點(diǎn)，自己獲得哪些解決數(shù)學(xué)問題的方法，能用在什么地方。當(dāng)學(xué)生建構(gòu)起對問題的深入表征時(shí)，就可以發(fā)現(xiàn)非常有技巧和領(lǐng)域?qū)ｉT性的快捷策略。［4］如在學(xué)習(xí)極限之前向?qū)W生介紹極限是后一章導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，導(dǎo)數(shù)和不定積分互為逆運(yùn)算，不定積分的計(jì)算公式、方法又是定積分的基礎(chǔ)，而多元函數(shù)微積分都是在這些內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加深。教師可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自己歸納總結(jié)，形成相互聯(lián)系的、完整的知識體系，這樣在知識建構(gòu)的過程中將有助于幫助他們回憶、復(fù)習(xí)、比較與新知識點(diǎn)相應(yīng)的內(nèi)容，更好地建構(gòu)新的知識體系。

［1］周友士.基于建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，3.

［2］中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

［3］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，1989，8.

［4］辛自強(qiáng).建構(gòu)學(xué)習(xí)中知識的動(dòng)態(tài)變化：以數(shù)學(xué)為例［J］.教育科學(xué)，2004，8.

The construction of students'mathematics knowledge plays an important role to improve the quality of undergraduate mathematics teaching，which was connected with the use of knowledge.To construct students'mathematics knowledge，in this paper，the author gives some advice from four aspects:transfer and application of knowledge，discussion of formula and theorem，independent exploration and cooperation，optimization of cognitive structure.

mathematics knowledge；construction of knowledge；transfer；independent exploration；cooperation

G642

A

2096-000X（2016）22-0117-02

侯英，女，吉林公主嶺人，碩士，研究方向：課程與教學(xué)論。