朱東亮

摘 要

“倍”是比較兩個(gè)數(shù)量大小的一種基本方法，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)”“比”等其他“比率”概念的重要支撐。然而，學(xué)生在建構(gòu)“倍”及其他“比率”概念時(shí)，不同程度地出現(xiàn)了一些困難。通過對(duì)學(xué)生、教師、教材的調(diào)查，分析了“倍的認(rèn)識(shí)”這一單元的教學(xué)問題與其他比率概念與“倍”的聯(lián)系問題，并根據(jù)建構(gòu)主義理論，從“同化”和“順應(yīng)”這兩個(gè)維度，提出了若干建議。

[關(guān)鍵詞]

建構(gòu)；同化；順應(yīng)；倍；比率

一、問題提出

建構(gòu)主義認(rèn)為，“同化”和“順應(yīng)”是認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的主要過程?！巴笔前芽陀^環(huán)境因素納入主體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中?！绊槕?yīng)”是主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能同化客體，必須建立新的或調(diào)整原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在學(xué)習(xí)“倍”等“比率”概念時(shí)，學(xué)生需要通過同化和順應(yīng)這兩個(gè)過程來發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

人教版修訂后的教材將原來分散在二年級(jí)的關(guān)于“整數(shù)倍”的內(nèi)容集中在三年級(jí)“倍的認(rèn)識(shí)”這一單元中，降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，有利于學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。“倍”的本質(zhì)就是“比率”，關(guān)于比率這一重要概念在修訂版的人教版教材中編排如下。

人教版中“比率”相關(guān)概念的安排表

可見“倍”的概念是學(xué)生建構(gòu)“比率”這一“乘法結(jié)構(gòu)”的伊始。原來已經(jīng)建立的“加法結(jié)構(gòu)”的平衡被打破，需要通過“順應(yīng)”來達(dá)到新的平衡。而小數(shù)倍、分?jǐn)?shù)（表示率）、百分?jǐn)?shù)、比等內(nèi)容，都可以看成是在“整數(shù)倍”基礎(chǔ)上的“同化”。那么，學(xué)生在建構(gòu)“倍”及其他“比率”概念時(shí)還存在困難嗎？教師在教學(xué)中又有哪些困惑？研究這些問題，有助于學(xué)生更好地實(shí)現(xiàn)“順應(yīng)”和“同化”，從而幫助學(xué)生自主發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、調(diào)查分析

（一）對(duì)學(xué)生的調(diào)查

為了解學(xué)生對(duì)“倍”“分?jǐn)?shù)”“比”“百分?jǐn)?shù)”這四個(gè)關(guān)于比率的子概念的認(rèn)知情況，設(shè)計(jì)了如下調(diào)查內(nèi)容，各個(gè)項(xiàng)目的正確率見下表。

三年級(jí)學(xué)生對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)調(diào)查情況表

數(shù)據(jù)反映出學(xué)生對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)還存在一定問題，主要有以下幾方面。

1.對(duì)“倍”與“幾個(gè)幾”的聯(lián)系還不夠明了

在問題1中，部分學(xué)生把“6是2的3倍”這一表征錯(cuò)誤地表達(dá)成了“2個(gè)3”?？梢钥闯?，這類學(xué)生對(duì)“倍”與“幾個(gè)幾”聯(lián)系還未完全建立，沒有實(shí)現(xiàn)新舊兩個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的溝通。

2.對(duì)應(yīng)用“圖形”這一工具還不夠自覺

在問題3中，部分學(xué)生認(rèn)為條件不充足，沒有發(fā)現(xiàn)隱含的倍數(shù)關(guān)系，缺少尋找“倍數(shù)”的方法，缺乏利用倍的本質(zhì)含義去解決具體的問題。

3.對(duì)“倍”這一乘法結(jié)構(gòu)關(guān)系還不夠清晰

在問題4中，典型錯(cuò)誤就是“20×4=80”，他們看到“倍”就用乘法來解決，仿佛“倍”就是“乘法”的代名詞。說明學(xué)生對(duì)求“倍”這一乘法結(jié)構(gòu)沒有形成完整的認(rèn)識(shí)，對(duì)求其中的“標(biāo)準(zhǔn)量”這一數(shù)量關(guān)系不清晰。

4.對(duì)“非整數(shù)倍”的認(rèn)識(shí)還缺少基礎(chǔ)

在問題5和6中，選擇無法解答的學(xué)生比例較高，其中對(duì)大于1倍的非整數(shù)倍的認(rèn)可程度要高于對(duì)小于1倍的非整數(shù)倍認(rèn)可度。顯示出學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)已然是在整數(shù)范疇，要向“非整數(shù)倍”發(fā)展，仍然存在較大的屏障。

5.對(duì)“比率”子概念之間的聯(lián)系還不夠明了

數(shù)據(jù)反映出六年級(jí)學(xué)生對(duì)“倍”“分?jǐn)?shù)”“比”“百分?jǐn)?shù)”這四個(gè)關(guān)于“比率”的核心子概念之間的聯(lián)系沒有很好的溝通，阻礙了“比率”這一乘法結(jié)構(gòu)中的重要概念的建構(gòu)。

（二）對(duì)教師的調(diào)查

為了解教師對(duì)“倍”及其他相關(guān)概念的了解，進(jìn)行了如下調(diào)查。

教師對(duì)“倍”的了解情況調(diào)查表

從調(diào)查情況看，部分教師還存在如下問題。

1.對(duì)“倍”的理解不到位

什么是“倍”？《新華字典》對(duì)應(yīng)的解釋是“跟原數(shù)的相等數(shù)”，那么幾倍就表示與幾個(gè)原數(shù)相等的數(shù)，應(yīng)該說這個(gè)解釋是不全面的，從數(shù)學(xué)角度看“倍”，倍實(shí)質(zhì)是一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)所得的商，即“比率”。而很多老師對(duì)此不完全清晰。還有部分老師對(duì)“非整數(shù)倍”持有懷疑態(tài)度。

2.對(duì)相關(guān)概念之間的聯(lián)系認(rèn)識(shí)不到位

“倍”是“比率”的一個(gè)子概念，與“分?jǐn)?shù)”“比”“百分?jǐn)?shù)”有密切的聯(lián)系，這四個(gè)子概念之間是可以互相轉(zhuǎn)化的，但教師對(duì)“倍”與其他子概念的聯(lián)系認(rèn)識(shí)是模糊的，進(jìn)而可能在教學(xué)中也無法將這些概念聯(lián)系起來進(jìn)行教學(xué)，從而影響學(xué)生建構(gòu)起完整“比率”結(jié)構(gòu)。

3.對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平掌握不到位

在一堂“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”教研課中，筆者發(fā)現(xiàn)執(zhí)教老師意圖將“大于1的非整數(shù)倍”和“小于1的非整數(shù)倍”進(jìn)行滲透，出現(xiàn)了學(xué)生由于缺少小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)等基礎(chǔ)知識(shí)的支撐而感到茫然的情況。顯然，教師對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平估計(jì)過高，沒有找準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)。

（三）對(duì)教材的調(diào)查

為進(jìn)一步了解教材對(duì)“倍”等比率概念的編排特點(diǎn)，筆者對(duì)人教版教材進(jìn)行了調(diào)查?？傮w上看教材的編排符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，同時(shí)也存在進(jìn)一步改善的空間。

1.“1倍”的結(jié)構(gòu)性材料尚需補(bǔ)充

在教材中，例題1的任務(wù)是幫助學(xué)生建立“倍”的概念，出現(xiàn)的是“紅蘿卜是胡蘿卜的3倍”和“白蘿卜是胡蘿卜的5倍”，而后面的所有材料都有出現(xiàn)“1倍”這個(gè)基本關(guān)系。而1倍是一個(gè)重要的概念，甚至是“倍”的核心。因?yàn)樵诒容^兩個(gè)數(shù)量大小時(shí)，“同樣多”和“1倍”的意義完全相同，是溝通“作差法”和“倍比法”的連接點(diǎn)。

2.“倍”的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)尚需完善

在三年級(jí)上冊(cè)“倍的認(rèn)識(shí)”單元中，例題2是求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍，即求“倍數(shù)”。例題3是求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，即求“比較量”。顯然數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)是不完整的，缺少了“已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)”這一類型，即求“標(biāo)準(zhǔn)量”。雖然在三年級(jí)下冊(cè)的教材中出現(xiàn)了這一類型（安排在練習(xí)中），但這種編排割裂了學(xué)生的認(rèn)知時(shí)間，是值得商榷的。

3.“比率”子概念之間的聯(lián)系尚需明晰

本套人教版數(shù)學(xué)教材（修訂版）在五年級(jí)下冊(cè)安排了分?jǐn)?shù)、六年級(jí)上冊(cè)安排了“比”和“百分?jǐn)?shù)”的內(nèi)容，從教材提供的材料來看，對(duì)“倍”只字不提，沒有給予師生很好的溝通概念之間聯(lián)系的引導(dǎo)，喪失了“同化”的機(jī)會(huì)。

（四）調(diào)查小結(jié)

綜合上述調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)“倍”這一概念的建構(gòu)還存在一定問題，體現(xiàn)出多元表征之間轉(zhuǎn)換的自覺性不高，數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)不全等“順應(yīng)”問題，對(duì)“倍”與其他比率子概念之間的溝通還不明晰等“同化”情況。部分教師對(duì)“倍”這一概念的前后聯(lián)系不清晰，也影響了學(xué)生對(duì)“倍”及其他“比率”概念的意義建構(gòu)。

三、建議策略

（一）增強(qiáng)材料結(jié)構(gòu)，降低順應(yīng)難度

“倍”對(duì)于學(xué)生來說是一個(gè)全新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，無法同化到原有的加法結(jié)構(gòu)中，因此需要建立新的結(jié)構(gòu)（即乘法結(jié)構(gòu)）。因此，在教學(xué)中，需要提供結(jié)構(gòu)性強(qiáng)的材料，以幫助學(xué)生降低順應(yīng)的難度。

1.讓“幾個(gè)幾”成為“倍”的生長點(diǎn)

在“倍”的引入環(huán)節(jié)中，建議補(bǔ)充關(guān)于“幾個(gè)幾”的學(xué)習(xí)材料。把抽象的“倍”的概念與學(xué)生已經(jīng)掌握的“幾個(gè)幾”建立聯(lián)系，同時(shí)要提供逆向思考的材料，讓學(xué)生能從把“幾倍“轉(zhuǎn)化為“幾個(gè)幾”，如“藍(lán)花有4朵，紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的3倍，那么紅花里有3個(gè)4朵”，通過正反兩方面的轉(zhuǎn)化，以幫助學(xué)生尋找到新知的生長點(diǎn)，初步建立“倍”的概念。

2.讓“1倍”成為“倍”的發(fā)展點(diǎn)

在“倍”概念理解階段，建議補(bǔ)充“1倍”這一節(jié)點(diǎn)。在人教版的例題及習(xí)題中，關(guān)于“1倍”的關(guān)系難覓蹤影，而“1倍”是今后學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)從“大于1倍”向“小于1倍”發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)，具有承前啟后的作用。因此，可以先設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)量不變，比較量變化，直至變成兩個(gè)量相等，此時(shí)就產(chǎn)生了1倍關(guān)系。在后續(xù)教學(xué)中，比較量繼續(xù)縮小，當(dāng)連1倍都不到時(shí)，用分?jǐn)?shù)來表征就順理成章了。

3.讓“數(shù)量關(guān)系”成為“倍”的完善點(diǎn)

在用“倍”的概念解決實(shí)際問題環(huán)節(jié)，建議將關(guān)系結(jié)構(gòu)補(bǔ)充完整?？梢栽凇扒笠粋€(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”和“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”這兩類問題后，補(bǔ)充“已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)”這一結(jié)構(gòu)的問題，以幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。同時(shí)加強(qiáng)“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”和“已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)”這兩個(gè)類型的比較，更好地幫助學(xué)生加深對(duì)“倍”的理解。

（二）利用多元表征，建構(gòu)“倍”的模型

“表征”是指用某種形式表達(dá)數(shù)學(xué)概念的行為，學(xué)生借助各種表征來表達(dá)數(shù)學(xué)概念，在不同數(shù)學(xué)表征之間建立聯(lián)系，有助于模型的建立。

1.用圖形表征讓“倍”更加直觀

在初步認(rèn)識(shí)倍的階段，建議用實(shí)物圖形幫助建立“倍”的模型。為幫助學(xué)生進(jìn)一步抽象和概括，可以確定不同的標(biāo)準(zhǔn)，去表示相同倍數(shù)的材料，如“小明買了8個(gè)蘋果，4個(gè)桔子，蘋果的數(shù)量是桔子的2倍，小紅家買了6個(gè)桔子，3個(gè)蘋果，桔子的個(gè)數(shù)是蘋果的2倍”，并抽象成“標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)”的模型（如圖一）。同時(shí)還要注意提供“變式結(jié)構(gòu)”（如圖二）和“錯(cuò)誤結(jié)構(gòu)”（如圖三），讓學(xué)生在辨析中進(jìn)一步理解“倍”，并向線段圖進(jìn)一步抽象（如圖四）。

2.用語言表征抽象“倍”的概念

語言是思維的重要載體。在經(jīng)歷豐富的圖形表征后，要讓學(xué)生逐步用語言來描述兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。重點(diǎn)要讓學(xué)生描述“一個(gè)量里包含幾個(gè)另一個(gè)量，所以一個(gè)量是另一個(gè)量的幾倍”，用語言不斷強(qiáng)化對(duì)“倍”的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

3.用算式表征加深“倍”的理解

在應(yīng)用“倍”概念解決問題環(huán)節(jié)，建議從“求倍數(shù)、求標(biāo)準(zhǔn)量、求比較量”三個(gè)維度出發(fā)，安排統(tǒng)一情境的對(duì)比材料，如“小明有科技書8本，故事4本，科技書是故事書的幾倍”，“小明有科技書8本，故事書是科技書的2倍，故事書有幾本？”，“小明有科技書8本，是故事書的2倍，故事書有幾本？”。通過類似的對(duì)比，讓學(xué)生加深對(duì)倍的理解。

4.溝通各表征之間的聯(lián)系

在教學(xué)中，建議將語言表征、圖形表征、算式表征進(jìn)行轉(zhuǎn)化和溝通。在概念的初步理解階段，可以先從圖形開始，幫助學(xué)生對(duì)“倍”先有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，從而向語言表征轉(zhuǎn)化。對(duì)“倍”有了初步認(rèn)識(shí)后，可以讓學(xué)生將語言表征向圖形表征轉(zhuǎn)化，用圈一圈的方法表征倍數(shù)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中建立起“一個(gè)量中包含幾個(gè)另一個(gè)量”的圖形，加深對(duì)“倍”的本質(zhì)理解。在解決問題階段，建議溝通好圖示表征和算式表征，發(fā)現(xiàn)這兩種方法在解決問題中的聯(lián)系后，要讓學(xué)生體會(huì)這兩種方法各自的優(yōu)點(diǎn)?！皥D形”能更直觀地表達(dá)語言表征，“算式”則在解決問題時(shí)更具有一般性。尤其要關(guān)注“圖形”這一幾何直觀的思想方法，是幫助學(xué)生理解題意，準(zhǔn)確分析數(shù)量關(guān)系的重要方法，對(duì)解決較復(fù)雜的“和倍”“差倍”“幾倍多幾”“幾倍少幾”等問題中有特有的優(yōu)勢(shì)，要讓學(xué)生充分感受到這一方法的優(yōu)越性。

（三）同化相關(guān)概念，完善“比率”結(jié)構(gòu)

1.同化“倍”中的各子概念

首先，要在后續(xù)教學(xué)中完善“倍”自身的結(jié)構(gòu)。在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)除法、小數(shù)除法后，要讓學(xué)生意識(shí)到“倍數(shù)“不僅可以有“正整數(shù)倍”，還可以有“分?jǐn)?shù)倍”“小數(shù)倍”。如利用“山羊有5只，綿羊有10只，山羊的只數(shù)是綿羊的幾倍？”這樣的問題打開學(xué)生的認(rèn)知邊界，消除倍數(shù)只能是整數(shù)倍的誤區(qū)，從而將這些子概念都同化到“倍”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，在頭腦中完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.同化“比率”中的子概念

其次，在教學(xué)比率的其他子概念時(shí)，教師可適當(dāng)溝通“倍”與他們的關(guān)系。如在教學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“甲是乙的3倍”與“乙是甲的[13]”所表示的關(guān)系是一樣的；在教學(xué)百分?jǐn)?shù)可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“甲是乙的3倍”與“甲是乙的300%”所表示的關(guān)系是一樣。在教學(xué)比時(shí)，讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)到“甲是乙的3倍”也可以表示成甲∶乙=3∶1。并在總復(fù)習(xí)階段，再次溝通“倍、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比”這幾個(gè)比率概念之間的關(guān)系，幫助學(xué)生從一定程度上同化相關(guān)概念，完善“比率”結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生融會(huì)貫通。

四、結(jié)語

“同化”和“順應(yīng)”是學(xué)生實(shí)現(xiàn)認(rèn)知發(fā)展“兩翼”。作為教師要找準(zhǔn)“倍”的“順應(yīng)”起點(diǎn)，把握“倍”與其他比率子概念之間的“同化”關(guān)系，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，才能為新知識(shí)融入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)創(chuàng)造條件，健全學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容、觀念和組織，完善和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]孫昌識(shí)，姚平子.兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與教育[M].北京：人民教育出版社，2005.

[2]吳正憲，周偉紅，陳鳳偉.吳正憲課堂教學(xué)策略[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2013.

（責(zé)任編輯：李雪虹）