基于實時跟蹤的ARIMA大壩安全監(jiān)控模型

黃夢婧，楊海浪，葉根苗(.河海大學水利水電學院，南京 20098；2.河海大學水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，南京 20098；.安徽省引江濟淮工程有限責任公司，合肥 2000)

大壩在正常運行時能起到巨大的效益，但是一旦潰壩會給下游造成巨大的損失，因此，確保大壩安全運行非常重要，應加強大壩安全監(jiān)測的力度。為了更準確地了解大壩的運行狀態(tài)，一個重要的方法是建立大壩安全監(jiān)測模型，并通過分析變形規(guī)律，對大壩的安全性進行評價。能否有效地進行大壩變形監(jiān)測，對保證大壩的正常運行，保障下游人民的生命財產(chǎn)安全具有重要的意義[1,2]。由于在大壩運行的過程中，大壩的變形過程較為復雜，會受到水壓力、泥沙壓力、揚壓力、溫度荷載等各種因素的影響，因此，如何建立一種最為優(yōu)化并具有普遍性的分析模型仍有待研究。

由于在實際工程中，大壩變形實測值的時間序列一般是不平穩(wěn)的，會有一定的趨勢變化?；诖?，我們提出建立差分自回歸移動平均模型(ARIMA)來對此類不平穩(wěn)的時間序列的變化過程進行分析。為了提高ARIMA模型的精度以及預測長度，使用了實時跟蹤算法對原ARIMA模型進行優(yōu)化，即提出基于實時跟蹤的ARIMA模型，并將其應用于大壩安全監(jiān)控及預報中。

1 ARIMA模型

1.1 ARIMA模型定義

差分自回歸移動平均模型，這是一種時間序列建模的方法，基于對時間序列特征的分析，并由3個參數(shù)來建立模型，參數(shù)分別為自回歸階數(shù)p，差分次數(shù)d和移動平均階數(shù)q[3]，模型表示為ARIMA(p,d,q)。

對于非平穩(wěn)的時間序列{ct,t=0,±1,…}差分d次后獲得一個平穩(wěn)的時間序列{xi}，滿足式(1)，模型建立為ARIMA(p,d,q)。

xt=∑pm=1φmzt-m-∑qj-1θjat-j+at

(1)

式中：φm(m=1,2,…,p)是自回歸模型的系數(shù)；θj(j=1,2,…,q)為平均滑動系數(shù)；at為白噪聲序列。

1.2 ARIMA模型參數(shù)的判定

1.2.1差分化

為了確定非平穩(wěn)時間序列中d的取值，對時間序列進行差分化。當時間序列的自相關系數(shù)(ACF)和偏相關系數(shù)(PACF)的序列值趨于穩(wěn)定時，此時序列是平穩(wěn)的，否則為非平穩(wěn)，對于非平穩(wěn)的時間序列需要通過d次差分得到平穩(wěn)序列，此時，ACF和PACF趨于穩(wěn)定且無顯著地非零，確定模型的差分階數(shù)為d。

1.2.2p、q值的確定

確定適合的p、q值，一般通過使用貝葉斯信息準則(BIC)[4]或赤遲信息量準則(AIC)[5]，兩種準則相比，貝葉斯準則的收斂效果更好，而赤遲信息準則的穩(wěn)健性較強，對于模型中可能出現(xiàn)的過度敏感的情況可以較好的解決，基于此，可以根據(jù)建模的具體情況選擇合適的準則，確定模型階數(shù)，從而模型確定。

2 基于實時跟蹤的ARIMA模型

2.1 實時跟蹤算法對ARIMA模型的優(yōu)化

在ARIMA模型中，模型階數(shù)的選擇對模型擬合及預測的精度的影響較大，為了保證擬合的精度，有時會選擇較高階的模型參數(shù)，然而階數(shù)較高會對模型預測長度有所限制。因此，為了在保證模型精度的前提下，提高模型的預測長度，提出使用實時跟蹤算法對原ARIMA模型進行優(yōu)化。

實時跟蹤算法的主要思想即等維遞補的思想[6]，假設時間序列{x1,x2,…,xn}，對該時間序列建立ARIMA模型，預測模型的預測步長為k，即通過模型對n個實測值進行擬合來預測n時刻后的值{xn+1,xn+2,…,xn+k}，由于時間序列{x1,x2,…,xn}是不斷更新的，即可以獲得之后的k個實測數(shù)據(jù)，此時將最開始的k個數(shù)據(jù)去除，即{x1,x2,…,xn}，用之后獲得的k個數(shù)據(jù)補充到時間序列中，此時，更新的時間序列為{xk+1,xk+2,…,xk+n}，對更新的時間序列重新建立ARIMA模型，進行下一步的預測，保持時間序列等維，以此類推，不斷加入最新的實測數(shù)據(jù)，去除舊數(shù)據(jù)，構成了動態(tài)預測的ARIMA模型群，即為等維遞補預測模型。

2.2 基于實時跟蹤的ARIMA模型建模步驟

大壩變形的監(jiān)測量一般為非平穩(wěn)的時間序列，建立基于實時跟蹤的ARIMA的大壩變形監(jiān)控模型建模流程如下：

步驟1。對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗，得到差分階數(shù)d，首先，初步判斷時間序列的平穩(wěn)性，可以通過時間序列的折線圖初步估計，然后通過相關圖法以及ADF單位根檢驗判斷序列的平穩(wěn)性，對不平穩(wěn)的時間序列，通過差分變換進行平穩(wěn)化，得到差分次數(shù)d。

步驟2。模型的定階，即確定模型的p、q值。本文采用BIC準則(貝葉斯準則)[8]確定模型中的p、q值。其表達式為：

(2)

式中：N為樣本總數(shù)；σ2k為方差的估計。

步驟3。模型的階數(shù)確定后，可以通過統(tǒng)計學的相關方法計算得到模型參數(shù)[7]，比如最小二乘，矩陣估計等，得到參數(shù)后，檢驗at是否為白噪聲序列，不是則必須再次估計，直到at滿足要求，完成ARIMA模型的建立。

步驟4。使用建立好的模型對大壩變形數(shù)據(jù)進行擬合預測。即通過前n個實測值預測未來k個時刻的變形值。

步驟5。對時間序列進行等維遞補，即加入最新實測的k個變形值，去除最前的k個變形值，保持時間序列的長度不變，建立新的ARIMA預測模型。以此類推，不斷更新數(shù)據(jù)，得到動態(tài)預測的ARIMA模型群，直到預測長度滿足預測要求。

基于實時跟蹤的ARIMA模型流程圖如圖1。

圖1 組合模型的計算流程Fig.1 Calculation flow chart of combined model

3 工程實例

本文以國內某水電站樞紐為例，該壩為混凝土雙曲拱壩，通過布置正垂線對大壩進行監(jiān)測，選取該大壩壩頂某點2012年7月1日-8月15日46組的原始位移觀測值，將這些數(shù)據(jù)分為兩部分：前40組數(shù)據(jù)用于建模擬合；后6組數(shù)據(jù)用于預測，檢驗模型的精度。該大壩位移測點的時間序列，如圖2。

圖2 大壩變形實測值時間序列Fig.2 Time serious of dam deformation

對該時間序列進行平穩(wěn)性分析，分析ACF和PACF值的變化趨勢，未差分前的值如圖3所示。

圖3 大壩變形實測值的ACF和PACF系數(shù)Fig.3 ACF and PACF coefficients of dam deformation

由圖3可見，該序列的ACF值和PACF值的大多數(shù)都超出了置信區(qū)間，為不平穩(wěn)的時間序列，因此，對原序列進行一次差分計算，差分后的時間序列見圖4，差分后的ACF系數(shù)和PACF系數(shù)見圖5。

圖4 大壩變形實測值一次差分序列Fig.4 First difference serious of dam deformation

圖5 大壩變形實測值一次差分序列的ACF和PACF系數(shù)Fig.5 ACF and PACF coefficients of first difference series of dam deformation

經(jīng)過一次差分，可見大壩變形的一次差分序列圍繞某值上下波動且趨于穩(wěn)定，ACF系數(shù)和PACF系數(shù)的波動也在置信區(qū)間范圍內，因此，認為原序列一次差分后為平穩(wěn)序列，基于此，d定為1。

確定差分次數(shù)d后，使用BIC準則確定模型階數(shù)，從低階到高階依次計算BIC值，具體計算結果見表1。

表1 模型的BIC準則值Tab.1 BIC guideline values of model

由表1可知，p=4,q=4時BIC值最小，故該ARIMA模型的p值取4，q值取4，即建立ARIMA(4，1，4)模型，對實測數(shù)據(jù)進行擬合及預測，擬合曲線見圖6，計算擬合及實測值的殘差序列，如圖7。

圖6 擬合模型比較圖Fig.6 Comparison chart of prediction models

圖7 ARIMA模型與原監(jiān)測數(shù)據(jù)的擬合殘差值Fig.7 Fitting errors of ARIMA model

為了保證擬合的精度，在選擇模型階數(shù)時選值較大，由圖7可以看出，擬合的殘差值都在1.5 mm內，精度較高，但是該模型卻對預測的長度有所限制，為了在保證模型精度的同時增加預測的長度，采用實時跟蹤算法對ARIMA模型進行優(yōu)化，設定模型的預測步長為1，對未來6天的變形值進行預測，將時間序列進行等維遞補，保持時間序列的長度不變，建立動態(tài)預測的ARIMA模型群。將優(yōu)化模型與原模型的預測結果進行比較，見表2。

由表2可以看出，基于實時跟蹤的ARIMA模型相對ARIMA模型在預測精度上有所提高，更能反

表2 兩種模型的預測結果對比Tab.2 Two predicted values and the relative errors of the model

映出大壩變形的實際情況，同時優(yōu)化后的模型對于預測長度的局限性較小，可以進行步長較長的變形預測。

4 結 語

本文在ARIMA模型的基礎上，使用實時跟蹤算法對模型進行優(yōu)化，建立基于實時跟蹤的ARIMA模型，并應用到大壩安全監(jiān)測中。以某水利工程的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)作為研究對象進行建模，與原ARIMA模型相比精度有所提高，預測結果較好，更能反映大壩安全性態(tài)，同時具有較長的預測步長，其等維遞補的思想充分利用了數(shù)據(jù)的動態(tài)信息，值得用于較為復雜的大壩變形安全監(jiān)控及預報中。

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[1] 顧沖時,吳中如.大壩與壩基安全監(jiān)控理論和方法及其應用[M]．南京：河海大學出版社,2006．

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[3] 李經(jīng)緯,包騰飛.基于ARIMA-GRNN模型在大壩安全監(jiān)測中的應用[J].水電能源科學,2013,31(7)：48-50.

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[5] 魏武雄.時間序列分析-單變量和多變量方法[M].2版.北京：中國人民大學出版社，2009.

[6] 錢龍霞,劉明國,黃占峰,等.基于自相關性分析的等維灰數(shù)遞補動態(tài)預測模型及其應用[J].北京師范大學學報(自然科學版),2008,44(6)：640-644.

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