動態(tài)法測楊氏模量實驗的探索與改進

樊聰聰，劉華揚，程敏熙

(華南師范大學(xué)，廣東 廣州　510006)

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動態(tài)法測楊氏模量實驗的探索與改進

樊聰聰，劉華揚，程敏熙

(華南師范大學(xué)，廣東 廣州510006)

摘 要：本文的主要工作有：分析了國內(nèi)外楊氏模量測量的原理與方法；把測量裝置由懸掛法改為支撐法，增加了實驗棒的長度(原實驗棒長度16 cm，新實驗棒長度 23 cm),擴大了數(shù)據(jù)的測量范圍；移動支架置于導(dǎo)軌上，可直接在導(dǎo)軌標(biāo)尺上準(zhǔn)確讀數(shù)，每隔3 mm測一次數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)增多；組裝調(diào)試實驗裝置，測量了黃銅、純銅、鈦三種材料的楊氏模量并進行數(shù)據(jù)處理，將改進后實驗系統(tǒng)測得的結(jié)果和原實驗系統(tǒng)測得的結(jié)果以公認(rèn)值進行比較， 完善了改進后實驗系統(tǒng)的教學(xué)功能。

關(guān)鍵詞：楊氏模量；動態(tài)懸掛法；動態(tài)支撐法教學(xué)效果

1楊氏模量實驗方法

測量固體材料的楊氏模量也是理工科院校必做的大學(xué)物理實驗之一，現(xiàn)階段高校中測量楊氏模量的方法主要有靜態(tài)拉伸法、梁彎曲法和動力學(xué)共振法。此外，也有很多學(xué)者研究了測量材料楊氏模量的新方法，如超聲波法、霍爾傳感器法、惠斯登電橋法、電容傳感器法等等[2]。本文研究的是改進動態(tài)共振法測楊氏模量的實驗裝置，動態(tài)法測楊氏模量實驗由清華大學(xué)現(xiàn)代應(yīng)用物理學(xué)系丁慎訓(xùn)教授等人開發(fā)[3]，目前已廣泛應(yīng)用于高校的普通物理實驗教學(xué)。通過查閱近年來國內(nèi)外大量文獻(xiàn)，筆者發(fā)現(xiàn)，研究動態(tài)法測楊氏模量的論文方向主要集中于數(shù)據(jù)的采集和處理及實驗條件的控制等方面，對實驗裝置的整體改進和實驗棒規(guī)格的控制，關(guān)注不夠。筆者在長期接觸該實驗后，發(fā)現(xiàn)該實驗在以下幾個方面還存在改進空間：

1.1實驗采用懸掛法存在弊端

該實驗中調(diào)節(jié)懸掛點位置是靠手動調(diào)節(jié)，需要同時調(diào)節(jié)懸掛點和懸線在棒的位置，操作繁瑣讀數(shù)也不方便，且難以保持懸線始終處于豎直狀態(tài)；激振器換能器輸出、拾振器換能器接收的振動信號都需要經(jīng)由懸線傳送，實驗棒振動會帶動懸線擺動，會發(fā)生棒的變形及接觸面繞其中心軸轉(zhuǎn)動，懸線對棒也會有阻尼作用；拾取器要拾取的是加速度信號，但棒被懸在空中會發(fā)生擺動，有一部分?jǐn)[動信號會被拾??；實驗時儀器振動會影響自身的平衡性，這會影響棒發(fā)生共振的頻率。

1.2通過外延法來確定棒的固有頻率

由于實驗棒比較短(約16 cm)，采集的數(shù)據(jù)點過少，造成實驗描繪的懸掛點位置和發(fā)生共振頻率關(guān)系的f-X曲線曲率不高，難以確定共振頻率的最小值，因此可以對實驗對棒的規(guī)格進行改進，增加其長度。

1.3實驗中懸掛點的位置每次改變5 mm 測一次共振頻率，間隔較大

當(dāng)間隔比較大時，測量的精確度會降低，影響實驗曲線的擬合。還有，實驗讀數(shù)時直接讀實驗棒上的標(biāo)度，棒的標(biāo)度通過手工標(biāo)注，這樣會造成比較大的誤差。

筆者綜合動態(tài)法測楊氏模量的實驗原理和實驗裝置特點， 實驗裝置進行一定程度上的改進，以期使學(xué)生熟練實驗的操作過程，提高實驗效率，加深對實驗原理的理解，達(dá)到實驗的目的。

2對上述問題的改進

基于研究所發(fā)現(xiàn)的問題， 本文設(shè)計的動態(tài)法測楊氏模量實驗裝置改進的主要內(nèi)容如下:

(1)實驗裝置的改進。實驗中將實驗棒的規(guī)格由L=16 cm，d=6 mm，改成L=23 cm，d=6 mm。將實驗裝置由懸掛法改為支撐法,將移動支架置于導(dǎo)軌上，在導(dǎo)軌上直接進行讀數(shù)；為保持實驗過程中的平衡，在激振器和拾取器下面加入平衡控制裝置(如圖1)。

圖1　改進后實驗裝置示意圖

(2)編寫配合實驗教學(xué)的指導(dǎo)方法，對實驗系統(tǒng)進行改善，提出動態(tài)支撐法測楊氏模量實驗的建議。

3動態(tài)法測楊氏模量實驗的原理和裝置

3.1受迫振動原理[4]

振動系統(tǒng)在連續(xù)的周期性外力作用下進行的振動叫做受迫振動， 根據(jù)牛頓第二定律，受迫振動的動力學(xué)方程為：

(1)

3.2實驗原理分析

一細(xì)長棒(長度比橫向尺寸大很多)的橫振動(又稱彎曲振動)滿足動力學(xué)方程[5-6]

(2)

棒的軸線沿x方向，見圖2，(2)式中η為棒上距左端x處橫截面的z方向位移，Y為該棒的楊氏模量,ρ為材料密度，s為棒的橫截面積,I為某一截面的慣量矩。

(3)

圖2　細(xì)長棒的彎曲振動

用分離變量法(separation of variables)求解該方程。

(4)

式(4)稱為頻率公式，它對任意形狀的截面試樣，不同的邊界條件下都是成立的。我們只要根據(jù)特定的邊界條件定出常數(shù)K代入特定截面的慣量矩I就可以得出具體條件下的關(guān)系式。

對于長為L兩端自由的棒，當(dāng)懸線懸掛于棒的節(jié)點附近時，并且棒的兩端均處于自由狀態(tài)，那么在兩端面上，橫向作用力與彎曲矩均為零。

將邊界條件代入通解得超越方程

cos(KL)ch(KL)=1

(5)

用數(shù)值計算法得到方程的根，依次是：

KnL=0，4.7300，7.853 2，10.995 6，14.137，17.279，20.420,…

(6)

上述第一個根“0”相應(yīng)于靜止?fàn)顟B(tài)，第二個根記為K1L=4.7300,與此相應(yīng)的振動頻率稱為基振頻率(或稱固有頻率)。

棒的橫振動節(jié)點與振動級次有關(guān)，當(dāng)n為第 1、3、5 等時，對應(yīng)于對稱形振動。當(dāng)n為第 2、4、6 等時，對應(yīng)于反對稱形振動。圖3給出了當(dāng)n=1,2,3,4時的振動波形。

圖3　棒的自由端振動波形

由n=1的圖可以看出，試樣棒在作基頻振動時存在兩個節(jié)點，它們的位置距離端面 0.224 L(距離另一端面為 0.776 L)處。理論上懸掛點應(yīng)取在節(jié)點處，但由于懸掛在節(jié)點處試樣棒難于被激振和拾振，為此，可在節(jié)點兩旁選不同點對稱懸掛，用外延法找出節(jié)點處的共振頻率。

將第一個K1L=4.7300的K值代入式(2-4)，得到棒作為基頻振動的固有頻率為：

(7)

解出楊氏模量：

(8)

(9)

3.3動態(tài)法測楊氏模量實驗裝置系統(tǒng)

原實驗系統(tǒng)(圖4、5、6)由頻率連續(xù)可調(diào)的音頻信號源輸出正弦電信號，經(jīng)激振換能器轉(zhuǎn)換為同頻率的機械振動，由懸線把機械振動傳給試樣棒，試樣棒作受迫振動， 同時其另一端的懸線再把試樣棒的機械振動傳給拾振換能器，這時機械振動又轉(zhuǎn)變成電信號，信號經(jīng)選頻放大器的濾波放大，至示波器顯示。當(dāng)信號源頻率不等于試樣棒的固有頻率時，試樣棒不發(fā)生共振，示波器上幾乎沒有電信號波形或波形很小。當(dāng)信號源的頻率等于試樣棒的固有頻率時，試樣棒發(fā)生共振，示波器上的波形突然增大，這時頻率顯示窗口顯示的頻率就是試樣在該溫度下的共振頻率，代入即可計算該溫度下的楊氏模量[7]。

圖4　FB209型動態(tài)楊氏模量測試儀結(jié)構(gòu)圖

圖5　FB209 型動態(tài)楊氏模量測試儀連接圖

4實驗系統(tǒng)的改進和實驗數(shù)據(jù)分析

4.1實驗系統(tǒng)的改進

本文對原動態(tài)法測楊氏模量實驗系統(tǒng)做了較大改進，包括對整個實驗裝置的重新設(shè)計以及改進實驗棒的規(guī)格。原實驗裝置采用的是懸掛法，為了克服其弊端，實驗裝置由懸掛法改為支撐法原實驗系統(tǒng)測量不同數(shù)據(jù)點時需同時調(diào)節(jié)換能器和懸線在實驗棒的位置，且實驗棒的刻度直接用筆描出，既繁瑣又不夠準(zhǔn)確，為了更好的讀數(shù)，將移動支架置于導(dǎo)軌上，可直接在導(dǎo)軌上進行讀數(shù)；為保持實驗過程中的平衡，在激振器和拾取器下面加入平衡控制裝置(圖6，圖7，圖8，圖9)。

圖6　改進后動態(tài)楊氏模量實驗裝置示意圖

圖7　改進前后實驗棒規(guī)格

圖8　改進前后讀數(shù)方式對比

圖9　改進后動態(tài)楊氏模量實驗裝置實物圖

4.2實驗方案

測試改進后實驗裝置的性能用改進后實驗裝置和原實驗裝置分別測試黃銅棒、純銅棒、鈦棒三種材料的楊氏模量，查詢相關(guān)資料找到三種材料楊氏模量的理論值，計算用兩種實驗裝置測得數(shù)據(jù)的相對誤差，做出比較并得出結(jié)論。

4.2.1改進后黃銅棒實驗分析及比較

用改進后實驗系統(tǒng)測量黃銅棒的楊氏模量，表1是在不同的支撐點x測得的共振頻率f的數(shù)據(jù)，表2是改進黃銅棒的規(guī)格數(shù)據(jù)(L、d、m分別是黃銅棒的長度、直徑和質(zhì)量)。

表1　改進后黃銅棒規(guī)格參數(shù)

表2　改進后實驗系統(tǒng)黃銅棒實驗數(shù)據(jù)

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，用matlab軟件描點擬合作f-x圖，并利用軟件尋找出最小頻率點，如圖10所示：

圖10　改進后實驗系統(tǒng)黃銅棒f-x圖

從圖中可以看到曲線最低點的頻率f=358.3 Hz，代入楊氏模量的計算公式可得:

通過查閱資料可知常溫下黃銅棒(Cu70 Zn30,ρ=8.45 g/cm3)的楊氏模量公認(rèn)值為：Y=1.05×1011(N/m2)，改進后實驗系統(tǒng)測得的相對誤差為9.5%。

4.2.2原黃銅棒實驗分析及比較

用原實驗系統(tǒng)測黃銅棒的楊氏模量，表3是在不同的懸掛x測得的共振頻率f的數(shù)據(jù)，表4是原黃銅棒的規(guī)格數(shù)據(jù)。

表3　原實驗系統(tǒng)黃銅棒f-x圖

表4　原實驗系統(tǒng)黃銅棒參數(shù)

根據(jù)表4數(shù)據(jù)，用matlab軟件描點擬合作f-x圖，并利用軟件尋找出最小頻率點，如圖11所示。

圖11　原實驗系統(tǒng)黃銅棒f-x圖

從圖中可得出曲線最低點的頻率f=703.4 Hz，代入公式算得：

通過查閱資料可知常溫下黃銅棒(Cu70 Zn30,ρ=8.45 g/cm3)的楊氏模量公認(rèn)值為：Y=1.05×1011(N/m2)。

原實驗系統(tǒng)測得的黃銅棒楊氏模量相對誤差為：13%。

對比改進前后的測量結(jié)果可知，改進后實驗系統(tǒng)的準(zhǔn)確度比原實驗系統(tǒng)高近4個百分點，可以看出在黃銅棒的測量上使用改進后實驗系統(tǒng)還是比較理想的。

4.2.3改進后實驗系統(tǒng)對純銅棒實驗分析

純銅又名紅銅即銅單質(zhì)，表5是在不同的支撐點x測得的共振頻率f的數(shù)據(jù)，表6是改進后純銅棒的規(guī)格數(shù)據(jù)(L、d、m分別是純銅棒的長度、直徑和質(zhì)量)。

表5　改進后實驗系統(tǒng)純銅棒實驗數(shù)據(jù)

表6　改進后實驗純銅棒規(guī)格參數(shù)

根據(jù)表5數(shù)據(jù)，用 matlab 軟件描點擬合作f-x 圖，并利用軟件尋找出最小頻率點，如圖12所示：

圖12　改進后實驗系統(tǒng)純銅棒f-x圖

從圖中可以看到曲線最低點的頻率f=385.1 Hz，代入楊氏模量的計算公式可得：

4.2.4原實驗系統(tǒng)純銅棒實驗分析及比較

用實驗系統(tǒng)測量純銅棒的楊氏模量。表7是在不同的懸掛x測得的共振頻率f的數(shù)據(jù)，表8原實驗純銅棒的規(guī)格數(shù)據(jù)(L、d、m分別是純銅棒的長度、直徑和質(zhì)量)。

表7　原實驗系統(tǒng)純銅棒實驗數(shù)據(jù)

表8　原實驗純銅棒規(guī)格參數(shù)

根據(jù)表7數(shù)據(jù)，用matlab軟件描點擬合作f-x圖，并利用軟件尋找出最小頻率點，如圖13所示：

圖13　原實驗系統(tǒng)純銅棒f-x圖

圖中可得出曲線最低點的頻率f=734.0 Hz，代入公式算得：

通過資料查詢可知常溫下純銅的楊氏模量公認(rèn)值為：

Y=1.22×1011(N/m2)

故改進后實驗系統(tǒng)測得純銅棒楊氏模量的相對誤差：

原實驗系統(tǒng)測得的純銅棒楊氏模量相對誤差：

計算結(jié)果顯示，改進后實驗系統(tǒng)測得的相對誤差為5.8%，原實驗系統(tǒng)測得的相對誤差為12%，使用改進后的實驗系統(tǒng)測量純銅棒的楊氏模量誤差明顯更小，測量更準(zhǔn)確。

4.2.5鈦棒實驗分析及比較

用改進后實驗系統(tǒng)測量鈦棒的楊氏模量。表9是在不同的支撐點x測得的共振頻率f的數(shù)據(jù)，表10是改進后鈦棒的規(guī)格數(shù)據(jù)。

表9　改進后鈦棒規(guī)格參數(shù)

表10　改進后實驗系統(tǒng)鈦棒實驗數(shù)據(jù)

根據(jù)表10數(shù)據(jù)，用matlab軟件描點擬合作f-x圖，并利用軟件尋找出最小頻率點，如圖14所示。

圖14　改進后實驗系統(tǒng)鈦棒f-x圖

從圖中可以看到曲線最低點的頻率f=489.2 Hz，代入楊氏模量的計算公式可得：

4.2.6原實驗系統(tǒng)鈦棒實驗分析

用原實驗系統(tǒng)測鈦棒的楊氏模量，表11是在不同的懸掛x測得的共振頻率f的數(shù)據(jù)，表12是原鈦棒的規(guī)格數(shù)據(jù)(L、d、m分別是鈦棒的長度、直徑和質(zhì)量)。

表11　原實驗系統(tǒng)鈦棒實驗數(shù)據(jù)

表12　原實驗鈦棒規(guī)格參數(shù)

根據(jù)表12數(shù)據(jù)，用matlab軟件描點擬合作f-x圖，并利用軟件尋找出最小頻率點，如圖15所示。

圖15　原實驗系統(tǒng)鈦棒f-x圖

圖中可得出曲線最低點的頻率f=988.4 Hz，代入公式算得

常溫下鈦的楊氏模量公認(rèn)值為

Y=1.16×1011(N/m2)

故改進后實驗系統(tǒng)測得鈦棒楊氏模量的相對誤差：

原實驗系統(tǒng)測得的鈦棒楊氏模量相對誤差：

由以上可以看出，改進后實驗系統(tǒng)測得的鈦棒楊氏模量相對誤差為8%，原實驗系統(tǒng)測得的鈦棒楊氏模量相對誤差為13%，改進后的實驗系統(tǒng)準(zhǔn)確度更高一些。

5實驗結(jié)果分析

使用改進后的實驗裝置對三種不同材料楊氏模量的測量，以純銅棒為例，通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)，很多學(xué)者研究此實驗使用的材料均是純銅棒，測得的純銅棒楊氏模量大多在(1.05～1.35)×1011(N/m2)之間，如開發(fā)者丁慎訓(xùn)教授測得的實驗結(jié)果為1.14×1011(N/m2)，相對誤差為 6.6%[8]，華南理工大學(xué)徐嘉彬測得的實驗結(jié)果為.13×1011(N/m2)，相對誤差為7.4%[9]，裝甲兵工程學(xué)院季誠響的實驗結(jié)果為1.12×1011(N/m2)，相對誤差為8.2%[10-36]，本文使用改進后實驗裝置測得的實驗結(jié)果為1.29×1011(N/m2)，相對誤差為5.8%，因此可以認(rèn)為使用改進后的實驗裝置在純銅棒的測量上取得了較好的實驗效果。 通過比較分析，改進后實驗裝置和原實驗裝置的測量結(jié)果的相對誤差均在10%左右，都具有比較高的精確度，改進后實驗裝置在測量黃銅棒、純銅棒、鈦棒時實驗誤差均比原實驗裝置更為準(zhǔn)確，達(dá)到了較為理想的實驗效果。改進后的實驗系統(tǒng)在操作的便捷性上遠(yuǎn)勝原實驗裝置，且讀數(shù)和調(diào)節(jié)都更為方便，使用改進后的實驗裝置還是有很大的優(yōu)勢。

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Improvements of Measuring the Young's Modulus by Dynamic Method and Its Research on Teaching

FAN Song-song，LIU Hua-yang，CHENG Min-xi

(South China Normal University,Guangdong Guangzhou 510006)

Abstract：Its main content is analyzing the theories and methods of Young's modulus at home and abroad,increasing the length of experiment bar(original length is 16 cm,revised length is 23 cm),increasing the measure scale；installing mobile stand on the rail,measuring every 3 mm of rail rod,increasing the amount of data；setting up the experiment device,measuring and processing the Young’s modulus of brass,copper and titanium,comparing the results of revised experiment system,original experiment system and theoretical value；improving the teaching function of revised experiment system,compiling experiment guidance.

Key words：Young's modulus；dynamic suspension method；dynamic supporting method

中圖分類號：O 4-33

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.001.014

文章編號：1007-2934(2016)01-0051-09

收稿日期：2015-10-02