孟盼,董健衛(wèi)

(廣東藥學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)院,廣東 廣州 510006)

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HR神經(jīng)元模型的放電節(jié)律分析

孟盼,董健衛(wèi)

(廣東藥學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)院,廣東 廣州 510006)

摘要:目的 研究HR神經(jīng)元的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。方法 運(yùn)用非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方法,研究外界電流對(duì)神經(jīng)元放電模式的影響。特別地，基于快慢動(dòng)力學(xué)分析,探討簇模式和峰模式不同的產(chǎn)生機(jī)理。結(jié)果 數(shù)值分析結(jié)果揭示了簇振蕩和峰振蕩模式存在的區(qū)域,此外,還發(fā)現(xiàn)了分岔序列結(jié)構(gòu)。結(jié)論 為進(jìn)一步研究外界激勵(lì)對(duì)神經(jīng)元復(fù)雜放電模式的影響提供了線(xiàn)索。

關(guān)鍵詞:HR神經(jīng)元; 簇振蕩; 峰振蕩; 快慢動(dòng)力學(xué)分析; 分岔

1984年,Hindmarsh和Rose提出了描述神經(jīng)元活動(dòng)的HR模型[1]。該模型是對(duì)神經(jīng)元放電模式的一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá),并且具有相對(duì)簡(jiǎn)單形式[2]。 已有的研究表明,當(dāng)內(nèi)部參數(shù)改變或外部激勵(lì)改變時(shí),HR神經(jīng)元的膜電位呈現(xiàn)靜息—發(fā)放—靜息的發(fā)放模式[3],并且具有豐富的放電模式,這其中就包括簇振蕩(bursting)和周期峰振蕩(spiking)等放電模式[4-5]。 鑒于不同的放電模式具有不同的動(dòng)力學(xué)特性和生物意義[6],因此理解這些放電模式產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)機(jī)理在信息傳遞中非常重要,快慢動(dòng)力學(xué)分析方法就是用來(lái)解釋簇振蕩產(chǎn)生機(jī)理的一個(gè)有力工具[7-9]。

本文以HR神經(jīng)元模型為研究對(duì)象,通過(guò)數(shù)值模擬和分岔分析,指出HR模型可以呈現(xiàn)不同的發(fā)放模式,具體為: 靜息—發(fā)放—靜息—再發(fā)放—再靜息,即系統(tǒng)可以產(chǎn)生前后2次發(fā)放,這和已有結(jié)果不同。我們進(jìn)一步分析了2次發(fā)放模式的具體類(lèi)型和動(dòng)力學(xué)機(jī)理,探討了外界直流刺激對(duì)放電模式的影響。 研究結(jié)果可應(yīng)用于討論其他類(lèi)似的神經(jīng)元模型,并對(duì)神經(jīng)元電生理實(shí)驗(yàn)有一定的指導(dǎo)作用。

1HR神經(jīng)元模型描述

由3個(gè)變量組成的HR神經(jīng)元模型如下

(1)

(2)

(3)

這里,x表示神經(jīng)元的膜動(dòng)作電位,y表示與快電流(如Na+,K+)相關(guān)的恢復(fù)變量,z表示與由Ca2+激活的K+離子電流相關(guān)的慢變調(diào)節(jié)電流。a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù),r為時(shí)間動(dòng)力學(xué)常數(shù),χ為與Ca2+有關(guān)的反轉(zhuǎn)電位,I表示外界直流刺激,這里作為控制參數(shù)。 膜電位和電流的單位分別mV和 A/cm2。 為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),下文的參數(shù)在敘述時(shí)將不再敘述單位。 在本研究中，具體參數(shù)取值為：a=2,b=2.5,c=1,d=5,s=4,r=0.01,χ=-1.6。 由于r是一個(gè)小常數(shù),因此變量z的變化要比其他變量慢很多,故整個(gè)系統(tǒng)(1)-(3)可以分為快子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng)[5,7]。 方程(1)-(2)構(gòu)成快子系統(tǒng),慢變量z作為快子系統(tǒng)的分岔參數(shù)。

2HR神經(jīng)元的放電模式

首先,考慮全系統(tǒng)(1)-(3)的平衡點(diǎn)和極限環(huán),如圖1所示。 實(shí)線(xiàn)(虛線(xiàn))代表穩(wěn)定(不穩(wěn)定)狀態(tài); 黑線(xiàn)(紅線(xiàn))代表平衡點(diǎn)(極限環(huán))。 可以看出,在平衡點(diǎn)的分岔曲線(xiàn)上共有4個(gè)Hopf分岔點(diǎn),分別記為H1、H2、H3和H4。 在第一個(gè)分岔點(diǎn)H1=2.747時(shí),穩(wěn)定平衡點(diǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定,同時(shí)產(chǎn)生穩(wěn)定極限環(huán)(如右下角局部放大圖所示),因此這個(gè)點(diǎn)為supHopf分岔點(diǎn)[8],系統(tǒng)開(kāi)始第1次發(fā)放。 隨著參數(shù)I的增加,穩(wěn)定的極限環(huán)依次經(jīng)過(guò)4個(gè)倍周期分岔點(diǎn)LC1、LC2、LC3和LC4后,其穩(wěn)定性保持不變,最終經(jīng)過(guò)第2個(gè)supHopf分岔點(diǎn)H2=5.391時(shí),系統(tǒng)回到穩(wěn)定的靜息狀態(tài)。 當(dāng)控制參數(shù)I持續(xù)增加到第3個(gè)supHopf分岔點(diǎn)H3=6.984時(shí),穩(wěn)定的靜息態(tài)又一次被破壞,系統(tǒng)開(kāi)始第2次發(fā)放。 穩(wěn)定的極限環(huán)經(jīng)過(guò)最后1個(gè)supHopf分岔點(diǎn)H4=8.348消失,系統(tǒng)回歸到靜息狀態(tài)。 因此全系統(tǒng)的狀態(tài)依次為: 靜息態(tài)—發(fā)放—靜息態(tài)—再發(fā)放—再靜息。 下面解釋前后2次不同發(fā)放模式的具體類(lèi)型。

當(dāng)控制參數(shù)I位于H1和H2之間時(shí),系統(tǒng)(1)-(3)呈現(xiàn)第1次發(fā)放。 圖2(a) 給出了相鄰動(dòng)作電位的峰峰間期序列ISIs關(guān)于I的分岔圖[4]。 從圖2可

1.00.50-0.5-1.0-1.5H1LC3024681012LC2LC4LC1H2H3H4H1Ix

圖1HR神經(jīng)元(1)-(3)關(guān)于電流I的分岔結(jié)構(gòu)圖。 右下角為點(diǎn)H1附近的局部放大圖

Figure 1Bifurcation diagram for the system (1)-(3) vs the external currentI

120100806040200ISIs121086420ISIs3.03.54.04.55.05.5I(a)(b)

圖2 (a) HR神經(jīng)元關(guān)于電流I的峰峰間期(ISIs)分岔圖,

I∈[H1，H2]; (b) 簇中的峰的ISIs分岔圖

Figure 2(a) Bifurcation diagram ofISIsvs the external currentI,and (b)ISIsfor the spikes within per bursting

以看出,系統(tǒng)整體呈現(xiàn)簇放電模式,并且簇與簇之間的靜息態(tài)呈現(xiàn)先減少后增加的趨勢(shì)。 圖2(b) 是圖2(a)的局部放大圖,即簇中的峰關(guān)于參數(shù)I的ISIs分岔圖。 從圖2(b)可以看出,隨著外界直流電I的增加,神經(jīng)元的放電節(jié)律經(jīng)歷了加周期分岔,依次產(chǎn)生了周期-2簇放電,周期-3簇放電,而后周期個(gè)數(shù)逐步增加,直至周期-10簇放電。 為了更清楚地觀(guān)察簇放電模式,分別取I=2.8,3,4,5，在圖3上給出了對(duì)應(yīng)的膜電位的時(shí)間歷程的進(jìn)展。 可以看出,隨著外界激勵(lì)I(lǐng)的增加,神經(jīng)元的放電節(jié)律從簇內(nèi)僅含有2個(gè)峰的簇放電激變?yōu)榇貎?nèi)含有多個(gè)峰的簇放電。

接下來(lái)研究簇模式的類(lèi)型。 以控制參數(shù)I=4為例,利用快慢動(dòng)力學(xué)分岔方法進(jìn)行分析[7],如圖4所示。 快子系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的分岔曲線(xiàn)是一條Z形曲線(xiàn),其上支、中支和下支分別由焦點(diǎn),鞍點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)組成。 可以看出,上支的穩(wěn)定焦點(diǎn)(實(shí)線(xiàn))經(jīng)由點(diǎn)H1處的supHopf分岔而失穩(wěn)(虛線(xiàn)),同時(shí)產(chǎn)生了穩(wěn)定極限環(huán); 隨著慢變量z的增加,穩(wěn)定極限環(huán)經(jīng)由supHopf 分岔H2消失而轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定焦點(diǎn)(實(shí)線(xiàn))。 全系統(tǒng)(1)-(3)的軌線(xiàn)以及慢子系統(tǒng)(3)的零傾線(xiàn)(藍(lán)線(xiàn))也都疊加在分岔圖上。

20-220-220-220-2100150200250300350400450500050xt

圖3外界直流刺激I=2.8、 3、4、5時(shí),振蕩模式由周期-2的簇放電模式轉(zhuǎn)變到周期-10的簇放電模式

Figure 3Firing patterns changes from period-2 into period-10 bursting with the external currentI=2.8,3,4 and 5

1.00.50-0.5-1.0-1.5H1xH2F2F13.84.04.24.44.64.85.05.2z

圖4外界直流電I=4時(shí),快子系統(tǒng)(1)-(2)關(guān)于參數(shù)z的分岔圖

Figure 4Bifurcation diagram of the fast subsystem (1)-(2) vs the slow variablezwithI=4

慢子系統(tǒng)的零傾線(xiàn)和Z形曲線(xiàn)的中支相交,產(chǎn)生了一個(gè)雙穩(wěn)區(qū)域[10]。 該雙穩(wěn)區(qū)域由下支的穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)和從H1產(chǎn)生的穩(wěn)定極限環(huán)所構(gòu)成,因此系統(tǒng)處于簇振蕩放電模式。 全系統(tǒng)軌線(xiàn)沿著Z形曲線(xiàn)下支,經(jīng)由鞍結(jié)分岔點(diǎn)F1消失而轉(zhuǎn)遷到Z形曲線(xiàn)上支穩(wěn)定極限環(huán)附近,這意味著簇振蕩由靜息態(tài)轉(zhuǎn)遷為放電狀態(tài),繼而由于穩(wěn)定極限環(huán)經(jīng)由supHopf分岔點(diǎn)H2轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定焦點(diǎn),最后經(jīng)由鞍結(jié)分岔F2轉(zhuǎn)遷到Z形曲線(xiàn)下支的靜息狀態(tài)。 根據(jù)快慢動(dòng)力學(xué)分析的分類(lèi)方法,此簇放電模式稱(chēng)為“fold/Hopf”型簇放電[8]。

除了上述這2種與放電狀態(tài)產(chǎn)生或結(jié)束有關(guān)的分岔外,還有引起滯后環(huán)產(chǎn)生的分岔,即從簇放電的下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)遷到上狀態(tài)的分岔為點(diǎn)F1處的鞍結(jié)分岔和從簇放電的上狀態(tài)轉(zhuǎn)遷到下?tīng)顟B(tài)的分岔為點(diǎn)F2處的鞍結(jié)分岔。 因此當(dāng)控制參數(shù)I位于H1和H2之間時(shí),系統(tǒng)表現(xiàn)出經(jīng)由“fold/fold”滯后環(huán)的“fold/Hopf”型簇放電的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[9]。

當(dāng)控制參數(shù)I位于H3和H4之間時(shí),系統(tǒng)(1)-(3)呈現(xiàn)第2次發(fā)放。 從圖1可以看出,穩(wěn)定極限環(huán)的振幅很小,一般來(lái)說(shuō),這時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生連續(xù)峰振蕩模式[10]。 以控制參數(shù)I=7.5為例,圖5 (a)和圖5(b)為時(shí)間序列圖和相應(yīng)的快慢動(dòng)力學(xué)分析。 和圖4相比較,慢子系統(tǒng)的零傾線(xiàn)和快子系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)相交,導(dǎo)致雙穩(wěn)區(qū)域消失,故全系統(tǒng)的軌線(xiàn)趨近于唯一的吸引子——穩(wěn)定極限環(huán),因而產(chǎn)生連續(xù)峰放電而不是簇放電模式[10]。

1.00.80.60.40.2010203040500z1.00.50-0.5-1.0-1.5xxz7.07.58.08.59.0H1H2F2F1(a)(b)

圖5(a)外界直流電I=7.5時(shí),連續(xù)峰放電模式；

(b) 相應(yīng)的快慢動(dòng)力學(xué)分析

Figure 5(a) Continuous spiking withI=7.5,and

(b) corresponding fast-slow analysis

3結(jié)論

本文研究了HR神經(jīng)元的放電節(jié)律。 首先,利用全系統(tǒng)的單參數(shù)分岔分析指出在合適的參數(shù)條件下,系統(tǒng)存在著2個(gè)不同的振蕩區(qū)域,即分別為簇振蕩區(qū)域和峰振蕩區(qū)域; 其次,利用快子系統(tǒng)的單參數(shù)分岔分析并結(jié)合慢變量的零傾線(xiàn)來(lái)解釋簇振蕩和峰振蕩產(chǎn)生的機(jī)理,并指明了簇振蕩模式的類(lèi)型。 特別地,利用峰峰間期分岔圖探討了外界直流輸入對(duì)簇振蕩模式的影響,結(jié)果表明系統(tǒng)存在著加周期現(xiàn)象。 以上這些結(jié)論將有助于進(jìn)一步了解外界激勵(lì)對(duì)神經(jīng)元放電模式的影響。

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(責(zé)任編輯：王昌棟)

Firing rhythm analysis in HR neuron model

MENG Pan,DONG Jianwei

(SchoolofBasicCourses,GuangdongPharmaceuticalUniversity,Guangzhou510006,China)

Abstract:Objective To study the complex dynamical behavior of HR neuron. Methods The influence of external current on the firing patterns was investigated with the method of nonlinear dynamics. Especially,based on fast-slow analysis,the generation mechanism of bursting and firing rhythm was explored. Results Numerical simulation revealed the different parameter domain for bursting and spiking individually. In addition,the structure of bifurcation sequence was obtained. Conclusion This study is instructive for understanding the role of outside stimulus played in complex neuron activities.

Key words:HR neuron; bursting； firing; fast-slow analysis； bifurcation

DOI:10.16809/j.cnki.1006-8783.2015112801

中圖分類(lèi)號(hào):Q42

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1006-8783(2016)01-0115-04

作者簡(jiǎn)介：孟盼(1981—),女,博士,講師,主要從事神經(jīng)動(dòng)力學(xué)研究,Email: mengpan200e@163.com。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11402057)；廣東省普通高校青年創(chuàng)新人才項(xiàng)目(2014KQNCX137)

收稿日期：2015-11-28

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2016-01-07 11:58網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/44.1413.R.20160107.1158.001.html