江蘇省海門市東洲中學(xué) 徐 新

數(shù)學(xué)思想方法在“解決問題”教學(xué)中的有效應(yīng)用

江蘇省海門市東洲中學(xué) 徐 新

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本所在，無論是義務(wù)教育階段的全民學(xué)習(xí)，還是高校的數(shù)學(xué)專業(yè)深造，我們經(jīng)歷的所有過程的最終目的就是讓學(xué)生掌握其中的思想方法，最終將思想方法應(yīng)用到所有的數(shù)學(xué)問題中，甚至延伸到生活、生產(chǎn)之中，最終服務(wù)于學(xué)生的更好的發(fā)展和提升。

思想；數(shù)形結(jié)合；分類討論；轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，也是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法之一。在以往的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的注意力只放在對(duì)數(shù)學(xué)的概念、公式、定理等的教學(xué)上，常常會(huì)忽略對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的傳授。這樣的教學(xué)是淺顯的/表層的，不利于學(xué)生的進(jìn)一步發(fā)展。因此，教師在教學(xué)中更要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)與開發(fā)。教師可以借助數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生通過運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，進(jìn)而吸收、掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的精髓。

一、數(shù)形結(jié)合思想方法在解決問題中的應(yīng)用

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，會(huì)接觸到大量的練習(xí)，而在這些練習(xí)中存在很多較為抽象的練習(xí)題，如果一味地憑借學(xué)生的空間想象，很難分析到實(shí)處，出錯(cuò)率極高。而數(shù)形結(jié)合思想方法有能夠?qū)⒊橄髲?fù)雜的數(shù)學(xué)內(nèi)容，變成更加真實(shí)具體的應(yīng)用，因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問題，以促進(jìn)學(xué)生觀察、思考，提高解題效率。

例如：在教學(xué)“一元一次不等式組”時(shí)，教師發(fā)現(xiàn)如果直接讓學(xué)生解不等式，之后憑借自己大腦的想象求得最后的解集，會(huì)有很多學(xué)生出錯(cuò)，而且出錯(cuò)率非常高。因此，教師選擇引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題。課堂教學(xué)中，教師給出學(xué)生問題：解不等式組2x-1＞0，4-2x≤0，2x-4≤2。之后，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已學(xué)過的解不等式的知識(shí)內(nèi)容，分別求出這三個(gè)不等式的解。x＞；x≥2；x≤3，學(xué)生在陸陸續(xù)續(xù)求出這三個(gè)不等式的解后，都清楚接下來所要做的就是找它們?nèi)齻€(gè)的共同解集。此時(shí)，教師不再任由學(xué)生想象，而是引導(dǎo)學(xué)生拿出筆，在草稿紙上畫出數(shù)軸，將求得的這三個(gè)解集相應(yīng)地標(biāo)注在數(shù)軸上，然后將其三個(gè)解集的重合部分涂黑，做上標(biāo)記。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，成功地畫出相應(yīng)的數(shù)軸圖像。在畫出圖像后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)最后結(jié)果非常清晰地呈現(xiàn)在自己面前，對(duì)其解集一目了然。學(xué)生感到這樣的數(shù)形結(jié)合讓解題的過程變得輕松很多。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解題，將數(shù)學(xué)內(nèi)容化繁為簡，讓學(xué)生可以有機(jī)會(huì)更加直觀地觀察數(shù)學(xué)內(nèi)容。這種教學(xué)方法的應(yīng)用，有效地提高了學(xué)生的解題正確率，提升了學(xué)生的解題效果。

二、分類討論思想方法在解決問題中的應(yīng)用

教給學(xué)生知識(shí)內(nèi)容，不如教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法，以更好地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。因此，教師在具體教學(xué)中，要更加注重對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)，注重教給學(xué)生更多的解題技巧。教師可以嘗試著，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論的思想方法解決問題，進(jìn)而訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行科學(xué)的分類，讓學(xué)生在解題的過程中思路更加清晰，在解題時(shí)對(duì)于煩瑣的結(jié)果，做到既不會(huì)重復(fù)也不會(huì)遺漏。

例如：在教學(xué)“一次函數(shù)”時(shí)，教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)了相關(guān)知識(shí)內(nèi)容后，為學(xué)生設(shè)計(jì)了一道練習(xí)題：一次函數(shù)y=kx+b的自變量的取值范圍是-4≤x≤8，相應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍是-5≤y≤1，請(qǐng)求出這個(gè)一次函數(shù)的解析式。學(xué)生在讀完題后，很自然地想到將x、y值代入，而且大部分學(xué)生會(huì)想到當(dāng)x=-4時(shí)，y=-5，當(dāng)x=8時(shí)，y=1，這樣就會(huì)相應(yīng)地求出所謂的k值和b值。很顯然，學(xué)生只考慮了其中一種情況。由此，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論的思想方法來解決這一問題。首先，教師讓學(xué)生思考，自變量與因變量與k的關(guān)系，學(xué)生經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k的值大于0或小于0時(shí)，因變量隨著自變量的增大，有著不一樣的變化趨勢(shì)。之后，教師引導(dǎo)學(xué)生分類討論這一問題。于是，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下思考，當(dāng)k值大于0時(shí)，得到兩個(gè)方程，當(dāng)k小于0時(shí)，又列出兩個(gè)不同的方程式。經(jīng)過分類討論，最后學(xué)生發(fā)現(xiàn)有兩種不同的結(jié)果。

運(yùn)用分類討論的思想方法解題，讓學(xué)生的解題思路變得更加清晰明了，對(duì)數(shù)學(xué)問題有了更系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，保障了解題結(jié)果的完善度。

三、靈活轉(zhuǎn)化思想方法在解決問題中的應(yīng)用

靈活轉(zhuǎn)化思想方法就是將復(fù)雜陌生的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化為簡單熟悉的已知問題，使得數(shù)學(xué)問題變得簡單易解。教師在實(shí)際教學(xué)中，要下意識(shí)地在課堂教學(xué)中為學(xué)生滲透轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用轉(zhuǎn)化思想方法解決數(shù)學(xué)問題，掌握其解題技巧，提高解題效率。

例如：在教學(xué)“整式的乘法與因式的分解”時(shí)，教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)了有關(guān)平方差公式后，為學(xué)生設(shè)計(jì)了一道練習(xí)題：a+b=2，求a2-b2+4b的值，學(xué)生在拿到這道題后，發(fā)現(xiàn)如果直接計(jì)算很難求出結(jié)果，一時(shí)之間不知該從何下手。此時(shí)，教師開始引導(dǎo)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想方法解決這一問題。首先，教師讓學(xué)生觀察第二個(gè)算式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中a2-b2很熟悉，可以根據(jù)今天所學(xué)的平方差公式轉(zhuǎn)化為a2-b2=（a+b）（a-b），這樣就可以將原式轉(zhuǎn)化為a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b，有根據(jù)已知條件a+b=2，可以得出（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a-2b+4b=2a+2b=2（a+b）=4。學(xué)生就這樣在教師的指引下，一步步地轉(zhuǎn)化，將陌生難懂的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識(shí)內(nèi)容，并輕松地求出最后的結(jié)果。

靈活轉(zhuǎn)化思想方法的應(yīng)用，將陌生未知的數(shù)學(xué)內(nèi)容，轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生了解學(xué)過的知識(shí)內(nèi)容，將復(fù)雜煩瑣的問題變得更加簡單易懂。這一靈活的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生確定了思考方向，有了清晰的解題思路。

總之，數(shù)學(xué)思想方法在“解決問題”中起著很重要的作用，能夠有效地挖掘?qū)W生思維潛能，提高學(xué)生的解題效率，更能引領(lǐng)學(xué)生的思維方向和思維習(xí)慣，促使學(xué)生整體思維能力的提升。在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要有意識(shí)地滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的啟迪和培養(yǎng)。傳授學(xué)生更多的解題技巧的同時(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)采用相應(yīng)的思想方法來靈活多變，不僅輕松巧妙地突破了解題，提高了解題的正確率和速度，更實(shí)現(xiàn)了高效減負(fù)的課堂教學(xué)，促使了學(xué)生學(xué)習(xí)能力、應(yīng)用能力的提升。