田社平，孫 盾，張 峰

(1.上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上海 200240;2浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江杭州 310027)

動(dòng)態(tài)電路可以用微分方程加以描述。根據(jù)描述電路的微分方程的階數(shù)，可以將電路分為一階電路、二階電路等?，F(xiàn)行電路教材幾乎均以此來(lái)定義動(dòng)態(tài)電路的階數(shù)，如“用一階常微分方程描述的電路稱為一階電路”(文獻(xiàn)［1-3］)或“如果電路的輸入—輸出方程是一階微分方程，則稱該電路為一階電路。如果電路的輸入—輸出方程是n階微分方程，則稱該電路為n階電路”(文獻(xiàn)［4］)。

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，一個(gè)動(dòng)態(tài)電路往往存在多個(gè)電壓變量和電流變量，當(dāng)描述所有這些電壓變量和電流變量的微分方程的階數(shù)都相同時(shí)，上述定義是準(zhǔn)確的，但是也有一些特別的電路，其電路變量的微分方程的階數(shù)并不相同，這樣上述定義則無(wú)法準(zhǔn)確地描述動(dòng)態(tài)電路的階數(shù)。

不失一般性，本文僅以線性非時(shí)變動(dòng)態(tài)電路為例加以討論。

1 實(shí)例分析

考慮如圖1所示的電路，假設(shè)R1=R2=1Ω，R3=4Ω，C1=C2=1F，L=1H。下面分析描述電路變量i，uC1和uC2的微分方程表達(dá)式。

圖1 動(dòng)態(tài)電路之一

列寫(xiě)電路的KCL方程:

列寫(xiě)KVL方程:

將元件參數(shù)值代入式(1)～式(3)并整理得

對(duì)式(6)兩邊微分，并將式(4)和式(5)代入，整理后可得

將式(6)和式(7)相加，得到描述電流變量i的微分方程為

將式(4)中的電流i代入式(8)，得到描述電壓變量uC1的微分方程為

類(lèi)似可得到描述電壓變量uC2的微分方程為

由式(8)～式(10)可以看出，描述電流變量i的微分方程的階數(shù)為2，而描述電壓變量uC1和uC2的微分方程的階數(shù)為3，兩者并不相等。而觀察圖1所示電路，可知該電路包含三個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件，說(shuō)明該電路是一個(gè)三階電路。

2 動(dòng)態(tài)電路階數(shù)的確定

由上面討論可知，電路變量的階數(shù)和電路的階數(shù)并不完全相同。對(duì)動(dòng)態(tài)電路的階數(shù)的判定，一般可采用如下四種方法。

(1)通過(guò)觀察電路，確定電路中獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)，它也是電路的階數(shù)。這是一種常用的方法，適用于大多數(shù)電路。

(2)以電路變量的階數(shù)的最大值作為電路的階數(shù)。本文上一節(jié)的分析就采用了這種方法。

(3)用零輸入電路確定電路的階數(shù)［5］。電路的階數(shù)與電路的激勵(lì)大小無(wú)關(guān)，因此可以將電路的激勵(lì)置零，然后再確定電路的階數(shù)。

(4)電路的階數(shù)等于電路的非零固有頻率數(shù)。因此，求出電路的非零固有頻率數(shù)，也就得到了電路的階數(shù)。

下面就后面兩種方法進(jìn)行討論。

圖2所示為包含兩個(gè)電容的電路，其中圖2(a)電路的激勵(lì)為電壓源，初看此電路，似乎兩個(gè)電容獨(dú)立，但將電壓源置零后發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)電阻、兩個(gè)電容為并聯(lián)關(guān)系，因此該電路為一階電路。圖2(b)電路的激勵(lì)為電流源，如果將電流源置零，則R1、C1和R2、C2構(gòu)成兩個(gè)獨(dú)立的回路，該電路是二階電路。如果兩個(gè)回路的時(shí)間常數(shù)相等，即R1C1=R2C2時(shí)，該電路退化為一階電路。

圖2 動(dòng)態(tài)電路之二

圖3所示為一含受控源的電路，該電路中沒(méi)有畫(huà)出激勵(lì)［4］。

圖3 動(dòng)態(tài)電路之三

由圖3所示電路可畫(huà)出s域模型(這里從略)，有網(wǎng)孔方程

其中，iL1(0-)=iL2(0-)，且u=2u+u2或u=-u2=-L2diL2/dt，所以

將上式代入式(11)，經(jīng)整理得

由上式解得

由上式可見(jiàn)，如果L1≠L2，則電路有兩個(gè)固有頻率，說(shuō)明圖3電路是一個(gè)二階電路;如果L1=L2，則只有一個(gè)固有頻率，此時(shí)Ia(s)=Ib(s)，于是iL1=iL2=iL3，三個(gè)電感電流只有一個(gè)是獨(dú)立的，說(shuō)明圖3電路是一個(gè)一階電路。

3 進(jìn)一步的討論

電路的特性決定電路的拓?fù)浼s束和元件約束。因此，動(dòng)態(tài)電路的階數(shù)也決定于電路的拓?fù)浼s束和元件約束。在確定電路的階數(shù)時(shí)，還應(yīng)注意以下幾個(gè)方面。

(1)零固有頻率對(duì)電路階數(shù)的影響。當(dāng)電路存在零固有頻率時(shí)，則該電路的零輸入響應(yīng)中就包含常數(shù)項(xiàng)［4］。因此，電路的零固有頻率不影響電路的階數(shù)。例如，對(duì)于如圖4所示的電路，從輸入端口看進(jìn)去的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)(阻抗)為

圖4 動(dòng)態(tài)電路之四

顯然該電路存在一個(gè)零固有頻率和一個(gè)非零固有頻率s=-1/(RC2)。而該電路為一階電路，說(shuō)明電路的零固有頻率不影響電路的階數(shù)。

(2)電路的階數(shù)與激勵(lì)的關(guān)系。電路的激勵(lì)包括電壓源和電流源，作為電路元件，它們也會(huì)對(duì)電路起到拓?fù)浼s束(激勵(lì)的接入方式)和元件約束(激勵(lì)的電壓電流關(guān)系)作用。從圖2電路的分析可以看出，盡管電路的階數(shù)與激勵(lì)的大小無(wú)關(guān)，但與激勵(lì)的形式(是電壓源還是電流源)有關(guān)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)電路實(shí)例討論了電路的階數(shù)確定方法，盡管現(xiàn)行教材對(duì)電路的階數(shù)給出大致相同的定義，但這些定義具有一定的不確定性。事實(shí)上，只有當(dāng)電路中的所有電路變量的微分方程的階數(shù)都相同時(shí)，這些定義才是適用的。

本文的討論可供教師在進(jìn)行動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析教學(xué)時(shí)參考。

［1］ C.A.狄蘇爾，葛守仁著，林爭(zhēng)輝主譯.電路基本理論［M］.下冊(cè).北京:人民教育出版社，1979

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