基于四元數(shù)法進(jìn)行發(fā)射車(chē)不調(diào)平瞄準(zhǔn)控制

劉顯勤，吳林瑞，趙慧莉

（北京航天發(fā)射技術(shù)研究所，北京，100076）

基于四元數(shù)法進(jìn)行發(fā)射車(chē)不調(diào)平瞄準(zhǔn)控制

劉顯勤，吳林瑞，趙慧莉

（北京航天發(fā)射技術(shù)研究所，北京，100076）

利用四元數(shù)法推導(dǎo)發(fā)射車(chē)不調(diào)平進(jìn)行瞄準(zhǔn)控制的起豎角和回轉(zhuǎn)角，給出起豎角和回轉(zhuǎn)角理論確定值計(jì)算式的推導(dǎo)過(guò)程，并與現(xiàn)有的修正方法進(jìn)行了比較。研究結(jié)果表明，四元素法可以比較簡(jiǎn)單地實(shí)現(xiàn)不調(diào)平進(jìn)行瞄準(zhǔn)控制起豎角和回轉(zhuǎn)角的解算，用于發(fā)射車(chē)不調(diào)平的瞄準(zhǔn)控制。

四元數(shù)；不調(diào)平；瞄準(zhǔn)

0 引 言

傾斜式發(fā)射車(chē)可以為戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈、火箭彈等提供初始射角和射向（大地坐標(biāo)系）。進(jìn)行瞄準(zhǔn)時(shí)，如果測(cè)量值不是絕對(duì)角度（如采用軸角編碼器測(cè)量起豎、回轉(zhuǎn)的相對(duì)角度），當(dāng)射向瞄準(zhǔn)的回轉(zhuǎn)軸與水平面不垂直時(shí)，會(huì)使起豎和回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)存在耦合，導(dǎo)致相對(duì)測(cè)量值的起豎角與大地坐標(biāo)系的俯仰角、相對(duì)測(cè)量值的回轉(zhuǎn)角與大地坐標(biāo)系的方向角之間存在強(qiáng)非線性關(guān)系，這給瞄準(zhǔn)特別是高精度瞄準(zhǔn)帶來(lái)了不可忽視的誤差。通常的方法是進(jìn)行發(fā)射車(chē)調(diào)平，使回轉(zhuǎn)平臺(tái)的水平度在可接受的范圍內(nèi)，保證瞄準(zhǔn)精度在誤差范圍內(nèi)。當(dāng)發(fā)射車(chē)不平度較大時(shí)，要達(dá)到較高的調(diào)平精度，不但需要較長(zhǎng)的時(shí)間，而且也對(duì)結(jié)構(gòu)受力不利。由于采用調(diào)平的方法減小瞄準(zhǔn)偏差存在上述問(wèn)題，因此尋求發(fā)射車(chē)不進(jìn)行調(diào)平而進(jìn)行起豎回轉(zhuǎn)的方法變得相當(dāng)重要。

文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[2]采用歐拉坐標(biāo)變換進(jìn)行推導(dǎo)，計(jì)算效率問(wèn)題在推導(dǎo)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理。本文在只考慮不調(diào)平對(duì)瞄準(zhǔn)的影響的基礎(chǔ)上，采用四元數(shù)法對(duì)不調(diào)平發(fā)射車(chē)進(jìn)行起豎回轉(zhuǎn)解耦，得到了起豎角和回轉(zhuǎn)角的確定計(jì)算式。

1 基本條件說(shuō)明

設(shè)R為導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)線的單位向量，用來(lái)確定瞄準(zhǔn)的俯仰角和方向角；設(shè)Rm為目標(biāo)俯仰角和方向角的導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)線的單位向量。

1.1 定義坐標(biāo)系

a）回轉(zhuǎn)平臺(tái)坐標(biāo)系o-x1y1z1：o為回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)中心，平面ox1y1為回轉(zhuǎn)平臺(tái)平面，y1軸由車(chē)頭方向指向車(chē)尾方向，與導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)線的初始向量在平面ox1y1內(nèi)的投影重合，z1軸垂直于平面ox1y1豎直向上，右手系確定x1軸；

b）地理坐標(biāo)系o-xyz：o為回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)中心，平面oxy為水平平面，y軸由車(chē)頭方向指向車(chē)尾方向，與導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)線的初始向量在平面oxy內(nèi)的投影重合，是方向角變化量的基準(zhǔn)軸，z軸垂直于水平面豎直向上，右手系確定x軸。

1.2 角度變量說(shuō)明

a）目標(biāo)高低角ψ：ψ為與水平面的夾角，0～65°之間為正；

b）目標(biāo)方向角γ：導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)線在oxy面內(nèi)的投影與-y軸的夾角，-30～30°，從+z軸看，逆時(shí)針為正；

c）x1軸、y1軸與水平面的夾角α、β：從+x1軸與+y1軸的正向看，逆時(shí)針為正；由安裝于回轉(zhuǎn)平面的水平測(cè)量?jī)x測(cè)量得到；

d）坐標(biāo)轉(zhuǎn)換角δ、φ：由o-xyz先繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)角δ，得到o-x′y′z′；再繞y′軸轉(zhuǎn)動(dòng)角φ，得到o-x1y1z1；從+x軸、+y′軸看，逆時(shí)針為正，計(jì)算得到；

e）起豎角σ，回轉(zhuǎn)角θ：進(jìn)行起豎回轉(zhuǎn)的角度，從+z軸、+x軸看，逆時(shí)針為正，由軸角編碼器測(cè)量得到。

2 四元數(shù)在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)用

本文的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化采用四元數(shù)方法進(jìn)行，本質(zhì)上與采用歐拉角的坐標(biāo)變換一致。

所謂四元數(shù)是由1個(gè)實(shí)數(shù)單位“1”和3個(gè)虛數(shù)單位“i”、“j”、“k”組成并具有下列形式的數(shù)[3～5]：

四元數(shù)的加法、減法與復(fù)數(shù)的一致；乘法“?”滿(mǎn)足結(jié)合律，但不滿(mǎn)足交換律；單位1，i，j，k的乘法規(guī)則如下：

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的四元數(shù)表示：將虛數(shù)單位i，j，k與空間坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的單位向量i，j，k對(duì)應(yīng)起來(lái)，剛體向量F繞某軸n轉(zhuǎn)動(dòng)?角，n為轉(zhuǎn)動(dòng)軸的單位向量。

繞n軸轉(zhuǎn)動(dòng)?角的四元數(shù)表示為

剛體向量F繞n軸轉(zhuǎn)動(dòng)?角后，得到F′：

3 推導(dǎo)解耦的起豎角和回轉(zhuǎn)角

只考慮不調(diào)平對(duì)瞄準(zhǔn)的影響，作如下假設(shè)：

a）水平儀測(cè)量平面與回轉(zhuǎn)平面重合，測(cè)量軸為1x軸和1y軸；

b）起豎軸q平行于回轉(zhuǎn)平面，且垂直于導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)線，即與1x軸平行。

不調(diào)平進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)控制的起豎角和回轉(zhuǎn)角的推導(dǎo)流程如圖1所示。按照?qǐng)D1所示推導(dǎo)流程進(jìn)行不調(diào)平起豎角、回轉(zhuǎn)角的推導(dǎo)。地理坐標(biāo)系o-xyz的坐標(biāo)軸x，y，z的單位向量分別為i，j，k。

圖1 推導(dǎo)流程

3.1 導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)線的目標(biāo)單位向量

根據(jù)目標(biāo)高低角ψ 和方向角γ，可得到Rm：

3.2 o-x1y1z1坐標(biāo)軸單位向量及坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)角

坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)方式為：由o-xyz先繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)角δ，得到o-x′y′z′；再繞y′軸轉(zhuǎn)動(dòng)角φ，得到坐標(biāo)系o-x1y1z1；從轉(zhuǎn)動(dòng)軸的正向看，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。由轉(zhuǎn)動(dòng)方式可知，x軸與x′軸重合，y′軸與y1軸重合。

用四元數(shù)計(jì)算x1軸、y1軸和z1軸的單位向量，坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)角δ 和角φ，步驟如下：

a）計(jì)算y1軸的單位向量oy1。

由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方式可知，oy1由oy繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)角δ

得

到，oy1與y′軸重合，ox = i，oy = j。

繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)角δ 的四元數(shù)表示為

oy繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)角δ 得到oy1，表示為

oy1與水平平面oxy的夾角，即為水平儀測(cè)量的角度β，可得到：δ = β。

b）計(jì)算x1軸的單位向量ox1。

由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方式可知，ox1是由ox繞y′軸轉(zhuǎn)動(dòng)角φ得到，其中y′軸的單位向量oy′ = oy1。

繞y′軸轉(zhuǎn)動(dòng)角φ 的四元數(shù)表示為

ox繞y′軸轉(zhuǎn)動(dòng)φ 角得到ox1，表示為

ox1與水平平面oxy的夾角，即為水平儀測(cè)量的角度α，可得到：

c）計(jì)算z1軸的單位向量oz1。

由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方式可知，oz1由oz繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)角δ，再繞y′軸轉(zhuǎn)動(dòng)角φ 得到，其中ox = i，oz = k，y′軸的單位向量oy′ = oy1。

oz先繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)角δ，得到oz′：

oz′再繞y′軸轉(zhuǎn)動(dòng)角φ，得到oz1：

綜合以上計(jì)算得到：

a）坐標(biāo)轉(zhuǎn)換角度：

b）x1軸、y1軸和z1軸的單位向量坐標(biāo)：

3.3 計(jì)算目標(biāo)起豎和目標(biāo)回轉(zhuǎn)角度

根據(jù)式（4）、式（13）、式（14）可求得目標(biāo)單位向量與回轉(zhuǎn)平臺(tái)平面的夾角，即為目標(biāo)起豎角σm；目標(biāo)單位向量在回轉(zhuǎn)平臺(tái)平面內(nèi)的投影與1y-軸的夾角，即為目標(biāo)回轉(zhuǎn)角θm。

a）計(jì)算目標(biāo)起豎角σm。

得到：

b）計(jì)算目標(biāo)回轉(zhuǎn)角θ。

得到：

綜合以上，可得到目標(biāo)起豎角σm和目標(biāo)回轉(zhuǎn)角θm：

其中，求得的θm，從+z軸看，逆時(shí)針回轉(zhuǎn)為正；ψγ、由初始瞄準(zhǔn)給出，δφ、由下式得到：

式中 α 和β 由水平儀測(cè)量得到。

實(shí)際進(jìn)行起豎回轉(zhuǎn)的過(guò)程中，由于重心的變化會(huì)影響回轉(zhuǎn)平臺(tái)的不平度，即水平儀的輸出會(huì)有變化。由式（19）、式（20）可知，目標(biāo)起豎角σm和目標(biāo)回轉(zhuǎn)角θm可以根據(jù)水平儀測(cè)量角α 和β 實(shí)時(shí)更新。

4 誤差分析

受實(shí)際工裝的影響，按照第3節(jié)中推導(dǎo)的起豎角、回轉(zhuǎn)角，最終得到的俯仰角、方向角與目標(biāo)之間存在一定的誤差。當(dāng)工裝精度較差時(shí)，可能導(dǎo)致最終的俯仰角、方向角不能達(dá)到精度要求，因此對(duì)工裝有較高的精度要求。

產(chǎn)生誤差的原因有：

a）水平儀測(cè)量誤差。由第3節(jié)中的推導(dǎo)可知，要求水平測(cè)量x1軸、y1軸與水平面的夾角，當(dāng)測(cè)量存在誤差時(shí)會(huì)對(duì)最終的俯仰角和方向角造成誤差。為了便于分析，假設(shè)測(cè)量y1軸與水平面夾角存在誤差Δ，測(cè)量x1軸與水平面的夾角不存在誤差，那么，當(dāng)方向角為零時(shí)，造成俯仰角的誤差最大為Δ。

b）起豎軸的誤差。當(dāng)起豎軸不垂直于瞄準(zhǔn)線或回轉(zhuǎn)軸時(shí)，控制起豎角度為σm角，實(shí)際起豎角會(huì)小于σm。

假設(shè)起豎軸與x1軸存在夾角Δ=30′，起豎角σm= 50°時(shí)，實(shí)際起豎的角度σs≈49°59′53″，誤差約為7″；當(dāng)Δ＜10′時(shí)，控制起豎角σm= 50°時(shí)，實(shí)際起豎的角度誤差小于1″。

c）回轉(zhuǎn)軸的誤差。受安裝影響，實(shí)際測(cè)量軸與目標(biāo)軸之間存在1個(gè)小的夾角，這樣實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)的角度會(huì)比測(cè)量值大。

假設(shè)實(shí)際測(cè)量的回轉(zhuǎn)軸與目標(biāo)回轉(zhuǎn)軸之間存在小夾角Δ = 30′，控制回轉(zhuǎn)角θm= 30°時(shí)，實(shí)際回轉(zhuǎn)角θs≈30°0′31″；當(dāng)Δ＜5′，回轉(zhuǎn)角θm= 30°時(shí)，實(shí)際回轉(zhuǎn)的角度誤差小于1″。

5 與現(xiàn)有方法比較

文獻(xiàn)[2]通過(guò)實(shí)時(shí)計(jì)算方向角與目標(biāo)之間的誤差來(lái)判斷回轉(zhuǎn)到位，而俯仰角采用石英加速度計(jì)直接測(cè)量。在起豎回轉(zhuǎn)過(guò)程中存在一定缺點(diǎn)：如果起豎回轉(zhuǎn)不能同時(shí)到位，就可能需要反復(fù)的調(diào)節(jié)；如當(dāng)回轉(zhuǎn)到位停止時(shí)，起豎還未到位，起豎會(huì)繼續(xù)進(jìn)行，由于回轉(zhuǎn)平臺(tái)不水平帶來(lái)的起豎回轉(zhuǎn)耦合，導(dǎo)致起豎過(guò)程影響方向角，因此需要再次進(jìn)行回轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)；同理，回轉(zhuǎn)也會(huì)影響俯仰角。

本文給出的是解耦后的起豎角與回轉(zhuǎn)角，回轉(zhuǎn)先到位（達(dá)到回轉(zhuǎn)角）時(shí)，對(duì)應(yīng)的方向角其實(shí)還未達(dá)到目標(biāo)值；當(dāng)起豎到位（達(dá)到起豎角）時(shí)，通過(guò)起豎與回轉(zhuǎn)的耦合，方向角和俯仰角達(dá)到目標(biāo)值。起豎先到位的情況也是如此。如果直接測(cè)量俯仰角（如采用石英加速度計(jì)），那么應(yīng)當(dāng)使回轉(zhuǎn)先到位，俯仰角達(dá)到目標(biāo)值時(shí)，方向角也就達(dá)到目標(biāo)值了。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文采用四元數(shù)法進(jìn)行不調(diào)平瞄準(zhǔn)，根據(jù)俯仰角和方向角的目標(biāo)值，水平儀測(cè)量的回轉(zhuǎn)平臺(tái)的不平度，推導(dǎo)得到解耦后的起豎角和回轉(zhuǎn)角，分析了工裝精度對(duì)實(shí)際系統(tǒng)起豎回轉(zhuǎn)的影響，并與現(xiàn)有方法進(jìn)行了比較。

在加工和安裝精度滿(mǎn)足要求的情況下，本文提供的解算式，可直接用于傾斜式發(fā)射車(chē)不調(diào)平進(jìn)行起豎回轉(zhuǎn)控制的起豎角度和回轉(zhuǎn)角的解算，不需再進(jìn)行修正。

[1] 張勝三. 發(fā)射車(chē)不調(diào)平而進(jìn)行瞄準(zhǔn)角修正[J]. 導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù), 2001(1): 38-42.

[2] 張勝三. 發(fā)射車(chē)不調(diào)平進(jìn)行瞄準(zhǔn)角修正的新方法[J]. 導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù), 2007(4): 26-28.

[3] 許方官. 四元數(shù)物理學(xué)[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2012.

[4] 肖尚彬. 四元數(shù)方法及其應(yīng)用[J]. 力學(xué)進(jìn)展, 1993,23(2): 249-260.

[5] 趙雙明, 郭秋燕, 羅研, 等. 基于四元數(shù)的三維空間相似變換解算[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào): 信息科學(xué)版, 2009,34(10): 1214-1217.

Non-adjusting Level Aiming Control of Launcher Based on Quaternion Method

Liu Xian-qin, Wu Lin-rui, Zhao Hui-li
(Beijing Institute of Space Launch Technology, Beijing, 100076)

This paper introduces the derivation of erection angle and rotation angle of non-adjusting level aiming control of launcher based on the quaternion method. The derivation process of theoretical value calculation method of erection angle and rotation angle is given and compared with current correction method. The results show that, the quaternion method can be used to calculate erection angle and rotation angle of non-adjusting level aiming control, used for vertical and rotary control of launcher.

Quaternion; Non-adjusting level; Aiming

V55

A

1004-7182(2016)04-0044-04

10.7654/j.issn.1004-7182.20160411

2015-06-20；

2016-07-08

劉顯勤（1985-），男，工程師，主要從事計(jì)算機(jī)控制方面研究