楊興明,　段　舉

(合肥工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院,安徽 合肥　230009)

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兩輪自平衡車的自適應(yīng)模糊滑?？刂?/p>

楊興明,段舉

(合肥工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院,安徽 合肥230009)

摘要:針對兩輪自平衡車的平衡控制問題,文章提出一種自適應(yīng)模糊滑?？刂品椒?。將整個(gè)平衡控制系統(tǒng)分為擺角子系統(tǒng)和位移子系統(tǒng);利用分層滑?？刂撇呗酝茖?dǎo)出系統(tǒng)總的控制律;針對控制律中存在的系統(tǒng)不確定部分,利用模糊邏輯的萬能逼近功能進(jìn)行估計(jì),并基于Lyapunov方法設(shè)計(jì)相應(yīng)的自適應(yīng)律;考慮到線性滑模面斜率對于系統(tǒng)性能的影響,采用模糊控制方法對其進(jìn)行調(diào)節(jié),進(jìn)一步改善了控制系統(tǒng)的品質(zhì)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制方法的有效性,而且優(yōu)化后的控制器具有較好的控制效果和魯棒性。

關(guān)鍵詞:兩輪自平衡車;分層滑模控制;Lyapunov方法;模糊控制

0引言

兩輪自平衡車是一類典型的欠驅(qū)動系統(tǒng),它具有欠驅(qū)動、非線性、強(qiáng)耦合、多變量的特點(diǎn)，其應(yīng)用前景引起了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[1-2]。傳統(tǒng)PID、LQR等線性控制方法不適用于非線性系統(tǒng),因而先進(jìn)的智能控制方法得到了研究人員的重視,滑模控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、迭代學(xué)習(xí)和遺傳算法等具有代表性的控制方法的設(shè)計(jì)各有特點(diǎn)。其中,滑模控制的特點(diǎn)在于系統(tǒng)的“結(jié)構(gòu)”不固定,即隨著當(dāng)前系統(tǒng)的狀態(tài)不斷變化,能按照預(yù)定的“滑動模態(tài)”作軌跡運(yùn)動;滑?？刂品€(wěn)定性強(qiáng)、魯棒性較好,實(shí)現(xiàn)相對容易,因此得到了廣泛的應(yīng)用[3]。

為實(shí)現(xiàn)對欠驅(qū)動系統(tǒng)的有效控制,文獻(xiàn)[4]提出一種用多輸入、單輸出的模糊控制器來穩(wěn)定系統(tǒng)的方法;文獻(xiàn)[5]從能量角度來設(shè)計(jì)穩(wěn)定控制方法;文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)一種輸入整形方法來克服欠驅(qū)動龍門吊車的擺動問題。然而,上述針對欠驅(qū)動系統(tǒng)的控制方法都是在模型較為精確的前提下設(shè)計(jì)的。很多情況下,系統(tǒng)往往具有不確定性,無法對系統(tǒng)建立精確模型。文獻(xiàn)[7]采用分層滑?？刂品椒▽?shí)現(xiàn)對欠驅(qū)動系統(tǒng)的控制，在該方法中,對于系統(tǒng)的不確定性采用了上界估計(jì)方法,其控制增益選取必須大于上界值,而這容易引發(fā)抖振現(xiàn)象；文獻(xiàn)[8]針對一類二階系統(tǒng)提出了一種自適應(yīng)模糊滑模控制方法,對系統(tǒng)中的不確定部分進(jìn)行模糊逼近,能夠避免抖振。

為解決欠驅(qū)動兩輪自平衡車的控制問題,本文在分層滑模控制基礎(chǔ)之上設(shè)計(jì)了一種新型自適應(yīng)模糊滑?？刂品椒?對于系統(tǒng)中的建模不確定部分采用了自適應(yīng)模糊算法進(jìn)行模糊逼近;考慮到滑模面斜率影響系統(tǒng)的性能,采用模糊推理進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整,進(jìn)一步提高控制系統(tǒng)的品質(zhì);同時(shí)給出了相應(yīng)的理論推導(dǎo)和仿真結(jié)果。

1系統(tǒng)建模

圖1　兩輪自平衡車模型示意圖

參考文獻(xiàn)[9],對自平衡車建模,考慮到小車轉(zhuǎn)彎控制對車體的平衡沒有影響且控制簡單,故本文將重點(diǎn)放在系統(tǒng)的擺桿角度和速度狀態(tài)控制過程。定義X=[θPωPXRMvRM]T為狀態(tài)變量,建立系統(tǒng)的線性化狀態(tài)方程如下:

(1)

u=0.5UL+0.5UR,

(2)

其中,x1=θP;x2=ωP;x3=XRM;x4=vRM；dθ(t)、dx(t)為外在的干擾,實(shí)際情況下它們都是具有上界的,即|dθ(t)|≤dθM,|dx(t)|≤dxM。

2控制器設(shè)計(jì)

采用分層滑?？刂品绞?設(shè)計(jì)每一層的滑模面如下：

(3)

(4)

S=as1+s2

(5)

其中,ei=xi-xid(i=1,2,3,4)為各狀態(tài)變量的跟蹤誤差；c1、c2為正的滑模面系數(shù)。由(3)~(5)式可以得到:

(6)

(7)

對S求導(dǎo),可得:

(8)

代入(3)式和(4)式,可得:

(9)

其中,f=afθ+fx；g=agθ+gx；d=adθ+dx。顯然d是有界的,設(shè)|d|≤adθM+dxM≤dM。

為了使滑模面保持穩(wěn)定,設(shè)計(jì)趨近律為:

(10)

其中,η>dM。可以得到如下的控制律：

(11)

設(shè)計(jì)模糊推理規(guī)則,即

THENyisBj。

采用單點(diǎn)模糊化、乘積推理、重心解模糊法則可得系統(tǒng)輸出為:

(12)

(13)

定義最優(yōu)估計(jì)的參數(shù)如下:

(14)

(15)

估計(jì)參數(shù)的誤差可表示為:

(16)

(17)

假設(shè)

(18)

(19)

其中,μf,μg>0。自適應(yīng)律設(shè)計(jì)如下:

(20)

(21)

其中,γf,γg>0。投影函數(shù)定義如下:

(22)

其中

(23)

最后,定義控制律為:

(24)

這里,由于控制輸入u被設(shè)計(jì)為有界的,故ω是有界的[8]。假設(shè)|ω|≤ωM,且有η>ρ+dM,ρ=μf+μgωM。

下面來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。令

(25)

對其求導(dǎo),可得:

(26)

將(23)式代入(26)式得:

(27)

由(16)式和(17)式可得:

(28)

根據(jù)(18)式和(19)式,有

(29)

可得:

(30)

由前面自適應(yīng)律的定義可以得到:

(31)

所以

(32)

于是,滑模面能夠在有限時(shí)間到達(dá),即系統(tǒng)穩(wěn)定性得證。

針對(3)式和(4)式所用的每個(gè)子滑模面,當(dāng)其處于滑動模態(tài)時(shí),即

(33)

(34)

對其求解可以得到:

(35)

(36)

由上述表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn),滑模面的斜率c1、c2對系統(tǒng)性能的影響較大。當(dāng)它們的取值過大或過小時(shí),要么影響系統(tǒng)的上升時(shí)間,要么影響超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間[11]。然而,若將斜率取為定常數(shù),那么系統(tǒng)的性能將隨著初始狀態(tài)的選取而不一樣。為了取得良好的系統(tǒng)性能,采用模糊推理系統(tǒng)對滑模面斜率進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)。對于子滑模面s1、s2設(shè)計(jì)模糊規(guī)則,即

表1　子滑模面模糊規(guī)則表

由表1可以看出,在上述模糊規(guī)則的控制下,當(dāng)小車系統(tǒng)的擺角或位移的跟蹤誤差絕對值較大時(shí),由推理系統(tǒng)可獲得較大的斜率值,促使系統(tǒng)狀態(tài)更快地收斂到子系統(tǒng)的滑模面。

對于(5)式所示的總滑模面S來說,參數(shù)a反映了擺角子系統(tǒng)與位移子系統(tǒng)之間的實(shí)時(shí)關(guān)系。若a取值偏小,則意味著擺角子系統(tǒng)在控制中占主要作用;反之,則位移子系統(tǒng)占主要作用。這里同樣采取模糊推理系統(tǒng)來調(diào)節(jié)。設(shè)計(jì)模糊規(guī)則,即

THEN Δaisaj。

其中,B為輸入變量|s1|的模糊集;Δaj為輸出變量Bj的模糊集。定義a=a0+tΔa,其中,a0為a的基本值,t>0為模糊調(diào)節(jié)的系數(shù),Δa為調(diào)節(jié)量。模糊規(guī)則定義見表2所列。輸入、輸出均選取均勻分布的三角形隸屬度函數(shù),解模糊采用重心法。

表2　總滑模面模糊規(guī)則表

按表2設(shè)計(jì)，當(dāng)擺角子系統(tǒng)距離滑模面較遠(yuǎn),即|s1|值偏大時(shí),經(jīng)模糊系統(tǒng)得到的a值較大,使擺角子系統(tǒng)占主要作用,促使子系統(tǒng)的狀態(tài)值減小,則a又變小,最終可使整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)收斂到滑模面。

3仿真

實(shí)際的模型參數(shù)見表3所列。

表3　模型參數(shù)

注：mR單位為kg；JR單位為kg·m2。

將表3中的參數(shù)代入(1)式求得狀態(tài)方程為:

定義本文的自適應(yīng)模糊規(guī)則，即

THENy=θj。

其中,輸入Aj的模糊集為{N,P},表示{負(fù),正};Bj的模糊集為{NB,NM,NS,PS,PM,PB},表示{負(fù)大,負(fù)中,負(fù)小,正小,正中,正大}。隸屬度函數(shù)定義如下:

選取2種控制器,即傳統(tǒng)分層滑?？刂破鱗7](情形1)和自適應(yīng)模糊滑?？刂破?情形2),對兩輪小車的自平衡過程進(jìn)行仿真。假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為:θP=0.3,XRM=0.1,ωP=0,vRM=0。即初始擺角為0.3 rad(17°),位移為0.1 m,角速度、速度均為0。在整個(gè)過程中引入系統(tǒng)不確定性干擾IJ,則2種控制下擺角和位移趨近平衡過程的仿真曲線如圖2所示。2種控制器的控制輸入的變化曲線如圖3所示。

由圖2可知,與傳統(tǒng)分層滑?？刂品椒ㄏ啾?采用本文所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)模糊滑?？刂品椒ê?系統(tǒng)在超調(diào)量和響應(yīng)速度上得到明顯改善。圖2b表明,本文的方法由于采用了模糊逼近策略,能夠避免傳統(tǒng)方法中因不確定項(xiàng)上界值估計(jì)不當(dāng)而出現(xiàn)的抖振現(xiàn)象。2種情形下的系統(tǒng)狀態(tài)變量的歸一化均方誤差(NMSE)見表4所列,其值能夠較好地反映系統(tǒng)的跟蹤精度[12]。由表4可以看出,本文的方法能夠進(jìn)一步提高系統(tǒng)的跟蹤效果。

圖2　2種控制下擺角和位移的仿真曲線

圖3　控制輸入的變化曲線

情形擺角位移情形10.02670.8602情形20.01740.6274

4結(jié)束語

本文針對兩輪自平衡車的平衡控制問題，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)模糊滑?？刂品椒?將整個(gè)平衡控制系統(tǒng)分解為2個(gè)子系統(tǒng),通過分層滑?？刂品椒ǖ玫较到y(tǒng)總的控制律,并采用模糊逼近策略來估計(jì)系統(tǒng)不確定項(xiàng);在此基礎(chǔ)上,運(yùn)用模糊推理法調(diào)節(jié)滑模面斜率,改善系統(tǒng)的控制性能。仿真結(jié)果表明，此控制方法能夠獲得較好的動態(tài)特性。

[1]Gao B，Zhang X，Chen H，et al.Energy-based control design of an underactuated 2-dimensional TORA system[C]//IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems.IEEE，2009:1296-1301.

[2]Li Z,Zhang Y N.Robust adaptive motion force control for wheeled inverted pendulums[J].Automatica，2010，46(8):1346-1353.

[3]劉金琨,孫富春.滑模變結(jié)構(gòu)控制理論及其算法研究與進(jìn)展[J].控制理論與應(yīng)用,2007,24(3):407-408.

[4]Yi J Q，Yubazaki N，Hirota K.A new fuzzy controller for stabilization of parallel-type double inverted pendulum system[J].Fuzzy Sets and Systems，2002，126(1):105-119.

[5]Fantoni I，Lozano R，Spong M W.Energy based control of the Pendubot[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2000，45(4):725-729.

[6]Singhose W，Porter L，Kenison M，et al.Effects of hoisting on the input shaping control of gantry cranes[J].Control Engineering Practice，2000，8(10):1159—1165.

[7]Lin C M，Mon Y J.Decoupling control by hierarchical fuzzy sliding-mode controller[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology，2005，13(4):593-598.

[8]Roopaei M，Zolghadri M，Meshksar S.Enhanced adaptive fuzzy sliding mode control for uncertain nonlinear systems[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2009，14(9/10):3670-3681.

[9]楊興明,段舉,朱建,等.基于模糊調(diào)節(jié)的兩輪自平衡車的終端滑模分解控制[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014,37(10): 1187-1193.

[10]Chiang C C，Yeh Y W.Hierarchical fuzzy sliding-mode control for uncertain nonlinear under-actuated systems[C]//IEEE International Conference on Fuzzy Systems.IEEE，2014:662-669.

[11]Liu D T，Yi J Q，Zhao D B，et al.Adaptive sliding mode fuzzy control for a two-dimensional overhead crane[J].Mechatronics，2005,15(5):505-522.

[12]Wai R J，Kuo M A，Lee J D.Design of cascade adaptive fuzzy sliding-mode control for nonlinear two-axis inverted-pendulum servomechanism[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2008,16(5):1232-1244.

Adaptive fuzzy sliding mode control for two-wheeled self-balancing cart

YANG Xing-ming, DUAN Ju

(School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:In order to solve the problem of balance control of two-wheeled self-balancing cart, an adaptive fuzzy sliding mode control method is proposed. Firstly, the balance control system is decomposed into swing angle subsystem and position subsystem. Then the control law of systems is derived by using hierarchical sliding mode control strategy. Meanwhile, the universal approximation function of fuzzy logic is used to deal with the uncertain part of the system, and the adaptive law is designed based on Lyapunov method. Finally, the fuzzy control method is used to adjust the slope of the linear sliding mode surface, which is related to the system performance, so that the quality of the control system is further improved. The simulation results prove that this control method is effective, and the optimized controller can get better adaptability and control results.

Key words:two-wheeled self-balancing cart; hierarchical sliding mode control; Lyapunov method; fuzzy control

中圖分類號:TP273.5

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-5060(2016)02-0184-06

Doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.02.008

作者簡介：楊興明(1977-),男,云南安寧人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61100211)

收稿日期：2014-12-30；修回日期：2015-03-18