王正偉++王杏++曾慶雨

摘 要： 平面向量是中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中必要的內(nèi)容，具有“數(shù)”與“形”的特點(diǎn)，在幾何與代數(shù)上都有廣泛的應(yīng)用，也是高考必考內(nèi)容之一。同時(shí)，高等師范院校學(xué)習(xí)的平面向量是中學(xué)學(xué)習(xí)平面向量的拓展和延伸。本文對(duì)平面向量在中學(xué)、高考和高校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的有關(guān)內(nèi)容作探討。

關(guān)鍵詞： 高師數(shù)學(xué) 平面向量 輔助

1.高考中的向量

在高考中主要是考查平面向量的基礎(chǔ)方面的知識(shí)或者向量與其他知識(shí)的聯(lián)系[1]。向量具有“數(shù)”與“形”的雙重特點(diǎn)，是中學(xué)數(shù)學(xué)和高師數(shù)學(xué)中不可缺少的內(nèi)容，歷年高考已經(jīng)體現(xiàn)出對(duì)相關(guān)的知識(shí)的要求與掌握。主要體現(xiàn)為考查平面向量的基本運(yùn)算技能、性質(zhì)、運(yùn)算法則，以及考查它和其他知識(shí)的聯(lián)系，如：數(shù)列、曲線、函數(shù)等。

平面向量在近年高考中常出現(xiàn)兩道不同的題目。主要是選擇題或填空題和解答題，選擇題或填空題考查向量的運(yùn)算法則、數(shù)乘、性質(zhì)、共線問(wèn)題、數(shù)量積與軌跡問(wèn)題，解答題考查三角、函數(shù)、曲線、數(shù)列等問(wèn)題，主要以平面向量的基本形式為條件，求解其他方面知識(shí)。

如已知■，■是兩個(gè)非零的向量，若■+3■與7■-5■垂直，■-4■與7■-2■垂直，求：■與■的夾角。本例中主要考查向量的數(shù)量積滿足交換律■·■=■·■，但不滿足■·■=|■||■|，這就與平時(shí)的數(shù)量乘積運(yùn)算不同，同時(shí)要更注意如果■·■=■·■，但不能得出■=■。

再如，在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）。（1）求平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，（2）求t的值，其中假設(shè)實(shí)數(shù)t滿足（■-t■）·■=0。此題主要考查學(xué)生對(duì)平面向量的理解和對(duì)運(yùn)算的求解能力，涉及的知識(shí)點(diǎn)有平面向量的幾何意義（數(shù)形結(jié)合）、向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積。

2.中學(xué)新課標(biāo)對(duì)向量的安排概要

新課標(biāo)在課程的設(shè)計(jì)中考慮得比較周全，對(duì)單元的脈絡(luò)安排合理。如：新課標(biāo)《平面向量》是這樣安排的，首先學(xué)習(xí)向量的實(shí)際背景及基本概念，再學(xué)習(xí)向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理及坐標(biāo)表示，最后學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積和向量的應(yīng)用舉例，體現(xiàn)了對(duì)知識(shí)的安排具有整體性和科學(xué)性。平面向量作為必學(xué)內(nèi)容，使得這一節(jié)內(nèi)容在這一章中的位置得到提升，更體現(xiàn)了新課標(biāo)的科學(xué)性、創(chuàng)新性，同時(shí)重視了知識(shí)的應(yīng)用，貼近生活。

3.如何運(yùn)用高師數(shù)學(xué)所學(xué)向量知識(shí)輔助中學(xué)教學(xué)

一方面，在《解析幾何》中，幾何問(wèn)題求解時(shí)就可以把幾何條件轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程利用代數(shù)工具進(jìn)行研究。如：《解析幾何》中向量的外積、混合積、向量的共線、共面等問(wèn)題實(shí)際上都是用線性運(yùn)算來(lái)描畫(huà)的，都可用行列式表示出來(lái)。由此可知，高等師范院校學(xué)習(xí)的內(nèi)容有很大程度上是中學(xué)課程的延伸?！督馕鰩缀巍贩从吵霈F(xiàn)實(shí)世界的“數(shù)”與“形”的緊密聯(lián)系，而《高等代數(shù)》則把《解析幾何》所揭示的“空間”概念通過(guò)“向量”推廣到十分抽象的“維空間”，而“代數(shù)”這一領(lǐng)域，很多地方都是因?yàn)橛辛恕跋蛄俊睘榛A(chǔ)，才能夠發(fā)揮下去。

向量作為“數(shù)”與“形”聯(lián)系的橋梁，本身就很重要。在高中階段屬于簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)，而在高校里不僅要研究向量的基礎(chǔ)知識(shí)，而且要研究向量的各種特性及它的各種運(yùn)算。許多幾何問(wèn)題都可以用向量的知識(shí)快捷解答出來(lái)。

另一方面，在高等師范院校里，數(shù)學(xué)專業(yè)以向量代數(shù)方法研究為主，它在立體幾何中的應(yīng)用很廣泛，如果取定了原點(diǎn)和坐標(biāo)系后，多元的數(shù)組就可以被看成以原點(diǎn)為始點(diǎn)的向量，復(fù)數(shù)就可被看成是平面向量。許多抽象的代數(shù)概念就會(huì)獲得了具體的幾何背景，個(gè)數(shù)的數(shù)組就可以看成虛構(gòu)的高維空間中的向量。許多高維數(shù)組構(gòu)成的“空間”實(shí)則是現(xiàn)實(shí)空間中向量各種運(yùn)算的推廣，也就是高等師范院校所學(xué)習(xí)的維向量就可以用來(lái)輔助學(xué)習(xí)中學(xué)的二維和三維向量。

總之，高等師范學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)的師范生只有掌握好數(shù)學(xué)方面的專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)，才有可能把大學(xué)所學(xué)知識(shí)用幫助學(xué)生學(xué)習(xí)中學(xué)相關(guān)知識(shí)，如平面向量等。

4.結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上對(duì)中學(xué)向量和大學(xué)向量的論述可以看出，中學(xué)所學(xué)習(xí)的平面向量?jī)?nèi)容雖然不是很深入，但是對(duì)中學(xué)學(xué)習(xí)中解決幾何運(yùn)算、代數(shù)運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算是一種很好的工具，也是為大學(xué)學(xué)習(xí)打好一定的基礎(chǔ)，而大學(xué)所學(xué)的內(nèi)容則可以從高觀點(diǎn)輔助和駕馭中學(xué)內(nèi)容。師范院校學(xué)生必須認(rèn)識(shí)到中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容和高師院校數(shù)學(xué)專業(yè)所學(xué)內(nèi)容之間的區(qū)別與聯(lián)系，從自己實(shí)際所學(xué)內(nèi)容開(kāi)始思考、分析這些問(wèn)題，打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，成功利用高師數(shù)學(xué)輔助中學(xué)數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅崇善.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1999：94-96.

[2]華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].第三版，北京：高等教育出版社，2001：101.

[3]孟道驥，著.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：科學(xué)出版社，1998：47.

[4]邱森，主編.高等代數(shù)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，1991：61.

[5]丘維聲，編著.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1996：19-21.

[6]馮精華，陳清華；對(duì)人教版（A）新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材的幾點(diǎn)思考——以數(shù)學(xué)1為例[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2005（05）.